Номер 4.49, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.49. Постройте график функции:

1) $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 3;$

2) $y = 3 - \cos2\left(x + \frac{\pi}{6}\right).$

1) Построение графика функции $y = 2\sin(x - \frac{\pi}{3}) + 3$

Для построения данного графика мы будем использовать метод преобразования графика основной тригонометрической функции $y = \sin(x)$.

Преобразования выполняются в следующем порядке:

1. Базовый график: Начнем с графика функции $y_1 = \sin(x)$. Это стандартная синусоида с амплитудой 1 и периодом $2\pi$.

2. Растяжение по оси OY: Умножим функцию на 2, чтобы получить $y_2 = 2\sin(x)$. Это приведет к вертикальному растяжению графика в 2 раза. Амплитуда колебаний станет равной 2, а область значений изменится на $[-2, 2]$.

3. Сдвиг по оси OX (фазовый сдвиг): Заменим $x$ на $(x - \frac{\pi}{3})$, чтобы получить $y_3 = 2\sin(x - \frac{\pi}{3})$. Это сдвинет график $y_2$ на $\frac{\pi}{3}$ единиц вправо вдоль оси абсцисс.

4. Сдвиг по оси OY: Прибавим 3 к функции, чтобы получить итоговый вид $y = 2\sin(x - \frac{\pi}{3}) + 3$. Это сдвинет график $y_3$ на 3 единицы вверх вдоль оси ординат.

Итоговые характеристики функции:

• Период: $T = 2\pi$.

• Амплитуда: $A = 2$.

• Средняя линия: $y = 3$.

• Область значений: $[3 - 2, 3 + 2] = [1, 5]$.

• Фазовый сдвиг: $\frac{\pi}{3}$ вправо.

Ключевые точки для одного периода (начиная с $x=\frac{\pi}{3}$):

• Пересечение со средней линией (рост): $(\frac{\pi}{3}, 3)$

• Максимум: $(\frac{5\pi}{6}, 5)$

• Пересечение со средней линией (убывание): $(\frac{4\pi}{3}, 3)$

• Минимум: $(\frac{11\pi}{6}, 1)$

• Конец периода: $(\frac{7\pi}{3}, 3)$

Ответ:

2) Построение графика функции $y = 3 - \cos(2(x + \frac{\pi}{6}))$

Для удобства преобразуем функцию к виду $y = -\cos(2(x + \frac{\pi}{6})) + 3$. Построение будем выполнять путем последовательных преобразований графика базовой функции $y = \cos(x)$.

Преобразования выполняются в следующем порядке:

1. Базовый график: Начнем с графика функции $y_1 = \cos(x)$. Это стандартная косинусоида с амплитудой 1, периодом $2\pi$ и максимумом в точке $x=0$.

2. Сжатие по оси OX: Умножим аргумент на 2, чтобы получить $y_2 = \cos(2x)$. Это приведет к горизонтальному сжатию графика в 2 раза. Период уменьшится до $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

3. Сдвиг по оси OX (фазовый сдвиг): Заменим $x$ на $(x + \frac{\pi}{6})$, чтобы получить $y_3 = \cos(2(x + \frac{\pi}{6}))$. Это сдвинет график $y_2$ на $\frac{\pi}{6}$ единиц влево.

4. Отражение по оси OX: Изменим знак функции на противоположный, получив $y_4 = -\cos(2(x + \frac{\pi}{6}))$. Это отразит график $y_3$ симметрично относительно оси абсцисс. Максимумы станут минимумами и наоборот.

5. Сдвиг по оси OY: Прибавим 3 к функции, чтобы получить итоговый вид $y = -\cos(2(x + \frac{\pi}{6})) + 3$. Это сдвинет график $y_4$ на 3 единицы вверх.

Итоговые характеристики функции:

• Период: $T = \pi$.

• Амплитуда: $A = |-1| = 1$.

• Средняя линия: $y = 3$.

• Область значений: $[3 - 1, 3 + 1] = [2, 4]$.

• Фазовый сдвиг: $\frac{\pi}{6}$ влево.

Ключевые точки для одного периода (из-за отражения, в точке фазового сдвига $x=-\frac{\pi}{6}$ будет минимум):

• Минимум: $(-\frac{\pi}{6}, 2)$

• Пересечение со средней линией (рост): $(\frac{\pi}{12}, 3)$

• Максимум: $(\frac{\pi}{3}, 4)$

• Пересечение со средней линией (убывание): $(\frac{7\pi}{12}, 3)$

• Следующий минимум: $(\frac{5\pi}{6}, 2)$

Ответ: