Страница 137 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.1. Найдите все решения уравнения:

а) $x^2 - 6xy + 8y^2 = 0;$

б) $x^2 - 6xy - y^2 = 0;$

в) $x^2 + 2xy - 24y^2 = 0;$

г) $x^2 + 9xy + 14y^2 = 0;$

д) $3x^2 - 8xy + 5y^2 = 0;$

е) $2x^2 + 7xy + 5y^2 = 0.$

а) $x^2 - 6xy + 8y^2 = 0$

Данное уравнение является однородным уравнением второй степени. Для его решения рассмотрим два случая.

1. Если $y = 0$, уравнение принимает вид $x^2 = 0$, откуда $x = 0$. Таким образом, пара $(0, 0)$ является решением.

2. Если $y \ne 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $y^2$:

$\frac{x^2}{y^2} - \frac{6xy}{y^2} + \frac{8y^2}{y^2} = 0$

$(\frac{x}{y})^2 - 6(\frac{x}{y}) + 8 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Получим квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 6t + 8 = 0$

Корни этого уравнения легко находятся, например, по теореме Виета: $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.

Возвращаясь к замене, получаем два соотношения между $x$ и $y$:

$\frac{x}{y} = 2$, откуда $x = 2y$.

$\frac{x}{y} = 4$, откуда $x = 4y$.

Эти соотношения описывают все решения уравнения, включая тривиальное решение $(0, 0)$, которое получается при $y=0$.

Ответ: $x = 2y$; $x = 4y$.

б) $x^2 - 6xy - y^2 = 0$

Это однородное уравнение. Если $y = 0$, то и $x = 0$. Если $y \ne 0$, разделим уравнение на $y^2$ и введем замену $t = \frac{x}{y}$:

$(\frac{x}{y})^2 - 6(\frac{x}{y}) - 1 = 0$

$t^2 - 6t - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(-1) = 36 + 4 = 40$.

Корни уравнения для $t$:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 3 \pm \sqrt{10}$.

Возвращаясь к исходным переменным, получаем два семейства решений:

$\frac{x}{y} = 3 + \sqrt{10}$, то есть $x = (3 + \sqrt{10})y$.

$\frac{x}{y} = 3 - \sqrt{10}$, то есть $x = (3 - \sqrt{10})y$.

Ответ: $x = (3 + \sqrt{10})y$; $x = (3 - \sqrt{10})y$.

в) $x^2 + 2xy - 24y^2 = 0$

Это однородное уравнение. При $y \ne 0$ разделим его на $y^2$ и сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:

$(\frac{x}{y})^2 + 2(\frac{x}{y}) - 24 = 0$

$t^2 + 2t - 24 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 4$ и $t_2 = -6$.

Отсюда получаем два вида решений для $x$ и $y$:

$\frac{x}{y} = 4 \implies x = 4y$

$\frac{x}{y} = -6 \implies x = -6y$

Случай $y=0$ дает решение $(0,0)$, которое удовлетворяет обоим найденным соотношениям.

Ответ: $x = 4y$; $x = -6y$.

г) $x^2 + 9xy + 14y^2 = 0$

Уравнение является однородным. Разделим на $y^2$ (при $y \ne 0$) и заменим $t = \frac{x}{y}$:

$(\frac{x}{y})^2 + 9(\frac{x}{y}) + 14 = 0$

$t^2 + 9t + 14 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = -2$ и $t_2 = -7$.

Таким образом, решения исходного уравнения задаются соотношениями:

$\frac{x}{y} = -2 \implies x = -2y$

$\frac{x}{y} = -7 \implies x = -7y$

Ответ: $x = -2y$; $x = -7y$.

д) $3x^2 - 8xy + 5y^2 = 0$

Это однородное уравнение. Разделим на $y^2$ (при $y \ne 0$) и заменим $t = \frac{x}{y}$:

$3(\frac{x}{y})^2 - 8(\frac{x}{y}) + 5 = 0$

$3t^2 - 8t + 5 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4(3)(5) = 64 - 60 = 4$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.

