Номер 4.54, страница 118 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.54. Пространство элементарных событий состоит из 8 элементов: $U = \{A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7, A_8\}$. Рассмотрим события $A = \{A_1, A_3\}$, $B = \{A_2, A_4, A_6, A_8\}$, $C = \{A_1, A_3, A_5, A_7\}$, $D = \{A_4, A_5, A_6, A_7\}$, $E = \{A_1, A_2, A_7, A_8\}$. Укажите:

1) все пары несовместных событий;

2) все пары совместных событий;

3) все пары противоположных событий;

4) все пары событий, в которых одно событие является следствием другого.

В данной задаче задано пространство элементарных событий $U = \{A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7, A_8\}$ и события:

$A = \{A_1, A_3\}$

$B = \{A_2, A_4, A_6, A_8\}$

$C = \{A_1, A_3, A_5, A_7\}$

$D = \{A_4, A_5, A_6, A_7\}$

$E = \{A_1, A_2, A_7, A_8\}$

Для ответа на вопросы задачи рассмотрим все возможные пары событий.

1) все пары несовместных событий;

Несовместными называются события, которые не могут произойти одновременно. В терминах теории множеств это означает, что их пересечение является пустым множеством ($X \cap Y = \emptyset$).

Вычислим пересечения для всех пар:

$A \cap B = \{A_1, A_3\} \cap \{A_2, A_4, A_6, A_8\} = \emptyset$. События несовместны.

$A \cap C = \{A_1, A_3\} \cap \{A_1, A_3, A_5, A_7\} = \{A_1, A_3\} \neq \emptyset$.

$A \cap D = \{A_1, A_3\} \cap \{A_4, A_5, A_6, A_7\} = \emptyset$. События несовместны.

$A \cap E = \{A_1, A_3\} \cap \{A_1, A_2, A_7, A_8\} = \{A_1\} \neq \emptyset$.

$B \cap C = \{A_2, A_4, A_6, A_8\} \cap \{A_1, A_3, A_5, A_7\} = \emptyset$. События несовместны.

$B \cap D = \{A_2, A_4, A_6, A_8\} \cap \{A_4, A_5, A_6, A_7\} = \{A_4, A_6\} \neq \emptyset$.

$B \cap E = \{A_2, A_4, A_6, A_8\} \cap \{A_1, A_2, A_7, A_8\} = \{A_2, A_8\} \neq \emptyset$.

$C \cap D = \{A_1, A_3, A_5, A_7\} \cap \{A_4, A_5, A_6, A_7\} = \{A_5, A_7\} \neq \emptyset$.

$C \cap E = \{A_1, A_3, A_5, A_7\} \cap \{A_1, A_2, A_7, A_8\} = \{A_1, A_7\} \neq \emptyset$.

$D \cap E = \{A_4, A_5, A_6, A_7\} \cap \{A_1, A_2, A_7, A_8\} = \{A_7\} \neq \emptyset$.

Ответ: Парами несовместных событий являются (A, B), (A, D), (B, C).

2) все пары совместных событий;

Совместными называются события, которые могут произойти одновременно. Их пересечение не является пустым множеством ($X \cap Y \neq \emptyset$). Это все пары, которые не являются несовместными. Исходя из расчетов в пункте 1, находим эти пары.

Ответ: Парами совместных событий являются (A, C), (A, E), (B, D), (B, E), (C, D), (C, E), (D, E).

3) все пары противоположных событий;

Противоположными называются два несовместных события, объединение которых составляет всё пространство элементарных событий ($X \cap Y = \emptyset$ и $X \cup Y = U$).

Рассмотрим пары несовместных событий из пункта 1):

Пара (A, B): $A \cup B = \{A_1, A_3\} \cup \{A_2, A_4, A_6, A_8\} = \{A_1, A_2, A_3, A_4, A_6, A_8\}$. Это объединение не равно $U$, так как в нем отсутствуют элементы $A_5$ и $A_7$.

Пара (A, D): $A \cup D = \{A_1, A_3\} \cup \{A_4, A_5, A_6, A_7\} = \{A_1, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7\}$. Это объединение не равно $U$, так как в нем отсутствуют элементы $A_2$ и $A_8$.

Пара (B, C): $B \cup C = \{A_2, A_4, A_6, A_8\} \cup \{A_1, A_3, A_5, A_7\} = \{A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7, A_8\} = U$. Так как $B \cap C = \emptyset$ и $B \cup C = U$, события B и C являются противоположными.

Ответ: Парой противоположных событий является (B, C).

4) все пары событий, в которых одно событие является следствием другого.

Событие Y является следствием события X, если наступление события X обязательно влечет за собой наступление события Y. Это означает, что множество элементарных исходов события X является подмножеством множества элементарных исходов события Y ($X \subseteq Y$).

Проверим все пары на наличие отношения включения:

Сравним A и C: $A = \{A_1, A_3\}$, $C = \{A_1, A_3, A_5, A_7\}$. Все элементы множества A содержатся в множестве C, следовательно, $A \subseteq C$. Это значит, что событие C является следствием события A.

При проверке остальных пар событий выясняется, что ни для какой другой пары отношение включения не выполняется.

Ответ: Пара (A, C), в которой событие C является следствием события A.