Номер 4.118, страница 130 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.118. При проведении 50 независимых испытаний соотношение $p \approx \frac{m}{n}$ выполняется с вероятностью 0,9. Оцените это приближение.

Данная задача относится к закону больших чисел и решается с помощью следствий из теоремы Муавра-Лапласа. Условие задачи "соотношение $p \approx \frac{m}{n}$ выполняется с вероятностью 0,9" означает, что с вероятностью 0,9 абсолютное отклонение относительной частоты $\frac{m}{n}$ от истинной вероятности $p$ не превышает некоторую величину $\epsilon$. Наша задача — найти эту величину $\epsilon$.

Таким образом, мы ищем $\epsilon$ из следующего равенства:

$P\left(\left|\frac{m}{n} - p\right| \le \epsilon\right) = 0.9$

Здесь $n = 50$ — число независимых испытаний, $m$ — число "успехов", $p$ — вероятность "успеха" в одном испытании.

Согласно интегральной теореме Муавра-Лапласа, эта вероятность может быть аппроксимирована с помощью функции Лапласа $\Phi(x)$:

$P\left(\left|\frac{m}{n} - p\right| \le \epsilon\right) \approx 2\Phi\left(\epsilon\sqrt{\frac{n}{pq}}\right)$

где $q = 1-p$, а функция Лапласа определяется как $\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^x e^{-t^2/2} dt$.

Подставляя данные из условия, получаем уравнение:

$2\Phi\left(\epsilon\sqrt{\frac{50}{pq}}\right) = 0.9$

Отсюда находим значение функции Лапласа:

$\Phi\left(\epsilon\sqrt{\frac{50}{pq}}\right) = \frac{0.9}{2} = 0.45$

Теперь необходимо найти аргумент $x_{arg}$, для которого значение функции Лапласа равно 0.45. Используя таблицы значений функции Лапласа, находим, что $\Phi(1.645) \approx 0.45$.

Следовательно, аргумент нашей функции равен 1.645:

$\epsilon\sqrt{\frac{50}{pq}} = 1.645$

Теперь выразим $\epsilon$:

$\epsilon = 1.645 \sqrt{\frac{pq}{50}}$

Так как вероятность $p$ нам неизвестна, для оценки приближения (т.е. для нахождения гарантированного значения $\epsilon$) мы должны рассмотреть наихудший случай. Величина $\epsilon$ максимальна, когда произведение $pq$ максимально.

Найдем максимум функции $f(p) = pq = p(1-p)$. Это парабола с ветвями вниз, ее вершина находится в точке $p = 0.5$. Максимальное значение функции равно $f(0.5) = 0.5 \cdot (1-0.5) = 0.25$.

Подставим это максимальное значение $pq=0.25$ в формулу для $\epsilon$:

$\epsilon = 1.645 \sqrt{\frac{0.25}{50}} = 1.645 \sqrt{\frac{1}{200}} = 1.645 \frac{1}{10\sqrt{2}} \approx 1.645 \cdot \frac{1}{10 \cdot 1.4142} \approx \frac{1.645}{14.142} \approx 0.1163$

Таким образом, оценка данного приближения заключается в том, что с вероятностью 0,9 отклонение относительной частоты от истинной вероятности не превысит 0.1163.

Ответ: С вероятностью 0.9 выполняется неравенство $\left|\frac{m}{n} - p\right| \le 0.1163$.