Страница 113 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.33. Найдите член, содержащий $x^4$ в разложении бинома $(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x})^9$.

Для нахождения члена, содержащего $x^4$ в разложении бинома $(\sqrt{x} + \sqrt[3]{x})^9$, воспользуемся формулой общего члена разложения бинома Ньютона:

$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$

В данном случае, $a = \sqrt{x} = x^{1/2}$, $b = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$ и $n=9$. Подставим эти значения в формулу общего члена:

$T_{k+1} = C_9^k (\sqrt{x})^{9-k} (\sqrt[3]{x})^k = C_9^k (x^{1/2})^{9-k} (x^{1/3})^k$

Упростим выражение, используя свойства степеней:

$T_{k+1} = C_9^k x^{\frac{9-k}{2}} \cdot x^{\frac{k}{3}} = C_9^k x^{\frac{9-k}{2} + \frac{k}{3}}$

Мы ищем член, который содержит $x^4$. Для этого показатель степени при $x$ должен быть равен 4. Составим и решим уравнение относительно $k$:

$\frac{9-k}{2} + \frac{k}{3} = 4$

Чтобы решить это уравнение, умножим обе его части на общий знаменатель, равный 6:

$6 \cdot \left(\frac{9-k}{2}\right) + 6 \cdot \left(\frac{k}{3}\right) = 6 \cdot 4$

$3(9-k) + 2k = 24$

$27 - 3k + 2k = 24$

$27 - k = 24$

$k = 27 - 24$

$k = 3$

Таким образом, искомый член является $(k+1)$-м, то есть $(3+1) = 4$-м членом разложения.

Теперь найдем сам этот член, подставив $k=3$ в его формулу. Степень $x$ мы уже знаем, она равна 4. Осталось вычислить биномиальный коэффициент $C_9^3$:

$C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{6} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$

Следовательно, искомый член разложения равен $C_9^3 x^4 = 84x^4$.

Ответ: $84x^4$.

4.34. Найдите наибольший коэффициент в разложении бинома $\left[(1+x)\left(\frac{1}{x}-1\right)\right]^n$.

Решение

Сначала упростим выражение в основании степени. Для этого раскроем скобки:

$(1+x)(\frac{1}{x}-1) = (1+x)\frac{1-x}{x} = \frac{(1+x)(1-x)}{x} = \frac{1-x^2}{x} = \frac{1}{x} - x$

Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего коэффициента в разложении бинома $(\frac{1}{x} - x)^n$.

Воспользуемся формулой бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$.

В нашем случае $a=\frac{1}{x}$ и $b=-x$. Общий $(k+1)$-й член разложения ($T_{k+1}$) имеет вид:

$T_{k+1} = C_n^k \left(\frac{1}{x}\right)^{n-k} (-x)^k = C_n^k x^{k-n} (-1)^k x^k = (-1)^k C_n^k x^{2k-n}$

Коэффициенты в этом разложении равны $a_k = (-1)^k C_n^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты, и $k$ принимает значения от $0$ до $n$.

Мы ищем наибольший (максимальный по значению, а не по модулю) коэффициент. Он должен быть положительным, что возможно только если множитель $(-1)^k$ равен $1$. Это условие выполняется для всех четных значений $k$.

Следовательно, нам нужно найти максимальное значение среди коэффициентов $C_n^k$ для всех четных $k$ из множества $\{0, 1, 2, \ldots, n\}$.

Известно, что последовательность биномиальных коэффициентов $C_n^k$ симметрична относительно $k=n/2$ и достигает своего максимума в центре. Таким образом, нам нужно найти четное число $k$, которое является ближайшим к $n/2$.

Рассмотрим четыре случая в зависимости от остатка от деления $n$ на 4.

1. Если $n = 4m$ (т.е. $n$ делится на 4), то $n/2 = 2m$. Это значение является четным числом. Следовательно, ближайшее к $n/2$ четное $k$ равно $n/2$. Наибольший коэффициент равен $C_n^{n/2}$.

2. Если $n = 4m+1$, то $n/2 = 2m + 1/2$. Ближайшими целыми к $n/2$ являются $2m$ и $2m+1$. Из них четным является $k=2m = (n-1)/2$. Наибольший коэффициент равен $C_n^{(n-1)/2}$.

