Номер 4.135, страница 131 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.135. Какова вероятность равенства $p \approx \frac{m}{n}$ с точностью до 0,05 при 50 независимых испытаниях?

Для решения задачи воспользуемся следствием из интегральной теоремы Муавра-Лапласа. Вероятность того, что в $n$ независимых испытаниях абсолютная величина отклонения относительной частоты $\frac{m}{n}$ от постоянной вероятности $p$ не превысит заданное положительное число $\epsilon$, выражается приближенной формулой:

$P\left(\left|\frac{m}{n} - p\right| \le \epsilon\right) \approx 2\Phi\left(\epsilon\sqrt{\frac{n}{pq}}\right)$

где $n$ – число испытаний, $p$ – вероятность наступления события в одном испытании, $q = 1-p$, а $\Phi(x)$ – функция Лапласа, которая определяется интегралом $\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^x e^{-t^2/2}dt$.

По условию задачи имеем:
Число испытаний $n = 50$.
Точность $\epsilon = 0.05$.

Вероятность $p$ в условии не задана. Искомая вероятность зависит от значения $p$ через произведение $pq = p(1-p)$. В таких случаях, когда требуется найти "вероятность" без указания $p$, находят нижнюю границу этой вероятности. Эта граница является гарантированным значением, которое будет не меньше искомой вероятности при любом возможном $p \in (0, 1)$.

Функция Лапласа $\Phi(x)$ является возрастающей для $x>0$, поэтому вероятность $2\Phi(\epsilon\sqrt{\frac{n}{pq}})$ будет минимальной, когда ее аргумент $\epsilon\sqrt{\frac{n}{pq}}$ минимален. Это, в свою очередь, произойдет, когда произведение $pq$ максимально.

Найдем максимальное значение функции $f(p) = p(1-p)$. Ее производная $f'(p) = 1 - 2p$. Приравняв производную к нулю, $1-2p = 0$, находим $p=0.5$. Это точка максимума, так как вторая производная $f''(p)=-2 < 0$. Максимальное значение произведения $pq$ при $p=0.5$ равно $0.5 \cdot (1-0.5) = 0.25$.

Теперь вычислим значение аргумента функции Лапласа для этого случая:

$x = \epsilon\sqrt{\frac{n}{pq_{max}}} = 0.05 \cdot \sqrt{\frac{50}{0.25}} = 0.05 \cdot \sqrt{200} = 0.05 \cdot 10\sqrt{2} = 0.5\sqrt{2}$

Используя приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1.4142$, получаем:

$x \approx 0.5 \cdot 1.4142 = 0.7071$

Найдем значение функции Лапласа $\Phi(0.7071)$ по таблице. Из таблицы значений: $\Phi(0.70) \approx 0.2580$ и $\Phi(0.71) \approx 0.2611$. Используя линейную интерполяцию:

$\Phi(0.7071) \approx \Phi(0.70) + \frac{0.7071-0.70}{0.71-0.70}(\Phi(0.71) - \Phi(0.70))$

$\Phi(0.7071) \approx 0.2580 + 0.71 \cdot (0.2611 - 0.2580) \approx 0.2580 + 0.71 \cdot 0.0031 \approx 0.2580 + 0.002201 \approx 0.2602$

Наконец, вычисляем искомую минимальную (гарантированную) вероятность:

$P_{min} \approx 2\Phi(0.7071) \approx 2 \cdot 0.2602 = 0.5204$

Таким образом, вероятность того, что равенство $p \approx \frac{m}{n}$ выполняется с точностью до 0,05, составляет не менее 0.5204.

Ответ: $0.5204$