Страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какие события называются элементарными событиями? Что такое пространство элементарных событий? Приведите пример.

2. Дайте классификацию событиям. Что такое несовместные, достоверные, невозможные, независимые события?

3. Что вы понимаете под случайным событием? Приведите пример. Что такое противоположное событие?

4. Какие действия применяются к случайным событиям? Объясните их с помощью диаграмм Эйлера–Венна.

5. Что такое благоприятствующие исходы и все возможные исходы испытания? Сформулируйте классическое определение вероятности. Приведите пример.

6. Сформулируйте основные свойства вероятности и докажите их. Приведите пример.

1. Какие события называются элементарными событиями? Что такое пространство элементарных событий? Приведите пример.

Элементарное событие (или элементарный исход) — это простейший, неделимый результат случайного эксперимента. Это один из возможных исходов, который не может быть разложен на более простые составляющие в рамках данного эксперимента.

Пространство элементарных событий — это множество всех возможных элементарных событий (исходов) данного эксперимента. Обычно оно обозначается греческой буквой Омега ($ \Omega $).

Пример:

Рассмотрим эксперимент — подбрасывание стандартного шестигранного игрального кубика.

• Элементарными событиями здесь являются: выпадение 1, выпадение 2, выпадение 3, выпадение 4, выпадение 5, выпадение 6. Каждое из этих событий является одним конкретным результатом.
• Пространство элементарных событий для этого эксперимента — это множество всех этих исходов: $ \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $.

Ответ:

2. Дайте классификацию событиям. Что такое несовместные, достоверные, невозможные, независимые события?

События в теории вероятностей можно классифицировать по их природе и взаимосвязи друг с другом.

Несовместные события — это события, которые не могут произойти одновременно в одном и том же испытании. Появление одного из них исключает появление другого. Если события A и B несовместны, то их пересечение пусто: $ A \cap B = \emptyset $.
Пример: При однократном броске кубика события "выпало чётное число" $ (\{2, 4, 6\}) $ и "выпало число 3" несовместны.

Достоверное событие — это событие, которое обязательно произойдет в результате эксперимента. Его вероятность равна 1. Достоверное событие совпадает со всем пространством элементарных событий $ \Omega $.
Пример: При броске кубика событие "выпало число, меньшее 7" является достоверным.

Невозможное событие — это событие, которое не может произойти ни при каких условиях в данном эксперименте. Его вероятность равна 0. Обозначается символом пустого множества $ \emptyset $.
Пример: При броске стандартного кубика событие "выпало число 7" является невозможным.

Независимые события — это события, для которых вероятность наступления одного из них не зависит от того, произошло или не произошло другое событие. Для независимых событий A и B вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей: $ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $.
Пример: При двух последовательных подбрасываниях монеты событие "в первый раз выпал орёл" и событие "во второй раз выпала решка" являются независимыми.

Ответ:

3. Что вы понимаете под случайным событием? Приведите пример. Что такое противоположное событие?

Случайное событие — это любой исход или совокупность исходов эксперимента, которые могут произойти или не произойти. С математической точки зрения, случайное событие — это любое подмножество пространства элементарных событий $ \Omega $. Вероятность случайного события находится в диапазоне от 0 до 1.

Пример:

Эксперимент: извлечение одного шара из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара. Случайным событием A будет "извлечён белый шар". Это событие может произойти, а может и не произойти (если будет извлечён черный шар).

Противоположное событие (или дополнение) для события A — это событие, обозначаемое $ \bar{A} $, которое заключается в том, что событие A не произошло. Противоположное событие состоит из всех элементарных исходов, которые не входят в событие A. Сумма вероятностей события и его противоположности всегда равна 1: $ P(A) + P(\bar{A}) = 1 $.

Пример:

Если событие A — "при броске кубика выпало чётное число" (т.е. исходы $ \{2, 4, 6\} $), то противоположное событие $ \bar{A} $ — "при броске кубика не выпало чётное число", что равносильно событию "выпало нечётное число" (т.е. исходы $ \{1, 3, 5\} $).

Ответ:

4. Какие действия применяются к случайным событиям? Объясните их с помощью диаграмм Эйлера–Венна.

К случайным событиям, как к множествам, применимы следующие основные операции:

1. Сумма (или объединение) событий A и B — это событие $ C = A \cup B $ (или $ A+B $), которое состоит в том, что происходит хотя бы одно из событий A или B.

2. Произведение (или пересечение) событий A и B — это событие $ C = A \cap B $ (или $ AB $), которое состоит в том, что происходят оба события A и B одновременно.

3. Разность событий A и B — это событие $ C = A \setminus B $, которое состоит в том, что событие A происходит, а событие B не происходит.

