Номер 4.47, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.47. Упростите выражение:

1) $ \operatorname{tg} \varphi + \frac{\cos \varphi}{1 + \sin \varphi} $;

2) $ \operatorname{ctg} \varphi + \frac{\sin \varphi}{1 + \cos \varphi} $.

1) Упростим выражение $tg \varphi + \frac{\cos \varphi}{1 + \sin \varphi}$.

Сначала заменим $tg \varphi$ на $\frac{\sin \varphi}{\cos \varphi}$:

$\frac{\sin \varphi}{\cos \varphi} + \frac{\cos \varphi}{1 + \sin \varphi}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\cos \varphi (1 + \sin \varphi)$:

$\frac{\sin \varphi (1 + \sin \varphi) + \cos \varphi \cdot \cos \varphi}{\cos \varphi (1 + \sin \varphi)}$

Раскроем скобки в числителе и сгруппируем слагаемые:

$\frac{\sin \varphi + \sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi}{\cos \varphi (1 + \sin \varphi)}$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi = 1$. Тогда числитель примет вид:

$\sin \varphi + 1$

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{1 + \sin \varphi}{\cos \varphi (1 + \sin \varphi)}$

Сократим дробь на $(1 + \sin \varphi)$, при условии, что $1 + \sin \varphi \neq 0$:

$\frac{1}{\cos \varphi}$

Ответ: $\frac{1}{\cos \varphi}$.

2) Упростим выражение $ctg \varphi + \frac{\sin \varphi}{1 + \cos \varphi}$.

Сначала заменим $ctg \varphi$ на $\frac{\cos \varphi}{\sin \varphi}$:

$\frac{\cos \varphi}{\sin \varphi} + \frac{\sin \varphi}{1 + \cos \varphi}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin \varphi (1 + \cos \varphi)$:

$\frac{\cos \varphi (1 + \cos \varphi) + \sin \varphi \cdot \sin \varphi}{\sin \varphi (1 + \cos \varphi)}$

Раскроем скобки в числителе и сгруппируем слагаемые:

$\frac{\cos \varphi + \cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi}{\sin \varphi (1 + \cos \varphi)}$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi = 1$. Тогда числитель примет вид:

$\cos \varphi + 1$

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{1 + \cos \varphi}{\sin \varphi (1 + \cos \varphi)}$

Сократим дробь на $(1 + \cos \varphi)$, при условии, что $1 + \cos \varphi \neq 0$:

$\frac{1}{\sin \varphi}$

Ответ: $\frac{1}{\sin \varphi}$.