3. Если $n = 4m+2$, то $n/2 = 2m+1$. Это значение является нечетным числом. Ближайшими четными к $n/2$ являются $k_1 = 2m$ и $k_2 = 2m+2$. Они равноудалены от центра $n/2$. Значения коэффициентов для них равны: $C_n^{2m} = C_n^{n-(2m)} = C_n^{4m+2-2m} = C_n^{2m+2}$. Таким образом, наибольший коэффициент равен $C_n^{2m} = C_n^{n/2-1}$.

4. Если $n = 4m+3$, то $n/2 = 2m+3/2$. Ближайшими целыми к $n/2$ являются $2m+1$ и $2m+2$. Из них четным является $k=2m+2 = (n+1)/2$. Наибольший коэффициент равен $C_n^{(n+1)/2}$.

Ответ: Наибольший коэффициент в разложении равен:

• $C_n^{n/2}$, если $n$ кратно 4;
• $C_n^{(n-1)/2}$, если $n$ дает остаток 1 при делении на 4;
• $C_n^{n/2-1}$, если $n$ дает остаток 2 при делении на 4;
• $C_n^{(n+1)/2}$, если $n$ дает остаток 3 при делении на 4.

Здесь $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

4.35. Найдите члены, не содержащие $a$, в разложении выражения $\left[(1+a)\left(1+\frac{1}{a}\right)\right]^n$.

Для нахождения членов разложения, не содержащих переменной a, мы сначала упростим выражение, стоящее в основании степени.

Преобразуем выражение в скобках:

$(1 + a)(1 + \frac{1}{a}) = (1 + a) \cdot \frac{a + 1}{a} = \frac{(1 + a)^2}{a}$

Теперь исходное выражение можно записать в следующем виде:

$[\frac{(1 + a)^2}{a}]^n = \frac{((1 + a)^2)^n}{a^n} = \frac{(1 + a)^{2n}}{a^n} = a^{-n}(1 + a)^{2n}$

Далее воспользуемся формулой бинома Ньютона для разложения $(1 + a)^{2n}$. Общая формула бинома Ньютона выглядит так:

$(x + y)^m = \sum_{k=0}^{m} C_{m}^{k} x^{m-k}y^{k}$

Применяя эту формулу к нашему случаю, где $x=1$, $y=a$ и $m=2n$, получаем:

$(1 + a)^{2n} = \sum_{k=0}^{2n} C_{2n}^{k} 1^{2n-k}a^{k} = \sum_{k=0}^{2n} C_{2n}^{k} a^{k}$

Теперь подставим это разложение обратно в наше выражение:

$a^{-n}(1 + a)^{2n} = a^{-n} \sum_{k=0}^{2n} C_{2n}^{k} a^{k} = \sum_{k=0}^{2n} C_{2n}^{k} a^{k}a^{-n} = \sum_{k=0}^{2n} C_{2n}^{k} a^{k-n}$

Мы ищем члены, не содержащие a. Это означает, что показатель степени переменной a должен быть равен нулю. Исходя из общего вида члена разложения $C_{2n}^{k} a^{k-n}$, получаем условие:

$k - n = 0 \Rightarrow k = n$

Поскольку $n$ является натуральным числом, условие $0 \le k \le 2n$ для $k=n$ всегда выполняется. Это означает, что в разложении всегда будет один член, не зависящий от a.

Чтобы найти этот член, подставим значение $k=n$ в формулу для общего члена разложения:

$C_{2n}^{n} a^{n-n} = C_{2n}^{n} a^{0} = C_{2n}^{n}$

Значение этого биномиального коэффициента равно:

$C_{2n}^{n} = \frac{(2n)!}{n!(2n-n)!} = \frac{(2n)!}{n!n!} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}$

Таким образом, в разложении исходного выражения есть только один член, который не содержит a.

Ответ: Член, не содержащий a, равен $C_{2n}^{n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}$.

4.36. Сколькими способами можно разбить 30 учеников на подгруппы, по 10 учеников в каждой, для обучения их английскому, немецкому и французскому языкам?

Для решения этой задачи мы имеем 30 учеников, которых необходимо разделить на три группы по 10 человек в каждой. Важным условием является то, что группы не являются анонимными, а предназначены для изучения конкретных языков: английского, немецкого и французского. Это означает, что группы различимы, и, следовательно, важен порядок, в котором мы формируем эти группы (т.е. какую группу мы формируем первой, второй и т.д.).

Процесс разделения можно представить как последовательность выборов.

