Страница 129 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.105. Испытания прошли 15 элементов устройства. Вероятность того, что каждый элемент пройдет испытание, равна 0,9. Каково наивероятнейшее число элементов, прошедших испытание?

Данная задача относится к схеме Бернулли, так как проводятся независимые испытания с двумя возможными исходами: элемент прошел испытание (успех) или не прошел (неудача).

Обозначим:
$n$ — общее число элементов (количество испытаний), $n = 15$.
$p$ — вероятность того, что элемент пройдет испытание (вероятность успеха), $p = 0.9$.
$q$ — вероятность того, что элемент не пройдет испытание (вероятность неудачи), $q = 1 - p = 1 - 0.9 = 0.1$.

Наивероятнейшее число успехов $k_0$ в серии из $n$ испытаний Бернулли находится из двойного неравенства:
$np - q \le k_0 \le np + p$

Подставим известные значения в это неравенство, чтобы найти $k_0$:
$15 \cdot 0.9 - 0.1 \le k_0 \le 15 \cdot 0.9 + 0.9$

Произведем вычисления:
$13.5 - 0.1 \le k_0 \le 13.5 + 0.9$
$13.4 \le k_0 \le 14.4$

Число элементов $k_0$ может быть только целым. Единственное целое число, которое находится в промежутке от 13.4 до 14.4, это 14. Следовательно, наивероятнейшее число элементов, которые пройдут испытание, равно 14.

Ответ: 14.

4.106 Всхожесть семян данного сорта растений равна 80%. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдет не менее четырех?

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, поскольку посев каждого семени является независимым испытанием с двумя исходами: "взошло" (успех) или "не взошло" (неудача).

Определим параметры задачи:

$n = 5$ — общее количество посеянных семян (испытаний).

$p = 0.8$ — вероятность того, что одно семя взойдет (вероятность успеха), так как всхожесть составляет 80%.

$q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2$ — вероятность того, что одно семя не взойдет (вероятность неудачи).

Событие "взойдет не менее четырех семян" означает, что взойдет либо ровно 4 семени, либо ровно 5 семян. Поскольку эти два события несовместны, общая вероятность равна сумме их вероятностей.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях произойдет ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

Найдем вероятность того, что взойдет ровно 4 семени ($k=4$):

$P_5(4) = C_5^4 \cdot (0.8)^4 \cdot (0.2)^{5-4} = \frac{5!}{4!(5-4)!} \cdot (0.8)^4 \cdot (0.2)^1 = 5 \cdot 0.4096 \cdot 0.2 = 0.4096$.

Найдем вероятность того, что взойдут все 5 семян ($k=5$):

$P_5(5) = C_5^5 \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^{5-5} = \frac{5!}{5!(5-5)!} \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^0 = 1 \cdot 0.32768 \cdot 1 = 0.32768$.

Теперь сложим вероятности этих двух исходов, чтобы найти вероятность того, что взойдет не менее четырех семян:

$P(k \ge 4) = P_5(4) + P_5(5) = 0.4096 + 0.32768 = 0.73728$.

Ответ: $0.73728$

4.107. Какова вероятность того, что при четырех бросаниях игральной кости «шестерка» выпадет по крайней мере один раз?

Для решения этой задачи удобнее использовать метод от противного. Найдем сначала вероятность того, что при четырех бросаниях игральной кости «шестерка» не выпадет ни разу, а затем вычтем эту вероятность из единицы.

Пусть событие $A$ заключается в том, что «шестерка» выпадет по крайней мере один раз. Тогда противоположное ему событие $\bar{A}$ заключается в том, что «шестерка» не выпадет ни разу.

Вероятность выпадения «шестерки» при одном броске равна $p = \frac{1}{6}$.

Вероятность того, что «шестерка» не выпадет при одном броске (т.е. выпадет любое из чисел 1, 2, 3, 4, 5), равна $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Поскольку все четыре броска являются независимыми событиями, вероятность того, что «шестерка» не выпадет ни в одном из четырех бросков, равна произведению вероятностей этого события для каждого броска:

$P(\bar{A}) = q \cdot q \cdot q \cdot q = q^4 = \left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{5^4}{6^4} = \frac{625}{1296}$.

Вероятность искомого события $A$ (что «шестерка» выпадет по крайней мере один раз) равна разности между единицей и вероятностью противоположного события $\bar{A}$:

$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{1296 - 625}{1296} = \frac{671}{1296}$.

Ответ: $\frac{671}{1296}$.

4.108. Найдите наиболее вероятное число выпадения «шестерки» при 50 бросаниях игральной кости.

