Номер 4.115, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.115. Вероятность того, что деталь окажется нестандартной, равна 0,02. Оцените вероятность того, что отклонение модуля разности относительной частоты нестандартных деталей среди 5000 таких деталей от их вероятности было не более, чем 0,01.

Для решения данной задачи необходимо использовать следствие из неравенства Чебышева, а именно, закон больших чисел в форме Чебышева. Это неравенство позволяет оценить вероятность того, что отклонение относительной частоты события от его теоретической вероятности не превысит заданного значения.

Обозначим переменные согласно условию задачи:
- $n = 5000$ — общее число деталей (количество независимых испытаний).
- $p = 0,02$ — вероятность того, что деталь окажется нестандартной (вероятность наступления события в одном испытании).
- $k$ — число нестандартных деталей среди $n$ проверенных.
- $\frac{k}{n}$ — относительная частота появления нестандартной детали.
- $\epsilon = 0,01$ — заданное максимальное отклонение относительной частоты от вероятности.

Нам требуется оценить вероятность $P\left(\left|\frac{k}{n} - p\right| \le \epsilon\right)$.

Неравенство Чебышева для этого случая выглядит следующим образом:$$P\left(\left|\frac{k}{n} - p\right| \le \epsilon\right) \ge 1 - \frac{p \cdot q}{n \cdot \epsilon^2}$$где $q$ — вероятность противоположного события (того, что деталь является стандартной).

Найдем значение $q$:$$q = 1 - p = 1 - 0,02 = 0,98$$

Теперь подставим все известные значения в неравенство, чтобы найти нижнюю границу для искомой вероятности:$$P\left(\left|\frac{k}{5000} - 0,02\right| \le 0,01\right) \ge 1 - \frac{0,02 \cdot 0,98}{5000 \cdot (0,01)^2}$$

Вычислим значение выражения в правой части:$$1 - \frac{0,0196}{5000 \cdot 0,0001} = 1 - \frac{0,0196}{0,5} = 1 - 0,0392 = 0,9608$$

Таким образом, мы получили оценку:$$P\left(\left|\frac{k}{5000} - 0,02\right| \le 0,01\right) \ge 0,9608$$Это означает, что искомая вероятность не менее 0,9608.

Ответ: Вероятность того, что отклонение модуля разности относительной частоты нестандартных деталей от их вероятности было не более, чем 0,01, составляет не менее 0,9608.