Сначала выберем 10 учеников для группы английского языка. Количество способов сделать это из 30 учеников равно числу сочетаний из 30 по 10, так как порядок учеников внутри группы не важен. Это количество вычисляется по формуле: $C_{30}^{10} = \frac{30!}{10!(30-10)!} = \frac{30!}{10!20!}$

После того, как первая группа сформирована, у нас остается $30 - 10 = 20$ учеников. Из них нужно выбрать 10 человек для группы немецкого языка. Количество способов для этого выбора: $C_{20}^{10} = \frac{20!}{10!(20-10)!} = \frac{20!}{10!10!}$

Оставшиеся 10 учеников автоматически образуют группу для изучения французского языка. Количество способов сформировать эту группу из оставшихся 10 учеников равно: $C_{10}^{10} = \frac{10!}{10!(10-10)!} = \frac{10!}{10!0!} = 1$

Поскольку выбор каждой группы является независимым событием, общее количество способов разбить всех учеников на три заданные группы находится путем перемножения числа способов на каждом этапе (согласно правилу произведения в комбинаторике): $N = C_{30}^{10} \times C_{20}^{10} \times C_{10}^{10} = \frac{30!}{10!20!} \times \frac{20!}{10!10!} \times 1$

Упростим полученное выражение, сократив $20!$ в числителе первого множителя и в знаменателе второго: $N = \frac{30!}{10! \cdot 10! \cdot 10!} = \frac{30!}{(10!)^3}$

Это и есть общее количество способов. Данная формула представляет собой мультиномиальный коэффициент, который используется для подсчета числа разбиений множества на несколько упорядоченных (различимых) подмножеств.

Ответ: $\frac{30!}{(10!)^3}$

4.37. Каждый участник игры «Тоғыз құмалақ» должен сыграть одну партию с каждым из оставшихся участников. Двое участников, успев сыграть по три партии каждый, по состоянию здоровья выбыли из турнира. Сколько игроков участвовали в турнире первоначально, если известно, что было сыграно всего 16 партий?

Пусть $n$ — первоначальное количество игроков в турнире.

По условию, двое участников выбыли из турнира. Это означает, что $n-2$ участников остались и, предположительно, доиграли турнир до конца между собой. В круговом турнире, где каждый играет с каждым, количество партий между $k$ участниками вычисляется по формуле числа сочетаний из $k$ по 2: $C_k^2 = \frac{k(k-1)}{2}$.

Таким образом, $n-2$ оставшихся участников сыграли между собой $\frac{(n-2)(n-3)}{2}$ партий.

Два выбывших участника успели сыграть по 3 партии каждый. Общее число сыгранных партий равно 16. Разберем два возможных случая относительно партий, сыгранных выбывшими участниками.

Случай 1: Выбывшие участники сыграли партию между собой.
В этом случае одна из трех партий каждого из них была сыграна друг с другом. Эта партия одна на двоих. Тогда первый выбывший игрок сыграл еще 2 партии с кем-то из оставшихся участников, и второй выбывший игрок также сыграл 2 партии с кем-то из оставшихся. Общее число уникальных партий, в которых участвовали выбывшие игроки, равно $1$ (партия между собой) $+ 2$ (партии первого с другими) $+ 2$ (партии второго с другими) $= 5$ партий.

Следовательно, общее число партий в турнире равно сумме партий между оставшимися игроками и партий, сыгранных выбывшими:
$\frac{(n-2)(n-3)}{2} + 5 = 16$

Вычтем 5 из обеих частей уравнения:
$\frac{(n-2)(n-3)}{2} = 11$

Умножим обе части на 2:
$(n-2)(n-3) = 22$

Это уравнение не имеет целочисленных решений, так как 22 нельзя представить в виде произведения двух последовательных целых чисел (например, $4 \times 5 = 20$, а $5 \times 6 = 30$). Поскольку количество участников должно быть целым числом, этот случай невозможен.

Случай 2: Выбывшие участники не играли между собой.
В этом случае каждый из выбывших игроков сыграл по 3 партии с кем-то из оставшихся $n-2$ участников. Общее количество партий, сыгранных этими двумя игроками, равно $3 + 3 = 6$. Эти партии не пересекаются, так как они не играли друг с другом.

Тогда общее число партий в турнире равно сумме партий между оставшимися игроками и партий, сыгранных выбывшими:
$\frac{(n-2)(n-3)}{2} + 6 = 16$

Вычтем 6 из обеих частей уравнения:
$\frac{(n-2)(n-3)}{2} = 10$

Умножим обе части на 2:
$(n-2)(n-3) = 20$

Пусть $k = n-2$. Тогда уравнение принимает вид $k(k-1) = 20$. Методом подбора находим, что $k=5$, так как $5 \times 4 = 20$.