Данная задача относится к схеме испытаний Бернулли. У нас есть серия из $n=50$ независимых испытаний (бросаний игральной кости). Каждое испытание имеет два возможных исхода:

1. «Успех» — выпадение «шестерки». Вероятность этого события в одном испытании равна $p = \frac{1}{6}$.

2. «Неудача» — выпадение любой другой грани. Вероятность этого события в одном испытании равна $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Наиболее вероятное число $k_0$ наступления события (выпадения «шестерки») в $n$ независимых испытаниях можно найти с помощью следующего двойного неравенства:

$np - q \le k_0 \le np + p$

Подставим в это неравенство известные нам значения: $n = 50$, $p = \frac{1}{6}$, $q = \frac{5}{6}$.

$50 \cdot \frac{1}{6} - \frac{5}{6} \le k_0 \le 50 \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6}$

Проведем вычисления для левой и правой частей неравенства:

$\frac{50}{6} - \frac{5}{6} \le k_0 \le \frac{50}{6} + \frac{1}{6}$

$\frac{45}{6} \le k_0 \le \frac{51}{6}$

Переведем дроби в десятичный формат для наглядности:

$7.5 \le k_0 \le 8.5$

Поскольку число выпадений $k_0$ должно быть целым числом, то из полученного интервала $[7.5, 8.5]$ мы можем выбрать только одно целое число — 8.

Следовательно, наиболее вероятное число выпадения «шестерки» при 50 бросаниях игральной кости — это 8.

Ответ: 8

4.109. В книжке-вопроснике ЕНТ абитуриент должен ответить на 30 вопросов по математике, где для каждого вопроса предлагается 5 вариантов ответа, из которых только один правильный. Считая, что абитуриент не знает правильного ответа ни на один вопрос из 30 и отмечает ответы наугад, найдите наивероятнейшее число правильно угаданных им ответов.

Данная задача представляет собой классический пример схемы испытаний Бернулли. Каждое испытание — это ответ на один вопрос.

Определим параметры задачи:
- число независимых испытаний (количество вопросов) $n = 30$;
- для каждого вопроса есть 5 вариантов ответа, из которых только один правильный, поэтому вероятность успеха (правильного ответа наугад) в одном испытании равна $p = \frac{1}{5} = 0.2$;
- вероятность неудачи (неправильного ответа) в одном испытании равна $q = 1 - p = 1 - 0.2 = 0.8$.

Нам необходимо найти наивероятнейшее число $k_0$ правильных ответов. Это число является модой для биномиального распределения и может быть найдено с помощью следующего двойного неравенства:

$np - q \le k_0 \le np + p$

Подставим наши значения в это неравенство:

$30 \cdot 0.2 - 0.8 \le k_0 \le 30 \cdot 0.2 + 0.2$

Выполним вычисления:

$6 - 0.8 \le k_0 \le 6 + 0.2$

$5.2 \le k_0 \le 6.2$

Число правильных ответов $k_0$ может быть только целым. Единственное целое число, которое находится в промежутке от 5.2 до 6.2, — это 6.

Следовательно, наивероятнейшее число правильно угаданных абитуриентом ответов равно 6.

Ответ: 6

4.110. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 41-го размера, равна 0,2. Найдите вероятность того, что из 5 первых покупателей обувь этого размера понадобится:

1) одному;

2) по крайней мере одному.

Данная задача решается с использованием формулы Бернулли для последовательности независимых испытаний.

Обозначим за "успех" событие, при котором покупателю требуется обувь 41-го размера. Вероятность этого события по условию равна $p = 0.2$.

Тогда вероятность "неудачи" (покупателю не требуется обувь 41-го размера) равна $q = 1 - p = 1 - 0.2 = 0.8$.

Всего у нас $n=5$ покупателей (испытаний).

Формула Бернулли для нахождения вероятности того, что в $n$ испытаниях событие произойдет ровно $k$ раз, выглядит так:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

1) одному

Требуется найти вероятность того, что из 5 покупателей обувь этого размера понадобится ровно одному. В данном случае $n=5$, $k=1$.

Подставляем эти значения в формулу Бернулли:

$P_5(1) = C_5^1 \cdot (0.2)^1 \cdot (0.8)^{5-1} = C_5^1 \cdot 0.2 \cdot (0.8)^4$

Рассчитаем компоненты формулы:

$C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1! \cdot 4!} = 5$

$(0.8)^4 = 0.4096$

Теперь можем рассчитать итоговую вероятность:

$P_5(1) = 5 \cdot 0.2 \cdot 0.4096 = 1 \cdot 0.4096 = 0.4096$

Ответ: 0.4096

2) по крайней мере одному

Событие "по крайней мере одному" означает, что обувь понадобится 1, 2, 3, 4 или 5 покупателям. Проще вычислить вероятность противоположного события (обувь не понадобится ни одному покупателю) и вычесть ее из 1.