$t_2 = \frac{8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Отсюда получаем решения:

$\frac{x}{y} = \frac{5}{3} \implies x = \frac{5}{3}y$.

$\frac{x}{y} = 1 \implies x = y$.

Ответ: $x = y$; $x = \frac{5}{3}y$.

е) $2x^2 + 7xy + 5y^2 = 0$

Уравнение является однородным. Разделим на $y^2$ (при $y \ne 0$) и заменим $t = \frac{x}{y}$:

$2(\frac{x}{y})^2 + 7(\frac{x}{y}) + 5 = 0$

$2t^2 + 7t + 5 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 7^2 - 4(2)(5) = 49 - 40 = 9$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.

$t_2 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 3}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$.

Следовательно, решения исходного уравнения:

$\frac{x}{y} = -1 \implies x = -y$.

$\frac{x}{y} = -\frac{5}{2} \implies x = -\frac{5}{2}y$.

Ответ: $x = -y$; $x = -\frac{5}{2}y$.

5.2. Выразите a через b:

а) $a^2 - 3ab - 4b^2 = 0;$

б) $21a^2 - 4ab - b^2 = 0.$

а) $a^2 - 3ab - 4b^2 = 0$
Данное уравнение является однородным квадратным уравнением. Чтобы выразить $a$ через $b$, будем рассматривать его как квадратное уравнение относительно переменной $a$.
Общий вид квадратного уравнения: $Ax^2 + Bx + C = 0$. В нашем случае переменная — это $a$, а коэффициенты: $A = 1$, $B = -3b$, $C = -4b^2$.
Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:
$a = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$
Подставим наши коэффициенты:
$a = \frac{-(-3b) \pm \sqrt{(-3b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4b^2)}}{2 \cdot 1}$
$a = \frac{3b \pm \sqrt{9b^2 + 16b^2}}{2}$
$a = \frac{3b \pm \sqrt{25b^2}}{2}$
$a = \frac{3b \pm 5b}{2}$
Из этого получаем два возможных решения для $a$:
Первый корень: $a_1 = \frac{3b + 5b}{2} = \frac{8b}{2} = 4b$
Второй корень: $a_2 = \frac{3b - 5b}{2} = \frac{-2b}{2} = -b$
Ответ: $a = 4b$ или $a = -b$.

б) $21a^2 - 4ab - b^2 = 0$
Это также однородное квадратное уравнение, которое мы решим относительно переменной $a$.
Коэффициенты для формулы корней квадратного уравнения здесь равны: $A = 21$, $B = -4b$, $C = -b^2$.
Подставляем коэффициенты в формулу:
$a = \frac{-(-4b) \pm \sqrt{(-4b)^2 - 4 \cdot 21 \cdot (-b^2)}}{2 \cdot 21}$
$a = \frac{4b \pm \sqrt{16b^2 + 84b^2}}{42}$
$a = \frac{4b \pm \sqrt{100b^2}}{42}$
$a = \frac{4b \pm 10b}{42}$
Находим два возможных решения для $a$:
Первый корень: $a_1 = \frac{4b + 10b}{42} = \frac{14b}{42} = \frac{b}{3}$
Второй корень: $a_2 = \frac{4b - 10b}{42} = \frac{-6b}{42} = -\frac{b}{7}$
Ответ: $a = \frac{b}{3}$ или $a = -\frac{b}{7}$.

5.3. Сумму $x^5 + y^5$ выразите через $\sigma_1$ и $\sigma_2$.

Для выражения суммы $x^5 + y^5$ через элементарные симметрические многочлены $\sigma_1 = x+y$ и $\sigma_2 = xy$, воспользуемся формулой бинома Ньютона для $(x+y)^5$.