Мы нашли, что количество оставшихся игроков равно 5. Поскольку $k = n-2$, мы можем найти первоначальное количество участников $n$:
$n - 2 = 5$
$n = 7$

Проверка:
Если первоначально было 7 игроков, то после выбывания двух осталось 5. Эти 5 игроков сыграли между собой $\frac{5 \times (5-1)}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ партий. Два выбывших игрока сыграли по 3 партии каждый, что в сумме дает $3+3=6$ партий. Общее количество сыгранных партий: $10 + 6 = 16$. Это полностью соответствует условию задачи.

Ответ: первоначально в турнире участвовали 7 игроков.

4.38. При каких условиях разложения бинома $(3a + \frac{1}{2a})^n$ имеет слагаемое, не зависящее от $a$?

Для нахождения условия, при котором разложение бинома имеет слагаемое, не зависящее от $a$, воспользуемся формулой общего члена разложения бинома Ньютона. Общий $(k+1)$-й член разложения $(x+y)^n$ имеет вид:

$T_{k+1} = \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$

В данном случае бином имеет вид $\left(3a + \frac{1}{2a}\right)^n$, где $x = 3a$ и $y = \frac{1}{2a}$. Подставим эти значения в формулу общего члена:

$T_{k+1} = \binom{n}{k} (3a)^{n-k} \left(\frac{1}{2a}\right)^k$

Теперь преобразуем это выражение, чтобы выделить степень переменной $a$:

$T_{k+1} = \binom{n}{k} \cdot 3^{n-k} \cdot a^{n-k} \cdot \frac{1}{2^k \cdot a^k} = \binom{n}{k} \frac{3^{n-k}}{2^k} \frac{a^{n-k}}{a^k}$

Используя свойство степеней $a^m/a^n = a^{m-n}$, получаем:

$T_{k+1} = \binom{n}{k} \frac{3^{n-k}}{2^k} a^{n-2k}$

Слагаемое не будет зависеть от $a$, если показатель степени при $a$ будет равен нулю. Следовательно, нам нужно найти такое значение $k$, при котором выполняется условие:

$n - 2k = 0$

Решим это уравнение относительно $k$:

$2k = n$

$k = \frac{n}{2}$

Согласно формуле бинома Ньютона, $k$ — это целое неотрицательное число ($k \in \{0, 1, 2, ...\}$), которое также должно удовлетворять неравенству $0 \le k \le n$.

Из уравнения $k = \frac{n}{2}$ следует, что для того, чтобы $k$ было целым числом, показатель степени $n$ должен быть делимым на 2, то есть $n$ должно быть четным числом. Так как $n$ является показателем степени бинома, оно по определению является неотрицательным целым числом.

Таким образом, разложение бинома будет иметь слагаемое, не зависящее от $a$, только в том случае, если показатель степени $n$ является четным неотрицательным числом.

Ответ: Показатель степени $n$ должен быть четным неотрицательным числом.

4.39. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «Казахстан» так, чтобы три буквы $a$ не располагались рядом?

Для решения этой задачи мы используем комбинаторный принцип исключения. Сначала мы найдем общее число всех возможных перестановок букв в слове «Казахстан», а затем вычтем из этого числа количество перестановок, в которых все три буквы а стоят рядом.

1. Найдем общее число перестановок.Слово «Казахстан» содержит 9 букв. Среди них буква а повторяется 3 раза, а остальные 6 букв (К, з, х, с, т, н) уникальны. Общее число перестановок с повторениями ($N_{общ}$) вычисляется по формуле:$N_{общ} = \frac{n!}{k_1!k_2!...}$где $n$ — общее количество букв, а $k_i$ — количество повторений каждой буквы.Для нашего слова:$N_{общ} = \frac{9!}{3!} = \frac{362880}{6} = 60480$Таким образом, существует 60480 различных способов переставить буквы в слове «Казахстан».

2. Найдем число перестановок, где три буквы а стоят рядом.Чтобы найти это число, мы можем рассматривать три буквы а как один единый блок («ааа»). Теперь задача сводится к перестановке 7 элементов: 6 уникальных букв (К, з, х, с, т, н) и одного блока «ааа». Все эти 7 элементов различны.Число перестановок из 7 различных элементов ($N_{вместе}$) равно $7!$:$N_{вместе} = 7! = 5040$Следовательно, существует 5040 перестановок, в которых все три буквы а располагаются вместе.