Противоположное событие соответствует $k=0$. Найдем его вероятность $P_5(0)$.

$P_5(0) = C_5^0 \cdot (0.2)^0 \cdot (0.8)^{5-0} = C_5^0 \cdot 1 \cdot (0.8)^5$

Рассчитаем компоненты:

$C_5^0 = \frac{5!}{0!(5-0)!} = 1$

$(0.8)^5 = 0.32768$

Вероятность того, что никому не понадобится обувь 41-го размера, равна:

$P_5(0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.32768 = 0.32768$

Следовательно, вероятность того, что обувь понадобится по крайней мере одному покупателю, равна:

$P(k \ge 1) = 1 - P_5(0) = 1 - 0.32768 = 0.67232$

Ответ: 0.67232

4.111. Мишень имеет форму квадрата, в который вписан круг. По мишени наудачу производится 4 независимых выстрела. Какова вероятность получения ровно 3 попаданий в круг?

Для решения этой задачи мы будем использовать геометрическую вероятность и формулу Бернулли.

1. Нахождение вероятности попадания в круг при одном выстреле.

Вероятность попадания в определенную область при случайном выстреле (геометрическая вероятность) равна отношению площади этой области к общей площади мишени. В данном случае, мишень — это квадрат, а интересующая нас область — вписанный в него круг.

Пусть сторона квадрата равна $a$. Тогда его площадь $S_{кв} = a^2$.

Так как круг вписан в квадрат, его диаметр равен стороне квадрата, то есть $d = a$. Радиус круга, соответственно, равен $r = \frac{d}{2} = \frac{a}{2}$.

Площадь круга вычисляется по формуле $S_{кр} = \pi r^2$. Подставив значение радиуса, получим:$S_{кр} = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$.

Теперь найдем вероятность $p$ того, что один случайный выстрел попадет в круг:

$p = \frac{S_{кр}}{S_{кв}} = \frac{\frac{\pi a^2}{4}}{a^2} = \frac{\pi}{4}$.

Это вероятность "успеха" в одном испытании.

2. Применение формулы Бернулли.

Производится серия из $n=4$ независимых выстрелов. Нам нужно найти вероятность того, что произойдет ровно $k=3$ "успеха" (попадания в круг).

Это классическая задача на использование формулы Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$,

где:

• $n=4$ — общее число испытаний (выстрелов).
• $k=3$ — число "успешных" испытаний (попаданий в круг).
• $p = \frac{\pi}{4}$ — вероятность "успеха" в одном испытании.
• $q = 1 - p = 1 - \frac{\pi}{4} = \frac{4-\pi}{4}$ — вероятность "неудачи" (промаха по кругу) в одном испытании.
• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

Вычислим число сочетаний $C_4^3$:

$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1} = 4$.

Теперь подставим все значения в формулу Бернулли:

$P_4(3) = C_4^3 \cdot p^3 \cdot q^{4-3} = 4 \cdot \left(\frac{\pi}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{4-\pi}{4}\right)^1$.

Упростим выражение:

$P_4(3) = 4 \cdot \frac{\pi^3}{4^3} \cdot \frac{4-\pi}{4} = 4 \cdot \frac{\pi^3}{64} \cdot \frac{4-\pi}{4} = \frac{4 \cdot \pi^3 \cdot (4-\pi)}{64 \cdot 4} = \frac{\pi^3(4-\pi)}{64}$.

При желании можно вычислить приближенное числовое значение, используя $\pi \approx 3.14159$:

$P_4(3) \approx \frac{(3.14159)^3(4-3.14159)}{64} \approx \frac{31.006 \cdot 0.85841}{64} \approx \frac{26.613}{64} \approx 0.4158$.

Ответ: $P_4(3) = \frac{\pi^3(4-\pi)}{64}$

4.112. В круг вписан равносторонний треугольник. В круг наудачу брошены 4 точки. Какова вероятность того, что ровно одна точка попадет в треугольник?

