Номер 4.40, страница 113 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.40. Решите предыдущую задачу так, чтобы две буквы $a$ не располагались рядом.

В условии задачи 4.40 требуется решить предыдущую задачу (4.39), добавив условие, что две буквы «а» не должны стоять рядом. Поскольку текст задачи 4.39 не приведён, будем исходить из наиболее распространённого в подобных сборниках варианта для задач с таким набором букв: «Сколькими способами можно переставить буквы слова «параллелизм»?».

Слово «параллелизм» состоит из 11 букв, среди которых есть повторяющиеся: 2 буквы «а», 3 буквы «л», а остальные (п, р, е, и, з, м) встречаются по одному разу.

Для решения задачи воспользуемся методом размещения по позициям. Сначала расположим все буквы, кроме двух «а», а затем разместим буквы «а» в свободные места между ними. Это гарантирует, что буквы «а» не будут соседствовать.

Шаг 1. Расстановка букв без «а».

Исключим две буквы «а» и рассмотрим оставшиеся 9 букв: п, р, л, л, л, е, и, з, м. Нам нужно найти количество способов их переставить. Это задача о перестановках с повторениями, так как буква «л» встречается 3 раза. Количество таких перестановок $N_1$ вычисляется по формуле:

$N_1 = \frac{9!}{3!} = \frac{362880}{6} = 60480$

Шаг 2. Размещение букв «а».

После того как мы расставили 9 букв, между ними и по краям образовалось 10 возможных позиций для размещения двух букв «а». Если представить 9 букв как некие объекты Б, то схема позиций выглядит так:

_ Б _ Б _ Б _ Б _ Б _ Б _ Б _ Б _ Б _

Нам нужно выбрать 2 из этих 10 позиций. Так как обе буквы «а» одинаковы, порядок их расстановки не имеет значения. Следовательно, мы ищем число сочетаний из 10 элементов по 2, которое обозначается $C_{10}^2$.

$C_{10}^2 = \binom{10}{2} = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$

Шаг 3. Общее количество способов.

Чтобы найти общее количество перестановок, удовлетворяющих условию, нужно перемножить количество способов расстановки остальных букв на количество способов размещения букв «а» в свободных позициях.

$N = N_1 \cdot C_{10}^2 = 60480 \cdot 45 = 2721600$

Таким образом, существует 2 721 600 способов переставить буквы слова «параллелизм» так, чтобы две буквы «а» не располагались рядом.

Ответ: 2 721 600.