Номер 4.65, страница 119 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.65. Для случайных событий A, B и C определите смысл равенства:

1) $A \cdot B \cdot C = A$

2) $A + B + C = A$

1) A ⋅ B ⋅ C = A;

В теории вероятностей произведение событий, обозначаемое как $A \cdot B \cdot C$ или в терминах теории множеств как $A \cap B \cap C$, представляет собой событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают все три события $A$, $B$ и $C$ одновременно (их пересечение).

Равенство $A \cdot B \cdot C = A$ означает, что событие "наступают $A$, $B$ и $C$ одновременно" эквивалентно событию "наступает $A$".

Проанализируем это условие. Если наступило событие $A$, то, согласно равенству, должно наступить и событие $A \cdot B \cdot C$. Это, в свою очередь, означает, что также наступили события $B$ и $C$. Следовательно, наступление события $A$ влечет за собой наступление событий $B$ и $C$.

В терминах теории множеств, это означает, что множество элементарных исходов, благоприятствующих событию $A$, является подмножеством множества исходов, благоприятствующих событию $B$, и одновременно подмножеством множества исходов, благоприятствующих событию $C$. Математически это записывается как:

$A \subseteq B$ и $A \subseteq C$.

Из этого следует, что событие $A$ является подмножеством пересечения событий $B$ и $C$: $A \subseteq (B \cap C)$. То есть, событие $A$ является частным случаем совместного наступления событий $B$ и $C$.

Наглядно это можно представить с помощью диаграммы Венна, где область, представляющая событие $A$, полностью содержится внутри пересечения областей событий $B$ и $C$.

Ответ: Равенство означает, что наступление события $A$ влечет за собой обязательное наступление событий $B$ и $C$.

2) A + B + C = A.

Сумма событий, обозначаемая как $A + B + C$ или в терминах теории множеств как $A \cup B \cup C$, представляет собой событие, которое наступает тогда, когда наступает хотя бы одно из событий $A$, $B$ или $C$ (их объединение).

Равенство $A + B + C = A$ означает, что событие "наступает хотя бы одно из событий $A, B, C$" эквивалентно событию "наступает $A$".

Проанализируем это условие. Если наступило событие $B$, то по определению суммы наступило и событие $A+B+C$. А так как $A+B+C=A$, значит, наступило и событие $A$. Аналогично, если наступило событие $C$, то наступит и событие $A$. Таким образом, наступление любого из событий $B$ или $C$ влечет за собой наступление события $A$.

В терминах теории множеств, это означает, что множество элементарных исходов, благоприятствующих событию $B$, является подмножеством множества исходов, благоприятствующих событию $A$. То же самое верно и для события $C$. Математически это записывается как:

$B \subseteq A$ и $C \subseteq A$.

Это означает, что события $B$ и $C$ являются частными случаями события $A$. Если происходит событие $B$ или событие $C$, то автоматически происходит и событие $A$.

Наглядно это можно представить с помощью диаграммы Венна, где области, представляющие события $B$ и $C$, полностью содержатся внутри области события $A$.

Ответ: Равенство означает, что наступление любого из событий $B$ или $C$ влечет за собой обязательное наступление события $A$.