Для решения данной задачи используется геометрическое определение вероятности и формула Бернулли.
Сначала найдем вероятность того, что одна случайно брошенная в круг точка попадет во вписанный в него равносторонний треугольник. Эта вероятность $p$ равна отношению площади треугольника $S_{треуг}$ к площади круга $S_{круг}$.
Пусть радиус круга равен $R$. Тогда площадь круга вычисляется по формуле:
$S_{круг} = \pi R^2$
Сторона $a$ равностороннего треугольника, вписанного в круг радиуса $R$, связана с радиусом соотношением:
$a = R\sqrt{3}$
Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ равна:
$S_{треуг} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Подставим выражение для стороны $a$ через радиус $R$:
$S_{треуг} = \frac{(R\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$
Теперь найдем вероятность $p$ попадания одной точки в треугольник:
$p = \frac{S_{треуг}}{S_{круг}} = \frac{\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}}{\pi R^2} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$
Это вероятность "успеха" в одном испытании. Вероятность "неудачи" (точка не попала в треугольник, но попала в круг) равна $q = 1 - p$.
$q = 1 - \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$
По условию задачи, в круг бросают 4 точки. Это можно рассматривать как 4 независимых испытания (схема Бернулли). Нам нужно найти вероятность того, что произойдет ровно одно "успешное" событие (одна точка попадет в треугольник) из четырех.
Используем формулу Бернулли для $n=4$ испытаний и $k=1$ успеха:
$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$
где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.
В нашем случае $n=4$, $k=1$.
$C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = 4$
Подставляем все значения в формулу Бернулли:
$P_4(1) = C_4^1 \cdot p^1 \cdot q^{4-1} = 4 \cdot p \cdot q^3$
$P_4(1) = 4 \cdot \left(\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}\right) \cdot \left(1 - \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}\right)^3$
Упростим выражение:
$P_4(1) = \frac{3\sqrt{3}}{\pi} \left(1 - \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}\right)^3$

Ответ: $ \frac{3\sqrt{3}}{\pi} \left(1 - \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}\right)^3 $

4.113. Проведено 5 независимых испытаний, каждое из которых заключается в одновременном подбрасывании 2 монет. Найдите вероятность того, что ровно в 3 испытаниях выпадет по 2 герба.

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, так как проводятся независимые испытания с двумя возможными исходами: "успех" (выпали 2 герба) и "неудача" (не выпали 2 герба).

1. Сначала определим вероятность "успеха" в одном отдельном испытании. Одно испытание — это подбрасывание двух монет. Возможные исходы при подбрасывании двух монет:

• Герб, Герб (ГГ)
• Герб, Решка (ГР)
• Решка, Герб (РГ)
• Решка, Решка (РР)

Всего 4 равновероятных исхода. "Успех" — это выпадение двух гербов, то есть исход (ГГ). Таких исходов 1.Вероятность успеха в одном испытании $p$ равна:$p = \frac{1}{4}$

2. Вероятность "неудачи" $q$ (любого другого исхода, кроме двух гербов) в одном испытании равна:$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

3. Теперь используем формулу Бернулли для нахождения вероятности того, что в $n$ испытаниях произойдет ровно $k$ успехов:$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

В нашей задаче:

• общее число испытаний $n = 5$;
• требуемое число успехов $k = 3$;
• вероятность успеха $p = \frac{1}{4}$;
• вероятность неудачи $q = \frac{3}{4}$.

Подставляем эти значения в формулу:$P_5(3) = C_5^3 \cdot (\frac{1}{4})^3 \cdot (\frac{3}{4})^{5-3}$

Вычислим биномиальный коэффициент $C_5^3$:$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{4 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 10$

Теперь вычислим саму вероятность:$P_5(3) = 10 \cdot (\frac{1}{4})^3 \cdot (\frac{3}{4})^2 = 10 \cdot \frac{1}{64} \cdot \frac{9}{16} = \frac{10 \cdot 9}{64 \cdot 16} = \frac{90}{1024}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:$\frac{90}{1024} = \frac{45}{512}$

Ответ: $\frac{45}{512}$

4.114. В автопарке имеются 12 автобусов. Вероятность выхода на линию каждого из них равна 0,8. Найдите вероятность нормальной работы автопарка в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии 8 автобусов.