3. Найдем искомое число способов.Чтобы найти количество способов, при которых три буквы а не располагаются рядом, вычтем из общего числа перестановок число тех, где они стоят вместе:$N = N_{общ} - N_{вместе} = 60480 - 5040 = 55440$

Ответ: 55440

4.40. Решите предыдущую задачу так, чтобы две буквы $a$ не располагались рядом.

В условии задачи 4.40 требуется решить предыдущую задачу (4.39), добавив условие, что две буквы «а» не должны стоять рядом. Поскольку текст задачи 4.39 не приведён, будем исходить из наиболее распространённого в подобных сборниках варианта для задач с таким набором букв: «Сколькими способами можно переставить буквы слова «параллелизм»?».

Слово «параллелизм» состоит из 11 букв, среди которых есть повторяющиеся: 2 буквы «а», 3 буквы «л», а остальные (п, р, е, и, з, м) встречаются по одному разу.

Для решения задачи воспользуемся методом размещения по позициям. Сначала расположим все буквы, кроме двух «а», а затем разместим буквы «а» в свободные места между ними. Это гарантирует, что буквы «а» не будут соседствовать.

Шаг 1. Расстановка букв без «а».

Исключим две буквы «а» и рассмотрим оставшиеся 9 букв: п, р, л, л, л, е, и, з, м. Нам нужно найти количество способов их переставить. Это задача о перестановках с повторениями, так как буква «л» встречается 3 раза. Количество таких перестановок $N_1$ вычисляется по формуле:

$N_1 = \frac{9!}{3!} = \frac{362880}{6} = 60480$

Шаг 2. Размещение букв «а».

После того как мы расставили 9 букв, между ними и по краям образовалось 10 возможных позиций для размещения двух букв «а». Если представить 9 букв как некие объекты Б, то схема позиций выглядит так:

_ Б _ Б _ Б _ Б _ Б _ Б _ Б _ Б _ Б _

Нам нужно выбрать 2 из этих 10 позиций. Так как обе буквы «а» одинаковы, порядок их расстановки не имеет значения. Следовательно, мы ищем число сочетаний из 10 элементов по 2, которое обозначается $C_{10}^2$.

$C_{10}^2 = \binom{10}{2} = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$

Шаг 3. Общее количество способов.

Чтобы найти общее количество перестановок, удовлетворяющих условию, нужно перемножить количество способов расстановки остальных букв на количество способов размещения букв «а» в свободных позициях.

$N = N_1 \cdot C_{10}^2 = 60480 \cdot 45 = 2721600$

Таким образом, существует 2 721 600 способов переставить буквы слова «параллелизм» так, чтобы две буквы «а» не располагались рядом.

Ответ: 2 721 600.

4.41. Сколько чисел, не превышающих $10^4$, можно написать с помощью цифр 4 и 7?

Нам необходимо найти количество натуральных чисел, не превышающих $10^4$ (то есть чисел, которые меньше или равны $10000$), в записи которых используются только цифры 4 и 7.

Любое число, составленное из цифр 4 и 7, которое имеет 5 или более знаков, будет больше $10000$. Например, самое маленькое пятизначное число, которое можно составить из этих цифр, — это 44444, что уже больше $10000$. Следовательно, искомые числа могут быть только однозначными, двузначными, трехзначными или четырехзначными.

Подсчитаем количество таких чисел для каждого возможного количества цифр:

Однозначные числа: Можно составить 2 таких числа: 4 и 7. Количество таких чисел равно $2^1 = 2$.

Двузначные числа: Каждая из двух позиций в числе может быть заполнена одной из двух цифр (4 или 7). Таким образом, по правилу произведения, общее количество двузначных чисел равно $2 \times 2 = 2^2 = 4$.

Трехзначные числа: Аналогично, для каждой из трех позиций есть два варианта. Общее количество трехзначных чисел равно $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$.

Четырехзначные числа: Для каждой из четырех позиций есть два варианта. Общее количество четырехзначных чисел равно $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4 = 16$. Все эти числа (от 4444 до 7777) не превышают $10000$.

Чтобы найти общее количество таких чисел, нужно сложить количество чисел для каждого случая:

Общее количество = (количество однозначных) + (количество двузначных) + (количество трехзначных) + (количество четырехзначных)

Общее количество = $2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 = 2 + 4 + 8 + 16 = 30$.

Полученное число является суммой первых четырех членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = 2$ и знаменателем $q = 2$.

Ответ: 30

4.42 Сколько целых неотрицательных решений имеет уравнение $x_1 + x_2 + \dots + x_n = k$?

