Страница 123 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.86. Из трех стрелков один произвел выстрел по мишени и поразил ее. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,3, вторым стрелком – 0,5, а третьим стрелком – 0,8. Какова вероятность того, что по мишени выстрелил второй стрелок?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой Байеса. Пусть у нас есть следующие события:

$H_1$ – событие, состоящее в том, что выстрелил первый стрелок.

$H_2$ – событие, состоящее в том, что выстрелил второй стрелок.

$H_3$ – событие, состоящее в том, что выстрелил третий стрелок.

$A$ – событие, состоящее в том, что мишень была поражена.

По условию задачи, выстрел произвел один из трех стрелков. Так как нет никаких дополнительных сведений о том, кто именно стрелял, мы можем предположить, что выбор стрелка был равновероятным. Таким образом, априорные (доопытные) вероятности гипотез $H_1, H_2, H_3$ равны:

$P(H_1) = P(H_2) = P(H_3) = \frac{1}{3}$

Из условия задачи нам известны условные вероятности попадания в мишень для каждого стрелка. Это вероятность события $A$ при условии, что произошла одна из гипотез $H_1, H_2$ или $H_3$:

Вероятность попадания первым стрелком: $P(A|H_1) = 0,3$

Вероятность попадания вторым стрелком: $P(A|H_2) = 0,5$

Вероятность попадания третьим стрелком: $P(A|H_3) = 0,8$

Нам нужно найти вероятность того, что выстрелил именно второй стрелок, при условии, что мишень уже поражена. То есть, мы ищем условную вероятность $P(H_2|A)$.

Согласно формуле Байеса:

$P(H_2|A) = \frac{P(H_2) \cdot P(A|H_2)}{P(A)}$

Знаменатель $P(A)$ – это полная вероятность события $A$ (поражения мишени), которая вычисляется по формуле полной вероятности:

$P(A) = P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2)P(A|H_2) + P(H_3)P(A|H_3)$

Подставим известные значения в формулу полной вероятности:

$P(A) = \frac{1}{3} \cdot 0,3 + \frac{1}{3} \cdot 0,5 + \frac{1}{3} \cdot 0,8 = \frac{1}{3}(0,3 + 0,5 + 0,8) = \frac{1}{3} \cdot 1,6 = \frac{1,6}{3}$

Теперь мы можем вычислить искомую вероятность $P(H_2|A)$:

$P(H_2|A) = \frac{P(H_2) \cdot P(A|H_2)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{3} \cdot 0,5}{\frac{1,6}{3}}$

Сократив $\frac{1}{3}$ в числителе и знаменателе, получаем:

$P(H_2|A) = \frac{0,5}{1,6} = \frac{5}{16}$

Переведем дробь в десятичный вид:

$\frac{5}{16} = 0,3125$

Ответ: Вероятность того, что по мишени выстрелил второй стрелок, равна $\frac{5}{16}$ или $0,3125$.

4.87. Предположим, что $0.5\%$ всех мужчин и $0.25\%$ всех женщин – дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? (Считать, что количество мужчин и женщин одинаковое.)

Для решения этой задачи используется формула Байеса. Введем обозначения для событий:

$М$ – событие, состоящее в том, что случайно выбранное лицо является мужчиной.

$Ж$ – событие, состоящее в том, что случайно выбранное лицо является женщиной.

$Д$ – событие, состоящее в том, что случайно выбранное лицо страдает дальтонизмом.

Из условия задачи нам даны следующие вероятности:

Вероятность того, что мужчина страдает дальтонизмом (условная вероятность): $P(Д|М) = 0,5\% = 0,005$.

Вероятность того, что женщина страдает дальтонизмом (условная вероятность): $P(Д|Ж) = 0,25\% = 0,0025$.

Поскольку по условию количество мужчин и женщин одинаковое, вероятности выбрать мужчину или женщину равны:

$P(М) = 0,5$

$P(Ж) = 0,5$

Нам необходимо найти вероятность того, что выбранное лицо, страдающее дальтонизмом, является мужчиной, то есть условную вероятность $P(М|Д)$.

