Номер 4.131, страница 131 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.131. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу, помня лишь, что эти цифры нечетные и разные. Найдите вероятность того, что номер будет набран верно.

Для решения задачи используем классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события $A$ равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов $m$ к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов $n$, образующих полную группу. Формула имеет вид: $P(A) = \frac{m}{n}$.

Событие $A$ в данном случае — это набор верного телефонного номера.

Сначала определим общее число возможных исходов $n$. Абонент забыл две последние цифры, но помнит, что они:

1. Нечетные. Множество нечетных цифр: {1, 3, 5, 7, 9}. Всего 5 цифр.

2. Разные.

Поскольку порядок цифр в телефонном номере важен (например, ...13 и ...31 — это разные номера), нам нужно найти число упорядоченных пар, которые можно составить из этих цифр. Это является задачей на нахождение числа размещений без повторений.

Число способов выбрать и разместить 2 цифры из 5 имеющихся нечетных цифр вычисляется по формуле размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов для выбора, а $k$ — количество элементов, которые мы выбираем.

В нашем случае $n=5$ (количество нечетных цифр) и $k=2$ (количество забытых цифр).

Подставляем значения в формулу:

$n = A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 4 = 20$.

Таким образом, существует 20 возможных вариантов для двух последних цифр номера, удовлетворяющих заданным условиям. Это и есть общее число исходов $n=20$.

Теперь определим число благоприятствующих исходов $m$. Благоприятствующий исход — это когда набраны правильные две цифры. Поскольку существует только один правильный телефонный номер, то и правильная комбинация двух последних цифр только одна. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m=1$.

Находим вероятность того, что номер будет набран верно:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{1}{20}$.

Ответ: $\frac{1}{20}$.