Номер 4.112, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.112. В круг вписан равносторонний треугольник. В круг наудачу брошены 4 точки. Какова вероятность того, что ровно одна точка попадет в треугольник?

Для решения данной задачи используется геометрическое определение вероятности и формула Бернулли.
Сначала найдем вероятность того, что одна случайно брошенная в круг точка попадет во вписанный в него равносторонний треугольник. Эта вероятность $p$ равна отношению площади треугольника $S_{треуг}$ к площади круга $S_{круг}$.
Пусть радиус круга равен $R$. Тогда площадь круга вычисляется по формуле:
$S_{круг} = \pi R^2$
Сторона $a$ равностороннего треугольника, вписанного в круг радиуса $R$, связана с радиусом соотношением:
$a = R\sqrt{3}$
Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ равна:
$S_{треуг} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Подставим выражение для стороны $a$ через радиус $R$:
$S_{треуг} = \frac{(R\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$
Теперь найдем вероятность $p$ попадания одной точки в треугольник:
$p = \frac{S_{треуг}}{S_{круг}} = \frac{\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}}{\pi R^2} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$
Это вероятность "успеха" в одном испытании. Вероятность "неудачи" (точка не попала в треугольник, но попала в круг) равна $q = 1 - p$.
$q = 1 - \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$
По условию задачи, в круг бросают 4 точки. Это можно рассматривать как 4 независимых испытания (схема Бернулли). Нам нужно найти вероятность того, что произойдет ровно одно "успешное" событие (одна точка попадет в треугольник) из четырех.
Используем формулу Бернулли для $n=4$ испытаний и $k=1$ успеха:
$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$
где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.
В нашем случае $n=4$, $k=1$.
$C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = 4$
Подставляем все значения в формулу Бернулли:
$P_4(1) = C_4^1 \cdot p^1 \cdot q^{4-1} = 4 \cdot p \cdot q^3$
$P_4(1) = 4 \cdot \left(\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}\right) \cdot \left(1 - \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}\right)^3$
Упростим выражение:
$P_4(1) = \frac{3\sqrt{3}}{\pi} \left(1 - \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}\right)^3$

Ответ: $ \frac{3\sqrt{3}}{\pi} \left(1 - \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}\right)^3 $