Согласно формуле Байеса:

$P(М|Д) = \frac{P(Д|М) \cdot P(М)}{P(Д)}$

Для начала найдем полную вероятность события $Д$ (вероятность того, что случайно выбранное лицо страдает дальтонизмом). Для этого воспользуемся формулой полной вероятности:

$P(Д) = P(Д|М) \cdot P(М) + P(Д|Ж) \cdot P(Ж)$

Подставим известные значения в формулу:

$P(Д) = 0,005 \cdot 0,5 + 0,0025 \cdot 0,5 = 0,0025 + 0,00125 = 0,00375$

Теперь, зная $P(Д)$, мы можем вычислить искомую вероятность $P(М|Д)$:

$P(М|Д) = \frac{P(Д|М) \cdot P(М)}{P(Д)} = \frac{0,005 \cdot 0,5}{0,00375} = \frac{0,0025}{0,00375}$

Упростим полученную дробь:

$P(М|Д) = \frac{0,0025}{0,00375} = \frac{250}{375} = \frac{2 \cdot 125}{3 \cdot 125} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

4.88. В одной урне имеются 5 белых и 10 черных шаров, а в другой – 10 белых и 5 черных шаров. Случайно выбирают одну из урн, из которой наугад извлекают один шар. Найдите вероятность того, что:

1) вынутый шар окажется белого цвета;

2) вынутый шар окажется белого цвета и что он вынут из второй урны.

Для решения задачи введем следующие события:
$H_1$ – событие, состоящее в том, что выбрана первая урна.
$H_2$ – событие, состоящее в том, что выбрана вторая урна.
$A$ – событие, состоящее в том, что извлеченный шар белого цвета.

Поскольку урну выбирают случайно, вероятности выбора каждой из урн равны:
$P(H_1) = 1/2$
$P(H_2) = 1/2$

Теперь определим условные вероятности извлечения белого шара из каждой урны.
В первой урне находится 5 белых и 10 черных шаров, всего $5 + 10 = 15$ шаров. Вероятность извлечь белый шар при условии, что была выбрана первая урна, равна:
$P(A|H_1) = 5/15 = 1/3$.
Во второй урне находится 10 белых и 5 черных шаров, всего $10 + 5 = 15$ шаров. Вероятность извлечь белый шар при условии, что была выбрана вторая урна, равна:
$P(A|H_2) = 10/15 = 2/3$.

1) вынутый шар окажется белого цвета
Вероятность того, что вынутый шар окажется белым, найдем по формуле полной вероятности. Это событие $A$ может произойти вместе с одним из событий $H_1$ или $H_2$.
$P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2)$
Подставляем вычисленные значения:
$P(A) = (1/2) \cdot (1/3) + (1/2) \cdot (2/3) = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2$.
Ответ: $1/2$.

2) вынутый шар окажется белого цвета и что он вынут из второй урны
Требуется найти вероятность совместного происхождения двух событий: выбрана вторая урна ($H_2$) и извлечен белый шар ($A$). Это вероятность пересечения событий $A$ и $H_2$.
Для ее нахождения используем формулу умножения вероятностей:
$P(A \cap H_2) = P(H_2) \cdot P(A|H_2)$
Подставляем известные значения:
$P(A \cap H_2) = (1/2) \cdot (2/3) = 2/6 = 1/3$.
Ответ: $1/3$.

4.89. В магазин поступили две равные по количеству партии обуви в одинаковых упаковках. Известно, что 40% обуви в первой партии и 70% обуви во второй партии черного цвета. Какова вероятность того, что взятая наугад в магазине пара обуви будет черного цвета?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой полной вероятности.

Пусть событие $A$ заключается в том, что взятая наугад пара обуви будет черного цвета.

Введем две гипотезы:

$H_1$ – выбранная пара обуви из первой партии.

$H_2$ – выбранная пара обуви из второй партии.

Поскольку в магазин поступили две равные по количеству партии обуви, то вероятность выбрать пару из любой из этих партий одинакова:

$P(H_1) = P(H_2) = \frac{1}{2} = 0.5$

Из условия задачи известны условные вероятности того, что обувь будет черной, при условии, что она выбрана из определенной партии:

Вероятность выбрать черную обувь из первой партии: $P(A|H_1) = 40\% = 0.4$.