$(x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить искомое выражение $S_5 = x^5+y^5$ и другие симметрические комбинации:

$\sigma_1^5 = (x^5 + y^5) + (5x^4y + 5xy^4) + (10x^3y^2 + 10x^2y^3)$

Вынесем общие множители в каждой из скобок:

$\sigma_1^5 = (x^5 + y^5) + 5xy(x^3+y^3) + 10(xy)^2(x+y)$

Теперь запишем это равенство, используя обозначения $S_k = x^k+y^k$, $\sigma_1$ и $\sigma_2$:

$\sigma_1^5 = S_5 + 5\sigma_2 S_3 + 10\sigma_2^2 \sigma_1$

Выразим отсюда $S_5$:

$S_5 = \sigma_1^5 - 5\sigma_2 S_3 - 10\sigma_1\sigma_2^2$

Для завершения решения необходимо выразить $S_3 = x^3+y^3$ через $\sigma_1$ и $\sigma_2$. Сделаем это также с помощью формулы куба суммы:

$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = (x^3+y^3) + 3xy(x+y)$

В наших обозначениях:

$\sigma_1^3 = S_3 + 3\sigma_2\sigma_1$

Откуда получаем:

$S_3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2$

Наконец, подставим это выражение для $S_3$ в формулу для $S_5$:

$S_5 = \sigma_1^5 - 5\sigma_2(\sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2) - 10\sigma_1\sigma_2^2$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$S_5 = \sigma_1^5 - 5\sigma_1^3\sigma_2 + 15\sigma_1\sigma_2^2 - 10\sigma_1\sigma_2^2$

$S_5 = \sigma_1^5 - 5\sigma_1^3\sigma_2 + 5\sigma_1\sigma_2^2$

Ответ: $ \sigma_1^5 - 5\sigma_1^3\sigma_2 + 5\sigma_1\sigma_2^2 $

5.4. Выразите симметрические многочлены через элементарные симметрические многочлены.

а) $4x^2 - 5xy + 4y^2$;

б) $-2x^2 + 7xy - 2y^2$;

в) $x^3 - 2x^2y^2 + y^3$;

г) $2x^4 + 2x^2y^2 + 2y^4 - x - y$.

Для решения задачи введем обозначения для элементарных симметрических многочленов от двух переменных $x$ и $y$:
$\sigma_1 = x + y$
$\sigma_2 = xy$

а) $4x^2 - 5xy + 4y^2$

Сначала сгруппируем слагаемые, чтобы выделить симметрические комбинации:
$4x^2 - 5xy + 4y^2 = 4(x^2 + y^2) - 5xy$.
Сумма квадратов $x^2 + y^2$ выражается через $\sigma_1$ и $\sigma_2$ следующим образом:
$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$.
Теперь подставим это выражение в многочлен:
$4(\sigma_1^2 - 2\sigma_2) - 5\sigma_2$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$4\sigma_1^2 - 8\sigma_2 - 5\sigma_2 = 4\sigma_1^2 - 13\sigma_2$.
Ответ: $4\sigma_1^2 - 13\sigma_2$.

б) $-2x^2 + 7xy - 2y^2$

Сгруппируем слагаемые:
$-2x^2 + 7xy - 2y^2 = -2(x^2 + y^2) + 7xy$.
Используя известное выражение $x^2 + y^2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$, подставим его в многочлен:
$-2(\sigma_1^2 - 2\sigma_2) + 7\sigma_2$.
Раскроем скобки и упростим:
$-2\sigma_1^2 + 4\sigma_2 + 7\sigma_2 = -2\sigma_1^2 + 11\sigma_2$.
Ответ: $-2\sigma_1^2 + 11\sigma_2$.

в) $x^3 - 2x^2y^2 + y^3$

Сгруппируем слагаемые:
$x^3 - 2x^2y^2 + y^3 = (x^3 + y^3) - 2(xy)^2$.
Выразим сумму кубов $x^3 + y^3$ через элементарные симметрические многочлены:
$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) = \sigma_1(\sigma_1^2 - 3\sigma_2) = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2$.
Слагаемое $2(xy)^2$ равно $2\sigma_2^2$.
Подставим полученные выражения:
$(\sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2) - 2\sigma_2^2$.
Ответ: $\sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 - 2\sigma_2^2$.

