Номер 4.60, страница 118 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.60. Какова вероятность того, что случайно задуманное двузначное число, сумма цифр которого кратна 5, окажется простым?

Для решения задачи необходимо найти общее количество двузначных чисел, сумма цифр которых кратна 5, а затем определить, сколько из них являются простыми.

Пусть двузначное число имеет вид $10a + b$, где $a$ – цифра десятков ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ – цифра единиц ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Сумма цифр $a+b$ должна быть кратна 5. Минимальное значение суммы цифр двузначного числа равно $1+0=1$, а максимальное – $9+9=18$. В этом диапазоне значения, кратные 5, это 5, 10 и 15.

Рассмотрим каждый случай:

1. Сумма цифр равна 5 ($a+b=5$).
Такими числами являются: 14, 23, 32, 41, 50. Всего 5 чисел.

2. Сумма цифр равна 10 ($a+b=10$).
Такими числами являются: 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91. Всего 9 чисел.

3. Сумма цифр равна 15 ($a+b=15$).
Такими числами являются: 69, 78, 87, 96. Всего 4 числа.

Общее количество двузначных чисел, сумма цифр которых кратна 5, составляет $N = 5 + 9 + 4 = 18$. Это общее число равновозможных исходов.

Теперь из этих 18 чисел выберем те, которые являются простыми (делятся только на 1 и на самих себя). Это будут благоприятные исходы.

Проанализируем найденные числа:

• Из чисел с суммой цифр 5 (14, 23, 32, 41, 50) простыми являются 23 и 41.
• Из чисел с суммой цифр 10 (19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91) простыми являются 19, 37 и 73. (Число 91 составное, так как $91 = 7 \cdot 13$).
• Из чисел с суммой цифр 15 (69, 78, 87, 96) нет простых, так как все они делятся на 3 (поскольку сумма их цифр равна 15, что кратно 3).

Таким образом, количество благоприятных исходов (простых чисел) равно $m = 2 + 3 = 5$. Это числа: 19, 23, 37, 41, 73.

Вероятность $P$ того, что случайно выбранное число окажется простым, вычисляется по формуле классической вероятности:

$P = \frac{m}{N} = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}}$

Подставляя наши значения, получаем:

$P = \frac{5}{18}$

Ответ: $\frac{5}{18}$