Вероятность выбрать черную обувь из второй партии: $P(A|H_2) = 70\% = 0.7$.

Вероятность того, что случайно выбранная пара обуви окажется черной, можно найти по формуле полной вероятности:

$P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2)$

Подставим известные значения в формулу:

$P(A) = 0.5 \cdot 0.4 + 0.5 \cdot 0.7 = 0.2 + 0.35 = 0.55$

Таким образом, искомая вероятность равна 0.55.

Ответ: 0.55

4.90. Сборщик получил 3 коробки деталей, изготовленных в первом цехе, и 2 коробки деталей, изготовленных во втором цехе. Вероятность того, что деталь, изготовленная в первом цехе, стандартна, равна $0,8$, а во втором цехе – $0,9$. Сборщик наудачу извлек деталь из случайно взятой коробки. Найдите вероятность того, что:

1) извлечена стандартная деталь;

2) извлечена стандартная деталь, изготовленная во втором цехе.

1) извлечена стандартная деталь

Для решения задачи введем следующие события:
$H_1$ – выбрана коробка из первого цеха.
$H_2$ – выбрана коробка из второго цеха.
$A$ – извлеченная деталь является стандартной.

Всего коробок $3 + 2 = 5$. Так как сборщик выбирает коробку наугад, вероятности выбора коробки из каждого цеха (гипотезы $H_1$ и $H_2$) равны:
$P(H_1) = \frac{3}{5} = 0.6$
$P(H_2) = \frac{2}{5} = 0.4$

Согласно условию, вероятности извлечь стандартную деталь из коробок первого и второго цехов (условные вероятности) равны:
$P(A|H_1) = 0.8$
$P(A|H_2) = 0.9$

Вероятность того, что извлеченная наугад деталь окажется стандартной, можно найти по формуле полной вероятности. Эта формула суммирует вероятности извлечения стандартной детали через все возможные гипотезы (в данном случае, выбор коробки из первого или второго цеха):
$P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2)$
Подставим известные значения:
$P(A) = 0.6 \cdot 0.8 + 0.4 \cdot 0.9 = 0.48 + 0.36 = 0.84$
Ответ: $0.84$

2) извлечена стандартная деталь, изготовленная во втором цехе

В этом пункте требуется найти вероятность совместного наступления двух событий: была выбрана коробка из второго цеха (событие $H_2$) и из нее была извлечена стандартная деталь (событие $A$). Эту вероятность обозначают как $P(A \cap H_2)$.
Для её вычисления используется формула умножения вероятностей:
$P(A \cap H_2) = P(H_2) \cdot P(A|H_2)$
Подставим известные значения:
$P(A \cap H_2) = 0.4 \cdot 0.9 = 0.36$
Ответ: $0.36$

4.91. В электрической сети три элемента соединены последовательно. Вероятности того, что эти элементы выйдут из строя, равны 0,1; 0,15 и 0,2 соответственно. Какова вероятность того, что в электрической сети будет ток?

В задаче рассматривается электрическая цепь с тремя последовательно соединенными элементами. Ток в такой цепи будет протекать только в том случае, если все три элемента исправны и находятся в рабочем состоянии. Если хотя бы один из элементов выйдет из строя, вся цепь будет разомкнута, и ток прекратится.

Пусть событие $A$ заключается в том, что в электрической сети будет ток. Это событие произойдет тогда и только тогда, когда одновременно работают первый, второй и третий элементы.

Обозначим вероятности выхода из строя для каждого элемента:
$P(F_1) = 0,1$ — вероятность отказа первого элемента.
$P(F_2) = 0,15$ — вероятность отказа второго элемента.
$P(F_3) = 0,2$ — вероятность отказа третьего элемента.

Событие, что элемент работает, является противоположным событию, что он вышел из строя. Вероятность противоположного события равна $1$ минус вероятность исходного события. Найдем вероятности безотказной работы для каждого элемента:

Вероятность того, что первый элемент работает ($W_1$):
$P(W_1) = 1 - P(F_1) = 1 - 0,1 = 0,9$.