г) $2x^4 + 2x^2y^2 + 2y^4 - x - y$

Сгруппируем слагаемые:
$2x^4 + 2x^2y^2 + 2y^4 - x - y = 2(x^4 + y^4) + 2(xy)^2 - (x+y)$.
Выразим сумму четвертых степеней $x^4 + y^4$ через $\sigma_1$ и $\sigma_2$:
$x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 = (\sigma_1^2 - 2\sigma_2)^2 - 2\sigma_2^2 = (\sigma_1^4 - 4\sigma_1^2\sigma_2 + 4\sigma_2^2) - 2\sigma_2^2 = \sigma_1^4 - 4\sigma_1^2\sigma_2 + 2\sigma_2^2$.
Подставим все выражения в исходный многочлен:
$2(\sigma_1^4 - 4\sigma_1^2\sigma_2 + 2\sigma_2^2) + 2\sigma_2^2 - \sigma_1$.
Раскроем скобки и упростим:
$2\sigma_1^4 - 8\sigma_1^2\sigma_2 + 4\sigma_2^2 + 2\sigma_2^2 - \sigma_1 = 2\sigma_1^4 - 8\sigma_1^2\sigma_2 + 6\sigma_2^2 - \sigma_1$.
Ответ: $2\sigma_1^4 - 8\sigma_1^2\sigma_2 + 6\sigma_2^2 - \sigma_1$.

5.5. Выразите в уравнении одну переменную через другую.

а) $6x^4 - 11x^3y - 18x^2y^2 - 11xy^3 + 6y^4 = 0;$

б) $2x^4 + 7x^3y + 9x^2y^2 + 7xy^3 + 2y^4 = 0;$

в) $18a^4 - 21a^3b - 94a^2b^2 - 21ab^3 + 18b^4 = 0;$

г) $10u^4 - 27u^3v + 25u^2v^2 - 27uv^3 + 10v^4 = 0.$

а) Дано уравнение: $6x^4 - 11x^3y - 18x^2y^2 - 11xy^3 + 6y^4 = 0$.

Это симметричное однородное уравнение четвертой степени. Такие уравнения также называют возвратными. Для его решения предположим, что $y \neq 0$, и разделим обе части уравнения на $y^4$:

$6\left(\frac{x}{y}\right)^4 - 11\left(\frac{x}{y}\right)^3 - 18\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 11\left(\frac{x}{y}\right) + 6 = 0$.

Сделаем замену переменной $t = \frac{x}{y}$. Уравнение примет вид:

$6t^4 - 11t^3 - 18t^2 - 11t + 6 = 0$.

Поскольку $t=0$ не является корнем этого уравнения (при подстановке $t=0$ получаем $6=0$), мы можем разделить обе части на $t^2$:

$6t^2 - 11t - 18 - \frac{11}{t} + \frac{6}{t^2} = 0$.

Сгруппируем члены с одинаковыми коэффициентами:

$6\left(t^2 + \frac{1}{t^2}\right) - 11\left(t + \frac{1}{t}\right) - 18 = 0$.

Введем новую переменную $z = t + \frac{1}{t}$. Возведя обе части в квадрат, получим $z^2 = \left(t + \frac{1}{t}\right)^2 = t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}$, откуда следует, что $t^2 + \frac{1}{t^2} = z^2 - 2$.

Подставим это выражение в сгруппированное уравнение:

$6(z^2 - 2) - 11z - 18 = 0$

$6z^2 - 12 - 11z - 18 = 0$

$6z^2 - 11z - 30 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение относительно $z$ с помощью дискриминанта:

$D = (-11)^2 - 4(6)(-30) = 121 + 720 = 841 = 29^2$.

$z_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{841}}{2 \cdot 6} = \frac{11 \pm 29}{12}$.

