Номер 4.74, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.74. Даны события $A$, $B$ и $C$. Разложите события на сумму попарно несовместных событий:

1) $A + B$;

2) $A + B + C$.

Задача состоит в том, чтобы представить сумму событий (объединение) в виде суммы попарно несовместных (взаимно исключающих) событий. Два события называются несовместными, если их одновременное наступление невозможно, то есть их пересечение является невозможным событием ($\emptyset$). В алгебре событий пересечение обозначается произведением событий (например, $AB$), а объединение — суммой (например, $A+B$). Событие, противоположное событию $A$, обозначается $\bar{A}$.

1) A + B

Событие $A + B$ означает, что произошло хотя бы одно из событий $A$ или $B$. Чтобы разложить это событие на сумму несовместных, мы можем взять первое событие $A$ и прибавить к нему ту часть события $B$, которая не входит в $A$. Эта часть соответствует наступлению события $B$ при условии, что событие $A$ не наступило, и записывается как $B\bar{A}$.

Таким образом, мы представляем сумму $A + B$ в виде суммы двух событий: $A$ и $B\bar{A}$.

Проверим, что эти события несовместны. Их пересечение (одновременное наступление) — это событие $A \cdot (B\bar{A}) = AB\bar{A}$. Так как событие $A$ и противоположное ему событие $\bar{A}$ не могут произойти одновременно ($A\bar{A} = \emptyset$), их пересечение является невозможным событием. Значит, события $A$ и $B\bar{A}$ несовместны.

Сумма этих несовместных событий $A + B\bar{A}$ эквивалентна событию $A+B$, так как она охватывает все случаи, когда наступает $A$ (независимо от $B$), и все случаи, когда наступает $B$, но не наступает $A$. Вместе это покрывает все исходы, входящие в $A+B$.

Визуально это можно представить с помощью диаграммы Венна. Событие $A$ представлено синей областью, а событие $B\bar{A}$ — зелёной. Вместе они составляют всё объединение $A+B$.

Замечание: симметрично можно было бы получить другое разложение: $A+B = B + A\bar{B}$.

Ответ: $A + B = A + B\bar{A}$

2) A + B + C

Для разложения события $A+B+C$ применим тот же последовательный подход. Событие $A+B+C$ означает, что произошло хотя бы одно из событий $A$, $B$ или $C$.

1. Начинаем с события $A$.

2. Добавляем ту часть события $B$, которая еще не была учтена, то есть ту, где $A$ не происходит. Это событие $B\bar{A}$.

3. Добавляем ту часть события $C$, которая еще не была учтена, то есть ту, где не происходит ни $A$, ни $B$. Это событие "C и не A и не B", которое записывается как $C\bar{A}\bar{B}$.

Таким образом, разложение имеет вид: $A + B\bar{A} + C\bar{A}\bar{B}$.

Проверим попарную несовместность этих трех событий:

• $A$ и $B\bar{A}$: Их пересечение $A(B\bar{A}) = AB\bar{A} = \emptyset$ из-за сомножителя $A\bar{A}$.

• $A$ и $C\bar{A}\bar{B}$: Их пересечение $A(C\bar{A}\bar{B}) = AC\bar{A}\bar{B} = \emptyset$ из-за сомножителя $A\bar{A}$.

• $B\bar{A}$ и $C\bar{A}\bar{B}$: Их пересечение $(B\bar{A})(C\bar{A}\bar{B}) = BC\bar{A}\bar{A}\bar{B} = BC\bar{A}\bar{B} = \emptyset$ из-за сомножителя $B\bar{B}$.

Все три события попарно несовместны. Их сумма $A + B\bar{A} + C\bar{A}\bar{B}$ покрывает все возможные исходы, при которых наступает хотя бы одно из событий $A$, $B$ или $C$, что эквивалентно $A+B+C$.

На диаграмме Венна ниже показаны три несовместных события, составляющие сумму $A+B+C$: событие $A$ (синяя область), событие $B\bar{A}$ (зеленая область) и событие $C\bar{A}\bar{B}$ (красная область).

Замечание: используя законы де Моргана, можно записать $C\bar{A}\bar{B} = C\overline{(A+B)}$. Тогда разложение примет вид $A + B\bar{A} + C\overline{(A+B)}$.

Ответ: $A + B + C = A + B\bar{A} + C\bar{A}\bar{B}$