Номер 4.83, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.83. Вычислите:

1) $ \cos 70^{\circ} \cdot \cos 50^{\circ} \cdot \cos 10^{\circ} $;

2) $ \sin 15^{\circ} - \sin 75^{\circ} $.

1) Для вычисления выражения $\cos 70^\circ \cdot \cos 50^\circ \cdot \cos 10^\circ$ воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.

Сначала преобразуем произведение первых двух косинусов:

$\cos 70^\circ \cos 50^\circ = \frac{1}{2}(\cos(70^\circ - 50^\circ) + \cos(70^\circ + 50^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 20^\circ + \cos 120^\circ)$.

Зная, что $\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$, получаем:

$\frac{1}{2}(\cos 20^\circ - \frac{1}{2})$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$(\frac{1}{2}(\cos 20^\circ - \frac{1}{2})) \cdot \cos 10^\circ = \frac{1}{2} \cos 20^\circ \cos 10^\circ - \frac{1}{4} \cos 10^\circ$.

Снова применяем формулу произведения косинусов для $\cos 20^\circ \cos 10^\circ$:

$\cos 20^\circ \cos 10^\circ = \frac{1}{2}(\cos(20^\circ - 10^\circ) + \cos(20^\circ + 10^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 10^\circ + \cos 30^\circ)$.

Подставляем это в наше выражение:

$\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2}(\cos 10^\circ + \cos 30^\circ) \right] - \frac{1}{4} \cos 10^\circ = \frac{1}{4} \cos 10^\circ + \frac{1}{4} \cos 30^\circ - \frac{1}{4} \cos 10^\circ$.

После сокращения подобных членов остается:

$\frac{1}{4} \cos 30^\circ$.

Так как $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, окончательный результат:

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{8}$.

2) Для вычисления выражения $\sin 15^\circ - \sin 75^\circ$ воспользуемся формулой преобразования разности синусов в произведение: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.

Применим эту формулу, где $\alpha = 15^\circ$ и $\beta = 75^\circ$:

$\sin 15^\circ - \sin 75^\circ = 2 \cos\left(\frac{15^\circ+75^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{15^\circ-75^\circ}{2}\right)$.

Вычислим аргументы функций:

$\frac{15^\circ+75^\circ}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

$\frac{15^\circ-75^\circ}{2} = \frac{-60^\circ}{2} = -30^\circ$.

Таким образом, выражение принимает вид:

$2 \cos 45^\circ \sin(-30^\circ)$.

Используя свойство нечетности синуса, $\sin(-x) = -\sin(x)$, получаем:

$2 \cos 45^\circ (-\sin 30^\circ) = -2 \cos 45^\circ \sin 30^\circ$.

Подставим табличные значения $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$:

$-2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.