Вероятность того, что второй элемент работает ($W_2$):
$P(W_2) = 1 - P(F_2) = 1 - 0,15 = 0,85$.

Вероятность того, что третий элемент работает ($W_3$):
$P(W_3) = 1 - P(F_3) = 1 - 0,2 = 0,8$.

Поскольку отказы элементов являются независимыми событиями, то и их безотказная работа также является независимыми событиями. Вероятность того, что все три независимых события произойдут одновременно, равна произведению их индивидуальных вероятностей.

Вероятность того, что в сети будет ток, равна вероятности того, что все три элемента работают:
$P(A) = P(W_1 \text{ и } W_2 \text{ и } W_3) = P(W_1) \cdot P(W_2) \cdot P(W_3)$.

Подставим вычисленные значения и найдем искомую вероятность:
$P(A) = 0,9 \cdot 0,85 \cdot 0,8 = 0,765 \cdot 0,8 = 0,612$.

Ответ: 0,612.

4.92. В каждом из трех мешочков имеются по 4 красных и 6 белых альчиков. Из первого мешочка наугад взят альчик и переложен во второй мешочек. Затем из второго мешочка наугад взят альчик и переложен в третий мешочек. Наконец, из третьего мешочка наугад извлекли один альчик. Какова вероятность того, что этот альчик окажется красного цвета?

Для решения задачи воспользуемся формулой полной вероятности. Пусть $A$ — событие, состоящее в том, что из третьего мешочка извлекли красный альчик. Вероятность этого события зависит от того, какой альчик (красный или белый) был переложен в третий мешочек из второго.

Введем гипотезы:
$H_{2К}$ — из второго мешочка в третий переложили красный альчик.
$H_{2Б}$ — из второго мешочка в третий переложили белый альчик.

Тогда искомая вероятность $P(A)$ находится по формуле полной вероятности:$P(A) = P(A|H_{2К}) \cdot P(H_{2К}) + P(A|H_{2Б}) \cdot P(H_{2Б})$

Найдем условные вероятности $P(A|H_{2К})$ и $P(A|H_{2Б})$. Изначально в третьем мешочке было 4 красных и 6 белых альчиков (всего 10).
Если в него добавили красный альчик (гипотеза $H_{2К}$), то в мешочке стало 5 красных и 6 белых (всего 11). Тогда вероятность извлечь красный: $P(A|H_{2К}) = \frac{5}{11}$.
Если в него добавили белый альчик (гипотеза $H_{2Б}$), то в мешочке стало 4 красных и 7 белых (всего 11). Тогда вероятность извлечь красный: $P(A|H_{2Б}) = \frac{4}{11}$.

Теперь нужно найти вероятности гипотез $P(H_{2К})$ и $P(H_{2Б})$. Эти вероятности, в свою очередь, зависят от того, какой альчик переложили из первого мешочка во второй. Обозначим эти события как $H_{1К}$ (переложили красный) и $H_{1Б}$ (переложили белый). Изначально в первом мешочке 4 красных и 6 белых, поэтому $P(H_{1К}) = \frac{4}{10}$ и $P(H_{1Б}) = \frac{6}{10}$.

Найдем $P(H_{2К})$ по формуле полной вероятности:$P(H_{2К}) = P(H_{2К}|H_{1К}) \cdot P(H_{1К}) + P(H_{2К}|H_{1Б}) \cdot P(H_{1Б})$
$P(H_{2К}|H_{1К})$ — это вероятность вынуть красный из второго мешочка, если в него добавили красный (состав стал 5 красных, 6 белых). $P(H_{2К}|H_{1К}) = \frac{5}{11}$.
$P(H_{2К}|H_{1Б})$ — это вероятность вынуть красный из второго мешочка, если в него добавили белый (состав стал 4 красных, 7 белых). $P(H_{2К}|H_{1Б}) = \frac{4}{11}$.
Подставляя значения, получаем:$P(H_{2К}) = \frac{5}{11} \cdot \frac{4}{10} + \frac{4}{11} \cdot \frac{6}{10} = \frac{20}{110} + \frac{24}{110} = \frac{44}{110} = \frac{4}{10}$.

