Номер 4.124, страница 130 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.124. В коробке имеются 2 синих, 4 красных и 5 белых альчиков.

Сколькими способами можно извлечь:

1) 3 альчика;

2) 3 альчика разных цветов;

3) 3 альчика так, чтобы 2 из них были одного цвета?

1) 3 альчика;

В коробке находится $2 + 4 + 5 = 11$ альчиков. Задача состоит в том, чтобы найти количество способов выбрать 3 альчика из 11, при этом порядок выбора не имеет значения. Это классическая задача на нахождение числа сочетаний. Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит следующим образом: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае, общее количество альчиков $n = 11$, а количество альчиков, которые нужно извлечь, $k = 3$.

Подставляем значения в формулу:

$C_{11}^3 = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11!}{3!8!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 11 \times 5 \times 3 = 165$.

Таким образом, существует 165 способов извлечь 3 любых альчика из коробки.

Ответ: 165.

2) 3 альчика разных цветов;

Чтобы извлечь 3 альчика разных цветов, необходимо взять ровно один синий, один красный и один белый альчик. Для нахождения общего количества способов воспользуемся правилом произведения в комбинаторике.

Число способов выбрать 1 синий альчик из 2 имеющихся: $C_2^1 = \frac{2!}{1!(2-1)!} = 2$.

Число способов выбрать 1 красный альчик из 4 имеющихся: $C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = 4$.

Число способов выбрать 1 белый альчик из 5 имеющихся: $C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = 5$.

Общее число способов равно произведению числа способов для каждого цвета:

$N = C_2^1 \times C_4^1 \times C_5^1 = 2 \times 4 \times 5 = 40$.

Итак, существует 40 способов извлечь 3 альчика разных цветов.

Ответ: 40.

3) 3 альчика так, чтобы 2 из них были одного цвета?

Это условие означает, что в выборке из трех альчиков должны быть ровно два альчика одного цвета и один альчик другого цвета. Рассмотрим все возможные комбинации по цветам:

Случай 1: 2 синих и 1 не синий альчик.

Количество способов выбрать 2 синих альчика из 2: $C_2^2 = 1$.

Количество не синих альчиков: $4$ красных $+ 5$ белых $= 9$.

Количество способов выбрать 1 не синий альчик из 9: $C_9^1 = 9$.

Всего способов для этого случая: $C_2^2 \times C_9^1 = 1 \times 9 = 9$.

Случай 2: 2 красных и 1 не красный альчик.

Количество способов выбрать 2 красных альчика из 4: $C_4^2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.

Количество не красных альчиков: $2$ синих $+ 5$ белых $= 7$.

Количество способов выбрать 1 не красный альчик из 7: $C_7^1 = 7$.

Всего способов для этого случая: $C_4^2 \times C_7^1 = 6 \times 7 = 42$.

Случай 3: 2 белых и 1 не белый альчик.

Количество способов выбрать 2 белых альчика из 5: $C_5^2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$.

Количество не белых альчиков: $2$ синих $+ 4$ красных $= 6$.

Количество способов выбрать 1 не белый альчик из 6: $C_6^1 = 6$.

Всего способов для этого случая: $C_5^2 \times C_6^1 = 10 \times 6 = 60$.

Поскольку эти три случая являются взаимоисключающими, общее количество способов равно сумме способов для каждого случая:

$N = 9 + 42 + 60 = 111$.

Альтернативный способ решения: из общего числа способов извлечь 3 альчика (найдено в пункте 1) вычесть число способов, когда все 3 альчика разных цветов (найдено в пункте 2) и число способов, когда все 3 альчика одного цвета.

Число способов извлечь 3 альчика одного цвета:

3 синих: $C_2^3 = 0$ (невозможно, так как синих всего 2).

3 красных: $C_4^3 = \frac{4!}{3!1!} = 4$.

3 белых: $C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = 10$.

Всего способов извлечь 3 одноцветных альчика: $0 + 4 + 10 = 14$.

Тогда искомое число способов: $165 (\text{всего}) - 40 (\text{3 разных}) - 14 (\text{3 одинаковых}) = 111$.

Ответ: 111.