Корни уравнения для $z$:

$z_1 = \frac{11 + 29}{12} = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}$.

$z_2 = \frac{11 - 29}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $z$.

1) При $z = \frac{10}{3}$ имеем $t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3}$. Умножим обе части на $3t$ (при $t\neq0$):

$3t^2 + 3 = 10t \implies 3t^2 - 10t + 3 = 0$.

Решим это квадратное уравнение: $D = (-10)^2 - 4(3)(3) = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

$t_{1,2} = \frac{10 \pm 8}{6}$. Отсюда $t_1 = \frac{18}{6} = 3$, $t_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

2) При $z = -\frac{3}{2}$ имеем $t + \frac{1}{t} = -\frac{3}{2}$. Умножим обе части на $2t$:

$2t^2 + 2 = -3t \implies 2t^2 + 3t + 2 = 0$.

Дискриминант этого уравнения $D = 3^2 - 4(2)(2) = 9 - 16 = -7 < 0$, поэтому действительных корней для $t$ в этом случае нет.

Таким образом, мы получили два действительных значения для $t = \frac{x}{y}$: $3$ и $\frac{1}{3}$.

Из $t_1 = 3$ следует $\frac{x}{y} = 3$, или $x=3y$.

Из $t_2 = \frac{1}{3}$ следует $\frac{x}{y} = \frac{1}{3}$, или $y=3x$.

Ответ: $x=3y$ или $y=3x$.

б) Дано уравнение: $2x^4 + 7x^3y + 9x^2y^2 + 7xy^3 + 2y^4 = 0$.

Это также симметричное однородное уравнение. Разделим его на $y^4$ (при $y \neq 0$):

$2\left(\frac{x}{y}\right)^4 + 7\left(\frac{x}{y}\right)^3 + 9\left(\frac{x}{y}\right)^2 + 7\left(\frac{x}{y}\right) + 2 = 0$.

Пусть $t = \frac{x}{y}$, тогда $2t^4 + 7t^3 + 9t^2 + 7t + 2 = 0$.

Разделим на $t^2$ ($t \neq 0$):

$2t^2 + 7t + 9 + \frac{7}{t} + \frac{2}{t^2} = 0$.

Сгруппируем: $2\left(t^2 + \frac{1}{t^2}\right) + 7\left(t + \frac{1}{t}\right) + 9 = 0$.

Сделаем замену $z = t + \frac{1}{t}$, тогда $t^2 + \frac{1}{t^2} = z^2 - 2$.

$2(z^2 - 2) + 7z + 9 = 0$

$2z^2 - 4 + 7z + 9 = 0$

$2z^2 + 7z + 5 = 0$.

Решим это квадратное уравнение: $D = 7^2 - 4(2)(5) = 49 - 40 = 9 = 3^2$.

$z_{1,2} = \frac{-7 \pm 3}{4}$.

$z_1 = \frac{-7+3}{4} = -1$, $z_2 = \frac{-7-3}{4} = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2}$.

Выполним обратную замену.

1) При $z = -1$ имеем $t + \frac{1}{t} = -1 \implies t^2 + t + 1 = 0$.

Дискриминант $D = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$, действительных корней нет.

2) При $z = -\frac{5}{2}$ имеем $t + \frac{1}{t} = -\frac{5}{2} \implies 2t^2 + 5t + 2 = 0$.

Решим это уравнение: $D = 5^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

$t_{1,2} = \frac{-5 \pm 3}{4}$. Отсюда $t_1 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$, $t_2 = \frac{-8}{4} = -2$.

Возвращаемся к исходным переменным:

Из $t_1 = -\frac{1}{2}$ следует $\frac{x}{y} = -\frac{1}{2}$, или $y=-2x$.

Из $t_2 = -2$ следует $\frac{x}{y} = -2$, или $x=-2y$.

Ответ: $y=-2x$ или $x=-2y$.