Вероятность гипотезы $H_{2Б}$ можно найти как $P(H_{2Б}) = 1 - P(H_{2К}) = 1 - \frac{4}{10} = \frac{6}{10}$.

Наконец, подставим все найденные значения в основную формулу для $P(A)$:$P(A) = P(A|H_{2К}) \cdot P(H_{2К}) + P(A|H_{2Б}) \cdot P(H_{2Б}) = \frac{5}{11} \cdot \frac{4}{10} + \frac{4}{11} \cdot \frac{6}{10} = \frac{20}{110} + \frac{24}{110} = \frac{44}{110} = \frac{4}{10} = 0.4$.

Ответ: $0.4$

4.93. После того как трое стрелков произвели по одному выстрелу по мишени, оказалось, что в мишени имеются 2 пробоины.

Вероятности поражения мишени каждым стрелком равны 0,6; 0,5 и 0,4 соответственно. Какова вероятность того, что в мишень попал и третий стрелок?

Для решения этой задачи используется формула условной вероятности (формула Байеса). Давайте определим основные события и их вероятности.

Пусть $A_1$, $A_2$, $A_3$ — события, означающие попадание в мишень первым, вторым и третьим стрелком соответственно. По условию задачи, вероятности этих событий равны:

$P(A_1) = 0,6$

$P(A_2) = 0,5$

$P(A_3) = 0,4$

События, противоположные этим (промахи), обозначим как $\bar{A}_1$, $\bar{A}_2$, $\bar{A}_3$. Их вероятности равны:

$P(\bar{A}_1) = 1 - P(A_1) = 1 - 0,6 = 0,4$

$P(\bar{A}_2) = 1 - P(A_2) = 1 - 0,5 = 0,5$

$P(\bar{A}_3) = 1 - P(A_3) = 1 - 0,4 = 0,6$

Пусть событие $B$ заключается в том, что в мишени оказалось ровно 2 пробоины. Это может произойти в трех взаимоисключающих случаях (гипотезах):

1. Первый и второй стрелки попали, а третий промахнулся. Вероятность этого исхода, учитывая независимость выстрелов:

$P(A_1 \cap A_2 \cap \bar{A}_3) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(\bar{A}_3) = 0,6 \cdot 0,5 \cdot 0,6 = 0,18$

2. Первый и третий стрелки попали, а второй промахнулся:

$P(A_1 \cap \bar{A}_2 \cap A_3) = P(A_1) \cdot P(\bar{A}_2) \cdot P(A_3) = 0,6 \cdot 0,5 \cdot 0,4 = 0,12$

3. Второй и третий стрелки попали, а первый промахнулся:

$P(\bar{A}_1 \cap A_2 \cap A_3) = P(\bar{A}_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) = 0,4 \cdot 0,5 \cdot 0,4 = 0,08$

Полная вероятность события $B$ (в мишени ровно 2 пробоины) равна сумме вероятностей этих трех несовместных исходов:

$P(B) = 0,18 + 0,12 + 0,08 = 0,38$

Нас интересует вероятность того, что третий стрелок попал, при условии, что в мишени ровно 2 пробоины. Это условная вероятность $P(A_3 | B)$. По определению условной вероятности:

$P(A_3 | B) = \frac{P(A_3 \cap B)}{P(B)}$

Событие $A_3 \cap B$ означает, что "третий стрелок попал, и в мишени ровно 2 пробоины". Это событие объединяет второй и третий из рассмотренных выше случаев. Его вероятность равна:

$P(A_3 \cap B) = P(A_1 \cap \bar{A}_2 \cap A_3) + P(\bar{A}_1 \cap A_2 \cap A_3) = 0,12 + 0,08 = 0,20$

Теперь мы можем найти искомую условную вероятность:

$P(A_3 | B) = \frac{0,20}{0,38} = \frac{20}{38} = \frac{10}{19}$

Ответ: $\frac{10}{19}$.