Номер 4.86, страница 123 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.86. Из трех стрелков один произвел выстрел по мишени и поразил ее. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,3, вторым стрелком – 0,5, а третьим стрелком – 0,8. Какова вероятность того, что по мишени выстрелил второй стрелок?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой Байеса. Пусть у нас есть следующие события:

$H_1$ – событие, состоящее в том, что выстрелил первый стрелок.

$H_2$ – событие, состоящее в том, что выстрелил второй стрелок.

$H_3$ – событие, состоящее в том, что выстрелил третий стрелок.

$A$ – событие, состоящее в том, что мишень была поражена.

По условию задачи, выстрел произвел один из трех стрелков. Так как нет никаких дополнительных сведений о том, кто именно стрелял, мы можем предположить, что выбор стрелка был равновероятным. Таким образом, априорные (доопытные) вероятности гипотез $H_1, H_2, H_3$ равны:

$P(H_1) = P(H_2) = P(H_3) = \frac{1}{3}$

Из условия задачи нам известны условные вероятности попадания в мишень для каждого стрелка. Это вероятность события $A$ при условии, что произошла одна из гипотез $H_1, H_2$ или $H_3$:

Вероятность попадания первым стрелком: $P(A|H_1) = 0,3$

Вероятность попадания вторым стрелком: $P(A|H_2) = 0,5$

Вероятность попадания третьим стрелком: $P(A|H_3) = 0,8$

Нам нужно найти вероятность того, что выстрелил именно второй стрелок, при условии, что мишень уже поражена. То есть, мы ищем условную вероятность $P(H_2|A)$.

Согласно формуле Байеса:

$P(H_2|A) = \frac{P(H_2) \cdot P(A|H_2)}{P(A)}$

Знаменатель $P(A)$ – это полная вероятность события $A$ (поражения мишени), которая вычисляется по формуле полной вероятности:

$P(A) = P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2)P(A|H_2) + P(H_3)P(A|H_3)$

Подставим известные значения в формулу полной вероятности:

$P(A) = \frac{1}{3} \cdot 0,3 + \frac{1}{3} \cdot 0,5 + \frac{1}{3} \cdot 0,8 = \frac{1}{3}(0,3 + 0,5 + 0,8) = \frac{1}{3} \cdot 1,6 = \frac{1,6}{3}$

Теперь мы можем вычислить искомую вероятность $P(H_2|A)$:

$P(H_2|A) = \frac{P(H_2) \cdot P(A|H_2)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{3} \cdot 0,5}{\frac{1,6}{3}}$

Сократив $\frac{1}{3}$ в числителе и знаменателе, получаем:

$P(H_2|A) = \frac{0,5}{1,6} = \frac{5}{16}$

Переведем дробь в десятичный вид:

$\frac{5}{16} = 0,3125$

Ответ: Вероятность того, что по мишени выстрелил второй стрелок, равна $\frac{5}{16}$ или $0,3125$.