Это задача на использование формулы Бернулли для последовательности независимых испытаний. Каждое испытание — это проверка, выйдет ли конкретный автобус на линию.
Введем обозначения:
$n=12$ — общее число автобусов (число испытаний).
$p=0.8$ — вероятность того, что автобус выйдет на линию (вероятность "успеха").
$q=1-p=1-0.8=0.2$ — вероятность того, что автобус не выйдет на линию (вероятность "неудачи").
"Нормальная работа автопарка" требует, чтобы на линии было 8 автобусов. В подобных задачах это обычно означает, что на линии должно быть *не менее* 8 автобусов. Таким образом, нам нужно найти вероятность того, что число вышедших на линию автобусов $k$ будет равно 8, 9, 10, 11 или 12.
Искомая вероятность $P(k \ge 8)$ равна сумме вероятностей:
$P(k \ge 8) = P_{12}(8) + P_{12}(9) + P_{12}(10) + P_{12}(11) + P_{12}(12)$.
Вероятность $P_n(k)$ наступления ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях вычисляется по формуле Бернулли:
$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.
Рассчитаем каждое слагаемое:
$P_{12}(8) = C_{12}^8 \cdot (0.8)^8 \cdot (0.2)^4 = \frac{12!}{8! \cdot 4!} \cdot (0.8)^8 \cdot (0.2)^4 = 495 \cdot 0.16777216 \cdot 0.0016 \approx 0.13287555$
$P_{12}(9) = C_{12}^9 \cdot (0.8)^9 \cdot (0.2)^3 = \frac{12!}{9! \cdot 3!} \cdot (0.8)^9 \cdot (0.2)^3 = 220 \cdot 0.134217728 \cdot 0.008 \approx 0.23622320$
$P_{12}(10) = C_{12}^{10} \cdot (0.8)^{10} \cdot (0.2)^2 = \frac{12!}{10! \cdot 2!} \cdot (0.8)^{10} \cdot (0.2)^2 = 66 \cdot 0.1073741824 \cdot 0.04 \approx 0.28346784$
$P_{12}(11) = C_{12}^{11} \cdot (0.8)^{11} \cdot (0.2)^1 = \frac{12!}{11! \cdot 1!} \cdot (0.8)^{11} \cdot 0.2 = 12 \cdot 0.08589934592 \cdot 0.2 \approx 0.20615843$
$P_{12}(12) = C_{12}^{12} \cdot (0.8)^{12} \cdot (0.2)^0 = 1 \cdot (0.8)^{12} \cdot 1 \approx 0.06871948$
Теперь просуммируем эти вероятности:
$P(k \ge 8) \approx 0.13287555 + 0.23622320 + 0.28346784 + 0.20615843 + 0.06871948 \approx 0.9274445$
Округляя результат до четырех знаков после запятой, получаем $0.9274$.
Ответ: $0.9274$.

4.115. Вероятность того, что деталь окажется нестандартной, равна 0,02. Оцените вероятность того, что отклонение модуля разности относительной частоты нестандартных деталей среди 5000 таких деталей от их вероятности было не более, чем 0,01.

Для решения данной задачи необходимо использовать следствие из неравенства Чебышева, а именно, закон больших чисел в форме Чебышева. Это неравенство позволяет оценить вероятность того, что отклонение относительной частоты события от его теоретической вероятности не превысит заданного значения.

Обозначим переменные согласно условию задачи:
- $n = 5000$ — общее число деталей (количество независимых испытаний).
- $p = 0,02$ — вероятность того, что деталь окажется нестандартной (вероятность наступления события в одном испытании).
- $k$ — число нестандартных деталей среди $n$ проверенных.
- $\frac{k}{n}$ — относительная частота появления нестандартной детали.
- $\epsilon = 0,01$ — заданное максимальное отклонение относительной частоты от вероятности.

Нам требуется оценить вероятность $P\left(\left|\frac{k}{n} - p\right| \le \epsilon\right)$.

Неравенство Чебышева для этого случая выглядит следующим образом:$$P\left(\left|\frac{k}{n} - p\right| \le \epsilon\right) \ge 1 - \frac{p \cdot q}{n \cdot \epsilon^2}$$где $q$ — вероятность противоположного события (того, что деталь является стандартной).

Найдем значение $q$:$$q = 1 - p = 1 - 0,02 = 0,98$$

Теперь подставим все известные значения в неравенство, чтобы найти нижнюю границу для искомой вероятности:$$P\left(\left|\frac{k}{5000} - 0,02\right| \le 0,01\right) \ge 1 - \frac{0,02 \cdot 0,98}{5000 \cdot (0,01)^2}$$

Вычислим значение выражения в правой части:$$1 - \frac{0,0196}{5000 \cdot 0,0001} = 1 - \frac{0,0196}{0,5} = 1 - 0,0392 = 0,9608$$

Таким образом, мы получили оценку:$$P\left(\left|\frac{k}{5000} - 0,02\right| \le 0,01\right) \ge 0,9608$$Это означает, что искомая вероятность не менее 0,9608.

Ответ: Вероятность того, что отклонение модуля разности относительной частоты нестандартных деталей от их вероятности было не более, чем 0,01, составляет не менее 0,9608.