Данная задача заключается в поиске количества целых неотрицательных решений для линейного уравнения. Это классическая задача комбинаторики, которая решается с помощью метода, известного как "шары и перегородки" (или "stars and bars").

Мы ищем количество наборов $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$, где каждое $x_i$ является целым числом и $x_i \ge 0$, таких что их сумма равна $k$.

Представим, что у нас есть $k$ одинаковых единиц (назовем их "шарами"), которые нужно распределить между $n$ переменными (назовем их "ящиками"). Чтобы разделить шары на $n$ групп, нам потребуется $n-1$ "перегородка".

Например, для уравнения $x_1 + x_2 + x_3 = 5$, одно из возможных решений $x_1=2, x_2=1, x_3=2$ можно визуализировать как последовательность из 5 шаров (●) и $3-1=2$ перегородок (|):

Здесь 2 шара до первой перегородки соответствуют $x_1=2$, 1 шар между перегородками — $x_2=1$, и 2 шара после второй перегородки — $x_3=2$. Другое решение, например $x_1=4, x_2=0, x_3=1$, будет выглядеть так:

Таким образом, каждое решение уравнения однозначно соответствует расположению $k$ шаров и $n-1$ перегородок в ряд. Задача сводится к нахождению числа таких расположений.

Всего у нас имеется $k + (n-1)$ позиций в ряду. Нам нужно выбрать из этих $k+n-1$ позиций те $n-1$ мест, куда мы поставим перегородки (остальные места автоматически будут заняты шарами). Число способов сделать это равно числу сочетаний из $k+n-1$ по $n-1$.

Формула для числа сочетаний без повторений из $N$ по $K$ имеет вид: $C_N^K = \binom{N}{K} = \frac{N!}{K!(N-K)!}$.

В нашей задаче общее число позиций $N = k+n-1$, а число выбираемых позиций для перегородок $K = n-1$. Подставляя эти значения, получаем:

$C_{k+n-1}^{n-1} = \binom{k+n-1}{n-1} = \frac{(k+n-1)!}{(n-1)!((k+n-1)-(n-1))!} = \frac{(k+n-1)!}{(n-1)!k!}$

Эта величина также известна как число сочетаний с повторениями из $n$ по $k$ и обозначается как $\overline{C}_n^k$. Заметим, что $C_{n+k-1}^{n-1} = C_{n+k-1}^{k}$, так как выбор $n-1$ мест для перегородок эквивалентен выбору $k$ мест для шаров.

Ответ: Уравнение имеет $C_{n+k-1}^{k} = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$ целых неотрицательных решений.

4.43. Сколько целых неотрицательных решений имеет неравенство $x_1 + x_2 + ... + x_n \leq k$?

Для нахождения количества целых неотрицательных решений неравенства $x_1 + x_2 + ... + x_n \le k$ используется метод введения дополнительной переменной, который позволяет свести неравенство к уравнению.

Введем новую неотрицательную целую переменную $x_{n+1}$ (называемую "слабой" или "остаточной" переменной) следующим образом:

$x_{n+1} = k - (x_1 + x_2 + ... + x_n)$

Поскольку по условию $x_1 + x_2 + ... + x_n \le k$, то переменная $x_{n+1}$ всегда будет неотрицательной ($x_{n+1} \ge 0$).

Теперь исходное неравенство можно переписать в виде эквивалентного уравнения:

$x_1 + x_2 + ... + x_n + x_{n+1} = k$

Любое решение исходного неравенства в неотрицательных целых числах $(x_1, ..., x_n)$ однозначно определяет неотрицательное целое $x_{n+1}$ и, следовательно, решение этого уравнения. И наоборот, любое решение этого уравнения в неотрицательных целых числах $(x_1, ..., x_{n+1})$ дает нам решение исходного неравенства $(x_1, ..., x_n)$, так как $x_1 + ... + x_n = k - x_{n+1} \le k$.

Таким образом, задача сводится к нахождению количества неотрицательных целых решений уравнения с $n+1$ переменной. Это классическая задача комбинаторики, решаемая с помощью формулы сочетаний с повторениями (также известная как "задача о шарах и перегородках"). Число решений уравнения вида $y_1 + ... + y_m = r$ в неотрицательных целых числах вычисляется по формуле:

$\binom{r+m-1}{m-1}$ или $\binom{r+m-1}{r}$

В нашем случае количество переменных $m = n+1$, а их сумма $r = k$. Подставляем эти значения в формулу:

Число решений = $\binom{k + (n+1) - 1}{(n+1)-1} = \binom{n+k}{n}$.

