Номер 5.1, страница 137 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.1. Найдите все решения уравнения:

а) $x^2 - 6xy + 8y^2 = 0;$

б) $x^2 - 6xy - y^2 = 0;$

в) $x^2 + 2xy - 24y^2 = 0;$

г) $x^2 + 9xy + 14y^2 = 0;$

д) $3x^2 - 8xy + 5y^2 = 0;$

е) $2x^2 + 7xy + 5y^2 = 0.$

а) $x^2 - 6xy + 8y^2 = 0$

Данное уравнение является однородным уравнением второй степени. Для его решения рассмотрим два случая.

1. Если $y = 0$, уравнение принимает вид $x^2 = 0$, откуда $x = 0$. Таким образом, пара $(0, 0)$ является решением.

2. Если $y \ne 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $y^2$:

$\frac{x^2}{y^2} - \frac{6xy}{y^2} + \frac{8y^2}{y^2} = 0$

$(\frac{x}{y})^2 - 6(\frac{x}{y}) + 8 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Получим квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 6t + 8 = 0$

Корни этого уравнения легко находятся, например, по теореме Виета: $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.

Возвращаясь к замене, получаем два соотношения между $x$ и $y$:

$\frac{x}{y} = 2$, откуда $x = 2y$.

$\frac{x}{y} = 4$, откуда $x = 4y$.

Эти соотношения описывают все решения уравнения, включая тривиальное решение $(0, 0)$, которое получается при $y=0$.

Ответ: $x = 2y$; $x = 4y$.

б) $x^2 - 6xy - y^2 = 0$

Это однородное уравнение. Если $y = 0$, то и $x = 0$. Если $y \ne 0$, разделим уравнение на $y^2$ и введем замену $t = \frac{x}{y}$:

$(\frac{x}{y})^2 - 6(\frac{x}{y}) - 1 = 0$

$t^2 - 6t - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(-1) = 36 + 4 = 40$.

Корни уравнения для $t$:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 3 \pm \sqrt{10}$.

Возвращаясь к исходным переменным, получаем два семейства решений:

$\frac{x}{y} = 3 + \sqrt{10}$, то есть $x = (3 + \sqrt{10})y$.

$\frac{x}{y} = 3 - \sqrt{10}$, то есть $x = (3 - \sqrt{10})y$.

Ответ: $x = (3 + \sqrt{10})y$; $x = (3 - \sqrt{10})y$.

в) $x^2 + 2xy - 24y^2 = 0$

Это однородное уравнение. При $y \ne 0$ разделим его на $y^2$ и сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:

$(\frac{x}{y})^2 + 2(\frac{x}{y}) - 24 = 0$

$t^2 + 2t - 24 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 4$ и $t_2 = -6$.

Отсюда получаем два вида решений для $x$ и $y$:

$\frac{x}{y} = 4 \implies x = 4y$

$\frac{x}{y} = -6 \implies x = -6y$

Случай $y=0$ дает решение $(0,0)$, которое удовлетворяет обоим найденным соотношениям.

Ответ: $x = 4y$; $x = -6y$.

г) $x^2 + 9xy + 14y^2 = 0$

Уравнение является однородным. Разделим на $y^2$ (при $y \ne 0$) и заменим $t = \frac{x}{y}$:

$(\frac{x}{y})^2 + 9(\frac{x}{y}) + 14 = 0$

$t^2 + 9t + 14 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = -2$ и $t_2 = -7$.

Таким образом, решения исходного уравнения задаются соотношениями:

$\frac{x}{y} = -2 \implies x = -2y$

$\frac{x}{y} = -7 \implies x = -7y$

Ответ: $x = -2y$; $x = -7y$.

д) $3x^2 - 8xy + 5y^2 = 0$

Это однородное уравнение. Разделим на $y^2$ (при $y \ne 0$) и заменим $t = \frac{x}{y}$:

$3(\frac{x}{y})^2 - 8(\frac{x}{y}) + 5 = 0$

$3t^2 - 8t + 5 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4(3)(5) = 64 - 60 = 4$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.

$t_2 = \frac{8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Отсюда получаем решения:

$\frac{x}{y} = \frac{5}{3} \implies x = \frac{5}{3}y$.

$\frac{x}{y} = 1 \implies x = y$.

Ответ: $x = y$; $x = \frac{5}{3}y$.

е) $2x^2 + 7xy + 5y^2 = 0$

Уравнение является однородным. Разделим на $y^2$ (при $y \ne 0$) и заменим $t = \frac{x}{y}$:

$2(\frac{x}{y})^2 + 7(\frac{x}{y}) + 5 = 0$

$2t^2 + 7t + 5 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 7^2 - 4(2)(5) = 49 - 40 = 9$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.

$t_2 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 3}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$.

Следовательно, решения исходного уравнения:

$\frac{x}{y} = -1 \implies x = -y$.

$\frac{x}{y} = -\frac{5}{2} \implies x = -\frac{5}{2}y$.

Ответ: $x = -y$; $x = -\frac{5}{2}y$.