Страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Сформулируйте теорему о полной вероятности и докажите ее.

Напишите формулу Байеса и докажите ее. Как вы думаете, почему эту формулу называют теоремой гипотез?

1. Сформулируйте теорему о полной вероятности и докажите ее.

Формулировка теоремы:
Пусть имеется полная группа попарно несовместных событий (гипотез) $H_1, H_2, \dots, H_n$. Это означает, что:

1. Объединение всех гипотез составляет всё пространство элементарных событий: $\cup_{i=1}^{n} H_i = \Omega$.

2. Гипотезы попарно несовместны: $H_i \cap H_j = \emptyset$ при $i \neq j$.

Следовательно, сумма их вероятностей равна единице: $\sum_{i=1}^{n} P(H_i) = 1$.

Пусть $A$ — некоторое событие, которое может наступить только вместе с одной из гипотез $H_i$. Тогда вероятность события $A$ (полная вероятность) может быть найдена по формуле:

$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(H_i) P(A|H_i)$

где $P(H_i)$ — вероятность $i$-й гипотезы, а $P(A|H_i)$ — условная вероятность события $A$ при условии, что гипотеза $H_i$ верна.

Доказательство:
Поскольку событие $A$ может произойти только совместно с одной из гипотез $H_1, H_2, \dots, H_n$, мы можем представить событие $A$ как объединение его пересечений с каждой из гипотез. Так как гипотезы образуют полное пространство событий $\Omega$, то $A = A \cap \Omega$.

$A = A \cap (\cup_{i=1}^{n} H_i) = \cup_{i=1}^{n} (A \cap H_i)$

Наглядно это можно представить так:

События $(A \cap H_i)$ являются попарно несовместными, так как сами гипотезы $H_i$ попарно несовместны:

$(A \cap H_i) \cap (A \cap H_j) = A \cap (H_i \cap H_j) = A \cap \emptyset = \emptyset$ для $i \neq j$.

Согласно теореме сложения вероятностей для несовместных событий, вероятность объединения равна сумме вероятностей:

$P(A) = P(\cup_{i=1}^{n} (A \cap H_i)) = \sum_{i=1}^{n} P(A \cap H_i)$

По определению условной вероятности, вероятность совместного наступления двух событий $A$ и $H_i$ равна $P(A \cap H_i) = P(H_i) \cdot P(A|H_i)$.

Подставив это выражение в сумму, получаем искомую формулу полной вероятности:

$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(H_i) P(A|H_i)$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Вероятность события $A$, которое может наступить лишь при условии появления одной из гипотез $H_1, H_2, \dots, H_n$, образующих полную группу попарно несовместных событий, вычисляется по формуле полной вероятности $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(H_i) P(A|H_i)$.

2. Напишите формулу Байеса и докажите ее. Как вы думаете, почему эту формулу называют теоремой гипотез?

Формула Байеса:
Пусть $H_1, H_2, \dots, H_n$ — полная группа попарно несовместных гипотез, и $A$ — событие, которое уже произошло. Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как стало известно, что событие $A$ произошло. Она вычисляет условную (апостериорную) вероятность гипотезы $H_k$ при условии наступления события $A$:

$P(H_k|A) = \frac{P(H_k) P(A|H_k)}{P(A)}$

Используя формулу полной вероятности для знаменателя, получаем развернутый вид формулы Байеса:

$P(H_k|A) = \frac{P(H_k) P(A|H_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(H_i) P(A|H_i)}$

Доказательство:
Запишем формулу условной вероятности для $P(H_k|A)$ и $P(A|H_k)$:

1. $P(H_k|A) = \frac{P(H_k \cap A)}{P(A)}$

2. $P(A|H_k) = \frac{P(A \cap H_k)}{P(H_k)}$

Поскольку $P(H_k \cap A) = P(A \cap H_k)$, мы можем выразить эту совместную вероятность из второго уравнения:

$P(A \cap H_k) = P(H_k) \cdot P(A|H_k)$

Теперь подставим это выражение в числитель первого уравнения:

$P(H_k|A) = \frac{P(H_k) P(A|H_k)}{P(A)}$

Это и есть формула Байеса. Если в знаменатель подставить выражение для $P(A)$ из теоремы о полной вероятности (доказанной в предыдущем пункте), мы получим ее развернутую форму. Что и требовалось доказать.

Почему эту формулу называют теоремой гипотез?
Эту формулу называют теоремой гипотез, потому что она позволяет производить "переоценку гипотез" на основе полученных данных. В контексте этой теоремы:

• События $H_1, H_2, \dots, H_n$ рассматриваются как возможные, конкурирующие между собой гипотезы или причины, которые могли привести к наблюдаемому результату.
• Вероятности $P(H_i)$ — это априорные (доопытные) вероятности гипотез, то есть наши предположения об их истинности до проведения эксперимента.
• После того как эксперимент проведен и событие $A$ наблюдалось, формула Байеса позволяет вычислить апостериорные (послеопытные) вероятности $P(H_k|A)$. Эти новые вероятности отражают, как изменилась наша уверенность в истинности каждой гипотезы $H_k$ в свете нового свидетельства (события $A$).