Эквивалентная форма записи ответа, основанная на выборе $k$ позиций для "шаров" вместо $n$ позиций для "перегородок", выглядит так: $\binom{n+k}{k}$.

Ответ: $\binom{n+k}{n}$.

4.44. Найдите наибольший коэффициент в разложении выражения $(a + b + c + d)^5$.

Разложение выражения $(a + b + c + d)^5$ в полином осуществляется по полиномиальной (или мультиномиальной) формуле. Общий член разложения имеет вид:

$\frac{5!}{k_1! k_2! k_3! k_4!} a^{k_1} b^{k_2} c^{k_3} d^{k_4}$

где $k_1, k_2, k_3, k_4$ — это целые неотрицательные числа, сумма которых равна 5, то есть $k_1 + k_2 + k_3 + k_4 = 5$.

Коэффициенты в разложении — это полиномиальные коэффициенты вида $C(k_1, k_2, k_3, k_4) = \frac{5!}{k_1! k_2! k_3! k_4!}$. Нам необходимо найти наибольшее значение такого коэффициента.

Значение дроби $\frac{n!}{k_1! k_2! \dots k_m!}$ (где $n$ — фиксированное число, в нашем случае $n=5$) максимально, когда знаменатель $k_1! k_2! \dots k_m!$ минимален. Произведение факториалов будет минимальным, когда числа $k_1, k_2, k_3, k_4$ как можно меньше отличаются друг от друга, то есть когда их распределение наиболее равномерное.

Нам нужно разбить число 5 на 4 целых неотрицательных слагаемых, которые были бы как можно ближе друг к другу. Среднее значение слагаемого равно $5 / 4 = 1.25$. Следовательно, слагаемые должны быть целыми числами, максимально близкими к этому значению. Такими числами являются 1 и 2.

Наиболее равномерное представление числа 5 в виде суммы четырех целых неотрицательных чисел — это $5 = 2 + 1 + 1 + 1$. Любое другое разбиение (например, $5 = 3 + 1 + 1 + 0$ или $5 = 2 + 2 + 1 + 0$) будет менее равномерным, так как слагаемые в них больше отличаются друг от друга.

Таким образом, наибольший коэффициент будет соответствовать набору степеней $\{2, 1, 1, 1\}$. Вычислим его значение:

$C_{max} = \frac{5!}{2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{120}{2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1} = 60$.

Для сравнения, рассмотрим коэффициенты для других, менее равномерных, разбиений числа 5:

Для набора степеней $\{2, 2, 1, 0\}$ (сумма $2+2+1+0=5$): $C = \frac{5!}{2!2!1!0!} = \frac{120}{2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1} = 30$.

Для набора степеней $\{3, 1, 1, 0\}$ (сумма $3+1+1+0=5$): $C = \frac{5!}{3!1!1!0!} = \frac{120}{6 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1} = 20$.

Для набора степеней $\{4, 1, 0, 0\}$ (сумма $4+1+0+0=5$): $C = \frac{5!}{4!1!0!0!} = \frac{120}{24} = 5$.

Как видно, все эти коэффициенты меньше, чем 60. Следовательно, наибольший коэффициент равен 60.

Ответ: 60.

4.45. Найдите коэффициент при $x^5$ в разложении выражения $(2 + + x + 3x^2)^6$.

