Номер 4.77, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.77. На шахматной доске случайно расставлены 2 ладьи разных цветов. Какова вероятность того, что эти ладьи не «бьют» друг друга?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{M}{N}$, где $N$ — общее число всех возможных элементарных исходов, а $M$ — число элементарных исходов, благоприятствующих событию.

Сначала определим общее число способов $N$ разместить две ладьи разных цветов на шахматной доске. Шахматная доска состоит из 64 клеток. Поскольку ладьи разных цветов (например, белая и черная), они являются различимыми объектами.
Первую ладью можно поставить на любую из 64 клеток. После этого для второй ладьи остается 63 свободных клетки. Следовательно, общее число способов расставить две различные ладьи на доске равно числу размещений из 64 по 2:
$N = A_{64}^2 = 64 \times (64-1) = 64 \times 63 = 4032$.

Теперь определим число благоприятных исходов $M$. Благоприятным исходом является такое расположение ладей, при котором они не «бьют» друг друга. Ладьи бьют друг друга, если находятся на одной горизонтали (строке) или одной вертикали (столбце). Значит, для благоприятного исхода они должны стоять в разных строках и разных столбцах.
Рассчитаем количество таких позиций.
Первую ладью можно поставить на любую из 64 клеток.
После размещения первой ладьи, она занимает одну строку и один столбец. На доске 8 строк и 8 столбцов. Чтобы вторая ладья не оказалась под боем, ее нужно поставить на одну из клеток, не принадлежащих строке или столбцу первой ладьи. Количество таких «безопасных» клеток для второй ладьи равно $(8-1) \times (8-1) = 7 \times 7 = 49$.
Таким образом, для каждого из 64 возможных положений первой ладьи существует 49 положений для второй ладьи, при которых они не будут бить друг друга. Число благоприятных исходов составляет:
$M = 64 \times 49 = 3136$.

Теперь мы можем вычислить искомую вероятность:
$P = \frac{M}{N} = \frac{64 \times 49}{64 \times 63} = \frac{49}{63}$.
Сокращая дробь на 7, получаем:
$P = \frac{7}{9}$.

Ответ: $\frac{7}{9}$.