Таким образом, формула является ключевым инструментом для обновления убеждений и проверки гипотез на основе эмпирических данных, что и обусловило ее название.

Ответ: Формула Байеса имеет вид $P(H_k|A) = \frac{P(H_k) P(A|H_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(H_i) P(A|H_i)}$. Ее называют теоремой гипотез, так как она позволяет количественно переоценить (обновить) вероятности гипотез ($P(H_k)$) после получения новой информации в виде свершившегося события $A$, вычислив апостериорные вероятности $P(H_k|A)$.

4.85. Из 10 альчиков в первом мешочке 8 красного цвета, а из 20 альчиков во втором мешочке 4 красного цвета. Наугад из каждого мешочка извлекли по одному альчику, затем из этих двух альчиков случайно отобрали один. Какова вероятность того, что отобранный альчик окажется красного цвета?

Для решения задачи воспользуемся методом полной вероятности. Пусть событие $A$ заключается в том, что отобранный в конечном итоге альчик окажется красного цвета. Это событие зависит от того, какие альчики были извлечены из мешочков на первом этапе.

Определим четыре возможные гипотезы, описывающие состав двух альчиков, извлеченных из мешочков:

$H_1$ — оба извлеченных альчика красные.
$H_2$ — альчик из первого мешочка красный, а из второго — не красный.
$H_3$ — альчик из первого мешочка не красный, а из второго — красный.
$H_4$ — оба извлеченных альчика не красные.

Эти четыре гипотезы являются несовместными и образуют полную группу событий.

Сначала вычислим вероятности извлечения красного и не красного альчика из каждого мешочка.

Для первого мешочка, в котором 10 альчиков, из них 8 красных:
Вероятность извлечь красный альчик: $P(К_1) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
Вероятность извлечь не красный альчик: $P(НК_1) = 1 - \frac{8}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Для второго мешочка, в котором 20 альчиков, из них 4 красных:
Вероятность извлечь красный альчик: $P(К_2) = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.
Вероятность извлечь не красный альчик: $P(НК_2) = 1 - \frac{4}{20} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$.

Поскольку выбор из каждого мешочка является независимым событием, мы можем рассчитать вероятности каждой гипотезы, перемножая соответствующие вероятности:

$P(H_1) = P(К_1) \cdot P(К_2) = \frac{8}{10} \cdot \frac{4}{20} = \frac{32}{200}$.

$P(H_2) = P(К_1) \cdot P(НК_2) = \frac{8}{10} \cdot \frac{16}{20} = \frac{128}{200}$.

$P(H_3) = P(НК_1) \cdot P(К_2) = \frac{2}{10} \cdot \frac{4}{20} = \frac{8}{200}$.

$P(H_4) = P(НК_1) \cdot P(НК_2) = \frac{2}{10} \cdot \frac{16}{20} = \frac{32}{200}$.

Теперь найдем условную вероятность события $A$ (выбор красного альчика) для каждой из гипотез. На втором этапе из двух извлеченных альчиков случайно выбирается один.

Если произошла гипотеза $H_1$ (оба альчика красные), то вероятность выбрать красный альчик из них равна 1. То есть, $P(A|H_1) = 1$.

Если произошла гипотеза $H_2$ (один красный, другой не красный), то вероятность выбрать красный альчик из них равна $\frac{1}{2}$. То есть, $P(A|H_2) = \frac{1}{2}$.

Если произошла гипотеза $H_3$ (один не красный, другой красный), то вероятность выбрать красный альчик также равна $\frac{1}{2}$. То есть, $P(A|H_3) = \frac{1}{2}$.

Если произошла гипотеза $H_4$ (оба альчика не красные), то вероятность выбрать красный альчик равна 0. То есть, $P(A|H_4) = 0$.

По формуле полной вероятности, искомая вероятность $P(A)$ равна сумме произведений вероятностей каждой гипотезы на условную вероятность события $A$ при этой гипотезе:

$P(A) = P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2)P(A|H_2) + P(H_3)P(A|H_3) + P(H_4)P(A|H_4)$

Подставим вычисленные значения:

$P(A) = \frac{32}{200} \cdot 1 + \frac{128}{200} \cdot \frac{1}{2} + \frac{8}{200} \cdot \frac{1}{2} + \frac{32}{200} \cdot 0$

$P(A) = \frac{32}{200} + \frac{64}{200} + \frac{4}{200} + 0$

$P(A) = \frac{32 + 64 + 4}{200} = \frac{100}{200} = \frac{1}{2}$

Ответ: Вероятность того, что отобранный альчик окажется красного цвета, равна $\frac{1}{2}$.