Для нахождения коэффициента при $x^5$ в разложении выражения $(2 + x + 3x^2)^6$ воспользуемся формулой полиномиального разложения (полиномиальной теоремой), которая для трёх слагаемых имеет вид:
$(a+b+c)^n = \sum_{k_1+k_2+k_3=n} \frac{n!}{k_1!k_2!k_3!} a^{k_1} b^{k_2} c^{k_3}$
В нашем случае $a = 2$, $b = x$, $c = 3x^2$ и $n=6$. Общий член разложения имеет вид:
$\frac{6!}{k_1! k_2! k_3!} (2)^{k_1} (x)^{k_2} (3x^2)^{k_3}$
где $k_1, k_2, k_3$ — целые неотрицательные числа, удовлетворяющие условию $k_1 + k_2 + k_3 = 6$.
Упростим выражение для общего члена, сгруппировав степени $x$:
$\frac{6!}{k_1! k_2! k_3!} 2^{k_1} \cdot 3^{k_3} \cdot x^{k_2} \cdot (x^2)^{k_3} = \frac{6!}{k_1! k_2! k_3!} 2^{k_1} 3^{k_3} x^{k_2+2k_3}$
Мы ищем коэффициент при $x^5$, следовательно, нам нужно найти все наборы целых неотрицательных чисел $(k_1, k_2, k_3)$, для которых выполняются два условия:
1) $k_1 + k_2 + k_3 = 6$
2) $k_2 + 2k_3 = 5$
Рассмотрим второе уравнение. Так как $k_2$ и $k_3$ должны быть неотрицательными целыми числами, переберём возможные значения для $k_3$:
- Если $k_3 = 0$, то $k_2 = 5$. Подставив эти значения в первое уравнение, получим $k_1 = 6 - k_2 - k_3 = 6 - 5 - 0 = 1$. Это допустимый набор: $(k_1, k_2, k_3) = (1, 5, 0)$.
- Если $k_3 = 1$, то $k_2 = 5 - 2(1) = 3$. Тогда $k_1 = 6 - 3 - 1 = 2$. Это допустимый набор: $(k_1, k_2, k_3) = (2, 3, 1)$.
- Если $k_3 = 2$, то $k_2 = 5 - 2(2) = 1$. Тогда $k_1 = 6 - 1 - 2 = 3$. Это допустимый набор: $(k_1, k_2, k_3) = (3, 1, 2)$.
- Если $k_3 \ge 3$, то $2k_3 \ge 6$, и значение $k_2 = 5 - 2k_3$ будет отрицательным, что недопустимо.
Таким образом, есть три набора показателей степеней, которые дают член с $x^5$. Вычислим коэффициенты для каждого из этих случаев.
1. Для набора $(1, 5, 0)$:
Коэффициент равен $\frac{6!}{1! 5! 0!} \cdot 2^1 \cdot 3^0 = \frac{6}{1} \cdot 2 \cdot 1 = 12$.
2. Для набора $(2, 3, 1)$:
Коэффициент равен $\frac{6!}{2! 3! 1!} \cdot 2^2 \cdot 3^1 = \frac{720}{2 \cdot 6 \cdot 1} \cdot 4 \cdot 3 = 60 \cdot 12 = 720$.
3. Для набора $(3, 1, 2)$:
Коэффициент равен $\frac{6!}{3! 1! 2!} \cdot 2^3 \cdot 3^2 = \frac{720}{6 \cdot 1 \cdot 2} \cdot 8 \cdot 9 = 60 \cdot 72 = 4320$.
Итоговый коэффициент при $x^5$ является суммой коэффициентов, найденных для каждого случая:
$12 + 720 + 4320 = 5052$.
Ответ: 5052.

4.46. Номера автомобилей записываются тремя или четырьмя буквами латинского алфавита и тремя цифрами. Сколько номеров можно составить с помощью 26 латинских букв и 10 цифр?

Для решения этой задачи необходимо вычислить количество возможных номеров для каждого из двух указанных форматов, а затем сложить полученные значения, так как в условии говорится о номерах с "тремя ИЛИ четырьмя буквами". Это указывает на применение правила суммы в комбинаторике.

Сначала рассмотрим формат номера, который записывается тремя буквами латинского алфавита и тремя цифрами.
Для каждой из трех позиций для букв есть 26 возможных вариантов (по числу букв в латинском алфавите). Поскольку буквы могут повторяться, общее число комбинаций для буквенной части равно $26 \times 26 \times 26 = 26^3$.
Аналогично, для каждой из трех позиций для цифр есть 10 возможных вариантов (цифры от 0 до 9). Поскольку цифры также могут повторяться, общее число комбинаций для цифровой части равно $10 \times 10 \times 10 = 10^3$.
Общее количество номеров первого типа ($K_1$) находим по правилу произведения, перемножая число вариантов для буквенной и цифровой частей:
$K_1 = 26^3 \times 10^3 = 17\,576 \times 1\,000 = 17\,576\,000$.

Далее рассмотрим второй формат номера, который записывается четырьмя буквами латинского алфавита и тремя цифрами.
Число комбинаций для буквенной части, состоящей из четырех букв, равно $26 \times 26 \times 26 \times 26 = 26^4$.
Число комбинаций для цифровой части остается таким же, то есть $10^3$.
Общее количество номеров второго типа ($K_2$) также находим по правилу произведения:
$K_2 = 26^4 \times 10^3 = 456\,976 \times 1\,000 = 456\,976\,000$.

Общее количество всех возможных номеров ($K_{общ}$) равно сумме количеств номеров обоих типов:
$K_{общ} = K_1 + K_2 = 17\,576\,000 + 456\,976\,000 = 474\,552\,000$.

Ответ: можно составить 474 552 000 номеров.