Номер 4.75, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.75. В лифт 9-этажного дома вошли 5 пассажиров. Считая, что каждый из них может выйти с равной возможностью на любом этаже дома, найдите вероятность того, что:

1) все выйдут на одном этаже;

2) все выйдут на 7 этаже;

3) все выйдут на разных этажах.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число равновероятных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

По условию, в лифт 9-этажного дома вошли 5 пассажиров. Будем исходить из стандартного предположения, что вход в лифт происходит на первом этаже, а выход возможен на любом из этажей со 2-го по 9-й. Таким образом, для каждого из 5 пассажиров существует $n = 8$ равновероятных вариантов выбора этажа.

Общее число всех возможных комбинаций выхода пассажиров — это число размещений с повторениями из 8 элементов (этажей) по 5 (пассажирам). Оно равно:
$N = n^k = 8^5 = 32768$.

1) все выйдут на одном этаже

Событие A состоит в том, что все 5 пассажиров выйдут на одном и том же этаже. Благоприятный исход — это когда все выходят на 2-м, или все на 3-м, ..., или все на 9-м этаже. Всего таких этажей, на которых могут выйти все вместе, 8.
Следовательно, число благоприятствующих исходов $m_1 = 8$.
Вероятность этого события:
$P(A) = \frac{m_1}{N} = \frac{8}{32768} = \frac{8}{8^5} = \frac{1}{8^4} = \frac{1}{4096}$.
Ответ: $\frac{1}{4096}$.

2) все выйдут на 7 этаже

Событие B заключается в том, что все 5 пассажиров выйдут на 7-м этаже. Это один-единственный исход, при котором выбор каждого из 5 пассажиров — 7-й этаж.
Число благоприятствующих исходов в этом случае $m_2 = 1$.
Вероятность данного события:
$P(B) = \frac{m_2}{N} = \frac{1}{8^5} = \frac{1}{32768}$.
Ответ: $\frac{1}{32768}$.

3) все выйдут на разных этажах

Событие C — все 5 пассажиров выходят на разных этажах. Для этого необходимо, чтобы этажи, выбранные пассажирами, не совпадали.
Число благоприятствующих исходов $m_3$ — это количество способов выбрать 5 различных этажей из 8 доступных и распределить их между 5-ю пассажирами (важен порядок, так как пассажиры различимы). Это число размещений без повторений из 8 по 5:
$m_3 = A_8^5 = \frac{8!}{(8-5)!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720$.
Вероятность этого события:
$P(C) = \frac{m_3}{N} = \frac{6720}{32768}$.
Сократим полученную дробь:
$P(C) = \frac{6720 \div 64}{32768 \div 64} = \frac{105}{512}$.
Ответ: $\frac{105}{512}$.