Номер 4.110, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.110. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 41-го размера, равна 0,2. Найдите вероятность того, что из 5 первых покупателей обувь этого размера понадобится:

1) одному;

2) по крайней мере одному.

Данная задача решается с использованием формулы Бернулли для последовательности независимых испытаний.

Обозначим за "успех" событие, при котором покупателю требуется обувь 41-го размера. Вероятность этого события по условию равна $p = 0.2$.

Тогда вероятность "неудачи" (покупателю не требуется обувь 41-го размера) равна $q = 1 - p = 1 - 0.2 = 0.8$.

Всего у нас $n=5$ покупателей (испытаний).

Формула Бернулли для нахождения вероятности того, что в $n$ испытаниях событие произойдет ровно $k$ раз, выглядит так:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

1) одному

Требуется найти вероятность того, что из 5 покупателей обувь этого размера понадобится ровно одному. В данном случае $n=5$, $k=1$.

Подставляем эти значения в формулу Бернулли:

$P_5(1) = C_5^1 \cdot (0.2)^1 \cdot (0.8)^{5-1} = C_5^1 \cdot 0.2 \cdot (0.8)^4$

Рассчитаем компоненты формулы:

$C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1! \cdot 4!} = 5$

$(0.8)^4 = 0.4096$

Теперь можем рассчитать итоговую вероятность:

$P_5(1) = 5 \cdot 0.2 \cdot 0.4096 = 1 \cdot 0.4096 = 0.4096$

Ответ: 0.4096

2) по крайней мере одному

Событие "по крайней мере одному" означает, что обувь понадобится 1, 2, 3, 4 или 5 покупателям. Проще вычислить вероятность противоположного события (обувь не понадобится ни одному покупателю) и вычесть ее из 1.

Противоположное событие соответствует $k=0$. Найдем его вероятность $P_5(0)$.

$P_5(0) = C_5^0 \cdot (0.2)^0 \cdot (0.8)^{5-0} = C_5^0 \cdot 1 \cdot (0.8)^5$

Рассчитаем компоненты:

$C_5^0 = \frac{5!}{0!(5-0)!} = 1$

$(0.8)^5 = 0.32768$

Вероятность того, что никому не понадобится обувь 41-го размера, равна:

$P_5(0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.32768 = 0.32768$

Следовательно, вероятность того, что обувь понадобится по крайней мере одному покупателю, равна:

$P(k \ge 1) = 1 - P_5(0) = 1 - 0.32768 = 0.67232$

Ответ: 0.67232