Номер 4.70, страница 119 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.70. Из отрезков длиной 2 см, 5 см, 6 см и 10 см случайно отобрали три отрезка. Какова вероятность того, что из отобранных отрезков можно составить треугольник?

Для решения данной задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Сначала найдем общее число исходов $n$. У нас есть четыре отрезка с длинами 2 см, 5 см, 6 см и 10 см. Необходимо выбрать из них три отрезка. Так как порядок выбора не имеет значения, мы ищем число сочетаний из 4 элементов по 3.

Общее число способов выбрать 3 отрезка из 4 равно:$n = C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1} = 4$.

Таким образом, существует 4 возможных комбинации из трех отрезков. Перечислим их (указаны длины отрезков в см):
1. {2, 5, 6}
2. {2, 5, 10}
3. {2, 6, 10}
4. {5, 6, 10}

Теперь найдем число благоприятных исходов $m$. Благоприятный исход — это такой набор из трех отрезков, из которых можно составить треугольник. Для этого должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. На практике достаточно проверить выполнение этого условия для двух самых коротких сторон и самой длинной стороны: сумма длин двух коротких сторон должна быть больше длины самой длинной.

Проверим все возможные комбинации:
1. Для набора {2, 5, 6}: Проверяем $2 + 5 > 6$. Это верно, так как $7 > 6$. Значит, из этих отрезков можно составить треугольник. Это благоприятный исход.
2. Для набора {2, 5, 10}: Проверяем $2 + 5 > 10$. Это неверно, так как $7 \ngtr 10$. Треугольник составить нельзя.
3. Для набора {2, 6, 10}: Проверяем $2 + 6 > 10$. Это неверно, так как $8 \ngtr 10$. Треугольник составить нельзя.
4. Для набора {5, 6, 10}: Проверяем $5 + 6 > 10$. Это верно, так как $11 > 10$. Значит, из этих отрезков можно составить треугольник. Это второй благоприятный исход.

Таким образом, число благоприятных исходов $m = 2$.

Вероятность того, что из отобранных отрезков можно составить треугольник, равна:$P = \frac{m}{n} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Ответ: $0,5$