4. Противоположное событие (дополнение) $ \bar{A} $ — это событие, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие A.

Ответ:

5. Что такое благоприятствующие исходы и все возможные исходы испытания? Сформулируйте классическое определение вероятности. Приведите пример.

Все возможные исходы испытания — это общее число $ n $ всех равновозможных, несовместных и единственно возможных элементарных исходов данного эксперимента. Это мощность пространства элементарных событий $ \Omega $.

Благоприятствующие исходы для некоторого события A — это те элементарные исходы, наступление которых влечет за собой наступление события A. Обозначим их число через $ m $.

Классическое определение вероятности:
Вероятностью события A называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих этому событию ($ m $), к общему числу всех равновозможных элементарных исходов испытания ($ n $). Формула: $ P(A) = \frac{m}{n} $

Пример:
Рассмотрим испытание: из стандартной колоды в 36 карт наугад вытягивается одна карта. Найдем вероятность события A — "вытянутая карта — дама".

• Все возможные исходы ($n$): В колоде 36 карт, поэтому общее число равновозможных исходов равно 36. $ n = 36 $.
• Благоприятствующие исходы ($m$): В колоде 4 дамы (пик, треф, бубен, червей). Следовательно, число исходов, благоприятствующих событию A, равно 4. $ m = 4 $.
• Вероятность: По классическому определению, вероятность вытянуть даму равна: $ P(A) = \frac{m}{n} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} $.

Ответ:

6. Сформулируйте основные свойства вероятности и докажите их. Приведите пример.

Основные свойства вероятности вытекают из ее определения.

Свойство 1: Вероятность любого события A заключена в пределах от 0 до 1.
$ 0 \le P(A) \le 1 $
Доказательство: Число благоприятствующих исходов $ m $ всегда является неотрицательным целым числом ($ m \ge 0 $) и не может превышать общее число исходов $ n $ ($ m \le n $). Разделив неравенство $ 0 \le m \le n $ на $ n > 0 $, получаем $ 0 \le \frac{m}{n} \le 1 $. Так как $ P(A) = \frac{m}{n} $, то $ 0 \le P(A) \le 1 $.
Пример: Вероятность выпадения "орла" при броске монеты $ P(Орёл) = \frac{1}{2} $, и $ 0 \le \frac{1}{2} \le 1 $.

Свойство 2: Вероятность невозможного события $ \emptyset $ равна 0.
$ P(\emptyset) = 0 $
Доказательство: Для невозможного события нет благоприятствующих исходов, то есть $ m = 0 $. Следовательно, $ P(\emptyset) = \frac{0}{n} = 0 $.
Пример: Вероятность вытянуть белый шар из урны, где все шары черные, равна 0.

Свойство 3: Вероятность достоверного события $ \Omega $ равна 1.
$ P(\Omega) = 1 $
Доказательство: Для достоверного события все исходы являются благоприятствующими, то есть $ m = n $. Следовательно, $ P(\Omega) = \frac{n}{n} = 1 $.
Пример: Вероятность того, что при броске кубика выпадет число от 1 до 6, равна $ \frac{6}{6} = 1 $.

Свойство 4 (Теорема сложения для несовместных событий): Вероятность суммы двух несовместных событий A и B равна сумме их вероятностей.
$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $, если $ A \cap B = \emptyset $.
Доказательство: Пусть событию A благоприятствует $ m_A $ исходов, а событию B — $ m_B $ исходов. Так как события несовместны, у них нет общих благоприятствующих исходов. Тогда событию $ A \cup B $ (наступление A или B) благоприятствует $ m_A + m_B $ исходов. Таким образом, $ P(A \cup B) = \frac{m_A + m_B}{n} = \frac{m_A}{n} + \frac{m_B}{n} = P(A) + P(B) $.
Пример: При броске кубика событие A="выпало 1" ($ P(A)=\frac{1}{6} $) и событие B="выпало 2" ($ P(B)=\frac{1}{6} $) несовместны. Вероятность того, что выпадет 1 или 2, равна $ P(A \cup B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $.

Свойство 5: Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
$ P(A) + P(\bar{A}) = 1 $ или $ P(\bar{A}) = 1 - P(A) $
Доказательство: События A и $ \bar{A} $ по определению несовместны, а их объединение является достоверным событием ($ A \cup \bar{A} = \Omega $). По свойству 4, $ P(A \cup \bar{A}) = P(A) + P(\bar{A}) $. По свойству 3, $ P(\Omega) = 1 $. Следовательно, $ P(A) + P(\bar{A}) = 1 $.
Пример: Вероятность выпадения "шестерки" на кубике равна $ P(6) = \frac{1}{6} $. Вероятность невыпадения "шестерки" равна $ P(\text{не 6}) = 1 - P(6) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} $.

Ответ: