Номер 4.80, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.80. Предыдущую задачу решите, считая, что в игре участвуют три игрока.

Поскольку условие задачи ссылается на предыдущую, которую мы не знаем, будем исходить из наиболее распространенного варианта такой задачи. Обычно речь идет об игре, в которой несколько участников поочередно выполняют некоторое действие до первого успеха (например, бросают монету до выпадения орла). Тот, кто первым добился успеха, выигрывает. В предыдущей задаче, вероятно, рассматривался случай с двумя игроками. В данной задаче мы решим ее для трех игроков.

Пусть в игре участвуют три игрока, которые ходят по очереди. Пусть вероятность успеха в одной попытке (например, выпадение орла) равна $p$, и эта вероятность одинакова для всех игроков. Тогда вероятность неудачи в одной попытке равна $q = 1-p$.

Вероятность выигрыша для первого игрока

Первый игрок (назовем его Игрок 1) выигрывает, если ему выпадает успех на его ходу. Это может произойти:

• На 1-м ходу (его первая попытка). Вероятность этого события равна $p$.
• На 4-м ходу (его вторая попытка). Для этого первые три хода (Игрока 1, Игрока 2 и Игрока 3) должны быть неудачными. Вероятность этого $q \cdot q \cdot q \cdot p = q^3 p$.
• На 7-м ходу (его третья попытка). Для этого первые шесть ходов должны быть неудачными. Вероятность этого $q^6 p$.

И так далее. Полная вероятность выигрыша для первого игрока $P_1$ — это сумма вероятностей этих взаимоисключающих событий: $P_1 = p + q^3 p + q^6 p + \dots$ Это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, где первый член $a_1 = p$, а знаменатель $r = q^3$. Сумма вычисляется по формуле $S = \frac{a_1}{1-r}$. $P_1 = \frac{p}{1-q^3}$

Вероятность выигрыша для второго игрока

Второй игрок (Игрок 2) выигрывает, если ему выпадает успех на его ходу. Это может произойти:

• На 2-м ходу. Для этого Игрок 1 должен потерпеть неудачу, а Игрок 2 — добиться успеха. Вероятность этого $q \cdot p = qp$.
• На 5-м ходу. Для этого первые четыре хода должны быть неудачными. Вероятность этого $q^4 p$.
• На 8-м ходу. Вероятность $q^7 p$.

Полная вероятность выигрыша для второго игрока $P_2$: $P_2 = qp + q^4 p + q^7 p + \dots$ Это также сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $a_1 = qp$ и знаменателем $r = q^3$. $P_2 = \frac{qp}{1-q^3}$

Вероятность выигрыша для третьего игрока

Третий игрок (Игрок 3) выигрывает, если ему выпадает успех на его ходу. Это может произойти:

• На 3-м ходу. Для этого Игрок 1 и Игрок 2 должны потерпеть неудачу. Вероятность этого $q \cdot q \cdot p = q^2 p$.
• На 6-м ходу. Вероятность $q^5 p$.
• На 9-м ходу. Вероятность $q^8 p$.

Полная вероятность выигрыша для третьего игрока $P_3$: $P_3 = q^2 p + q^5 p + q^8 p + \dots$ Это геометрическая прогрессия с первым членом $a_1 = q^2 p$ и знаменателем $r = q^3$. $P_3 = \frac{q^2 p}{1-q^3}$

Для получения численного ответа необходимо знать значение вероятности успеха $p$. Предположим, что предыдущая задача описывала игру с подбрасыванием симметричной монеты, где успех — это выпадение «орла». В этом случае вероятность успеха $p = 1/2$, а вероятность неудачи $q = 1/2$.

Подставим эти значения в полученные формулы:

Вероятность выигрыша для первого игрока: $P_1 = \frac{1/2}{1-(1/2)^3} = \frac{1/2}{1-1/8} = \frac{1/2}{7/8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{7} = \frac{4}{7}$

Вероятность выигрыша для второго игрока: $P_2 = \frac{(1/2) \cdot (1/2)}{1-(1/2)^3} = \frac{1/4}{7/8} = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{7} = \frac{2}{7}$

Вероятность выигрыша для третьего игрока: $P_3 = \frac{(1/2)^2 \cdot (1/2)}{1-(1/2)^3} = \frac{1/8}{7/8} = \frac{1}{7}$

Проверка: сумма вероятностей должна быть равна 1. $P_1 + P_2 + P_3 = \frac{4}{7} + \frac{2}{7} + \frac{1}{7} = \frac{7}{7} = 1$. Расчеты верны.

Ответ: Вероятности выигрыша для трех игроков, зависящие от вероятности успеха $p$ в одной попытке ($q=1-p$), равны:

• для первого игрока: $P_1 = \frac{p}{1-q^3}$
• для второго игрока: $P_2 = \frac{qp}{1-q^3}$
• для третьего игрока: $P_3 = \frac{q^2 p}{1-q^3}$

• для первого игрока: $\frac{4}{7}$
• для второго игрока: $\frac{2}{7}$
• для третьего игрока: $\frac{1}{7}$