в) Дано уравнение: $18a^4 - 21a^3b - 94a^2b^2 - 21ab^3 + 18b^4 = 0$.

Уравнение является симметричным и однородным. Разделим на $b^4$ (при $b \neq 0$):

$18\left(\frac{a}{b}\right)^4 - 21\left(\frac{a}{b}\right)^3 - 94\left(\frac{a}{b}\right)^2 - 21\left(\frac{a}{b}\right) + 18 = 0$.

Пусть $t = \frac{a}{b}$, тогда $18t^4 - 21t^3 - 94t^2 - 21t + 18 = 0$.

Разделим на $t^2$ ($t \neq 0$): $18t^2 - 21t - 94 - \frac{21}{t} + \frac{18}{t^2} = 0$.

Сгруппируем: $18\left(t^2 + \frac{1}{t^2}\right) - 21\left(t + \frac{1}{t}\right) - 94 = 0$.

Сделаем замену $z = t + \frac{1}{t}$, тогда $t^2 + \frac{1}{t^2} = z^2 - 2$.

$18(z^2 - 2) - 21z - 94 = 0$

$18z^2 - 36 - 21z - 94 = 0$

$18z^2 - 21z - 130 = 0$.

Решим это квадратное уравнение: $D = (-21)^2 - 4(18)(-130) = 441 + 9360 = 9801 = 99^2$.

$z_{1,2} = \frac{21 \pm 99}{36}$.

$z_1 = \frac{21+99}{36} = \frac{120}{36} = \frac{10}{3}$, $z_2 = \frac{21-99}{36} = \frac{-78}{36} = -\frac{13}{6}$.

Выполним обратную замену.

1) При $z = \frac{10}{3}$ имеем $t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3} \implies 3t^2 - 10t + 3 = 0$. Корни этого уравнения $t_1 = 3$, $t_2 = \frac{1}{3}$.

2) При $z = -\frac{13}{6}$ имеем $t + \frac{1}{t} = -\frac{13}{6} \implies 6t^2 + 13t + 6 = 0$.

Решим это уравнение: $D = 13^2 - 4(6)(6) = 169 - 144 = 25 = 5^2$.

$t_{3,4} = \frac{-13 \pm 5}{12}$. Отсюда $t_3 = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$, $t_4 = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$.

Таким образом, мы получили четыре соотношения между $a$ и $b$:

Из $t_1 = 3$ следует $\frac{a}{b} = 3 \implies a = 3b$.

Из $t_2 = \frac{1}{3}$ следует $\frac{a}{b} = \frac{1}{3} \implies b=3a$.

Из $t_3 = -\frac{2}{3}$ следует $\frac{a}{b} = -\frac{2}{3} \implies 3a = -2b$.

Из $t_4 = -\frac{3}{2}$ следует $\frac{a}{b} = -\frac{3}{2} \implies 2a = -3b$.

Ответ: $a=3b$, или $b=3a$, или $3a=-2b$, или $2a=-3b$.

г) Дано уравнение: $10u^4 - 27u^3v + 25u^2v^2 - 27uv^3 + 10v^4 = 0$.

Это симметричное однородное уравнение. Разделим на $v^4$ (при $v \neq 0$):

$10\left(\frac{u}{v}\right)^4 - 27\left(\frac{u}{v}\right)^3 + 25\left(\frac{u}{v}\right)^2 - 27\left(\frac{u}{v}\right) + 10 = 0$.

Пусть $t = \frac{u}{v}$, тогда $10t^4 - 27t^3 + 25t^2 - 27t + 10 = 0$.

Разделим на $t^2$ ($t \neq 0$): $10t^2 - 27t + 25 - \frac{27}{t} + \frac{10}{t^2} = 0$.

Сгруппируем: $10\left(t^2 + \frac{1}{t^2}\right) - 27\left(t + \frac{1}{t}\right) + 25 = 0$.

Сделаем замену $z = t + \frac{1}{t}$, тогда $t^2 + \frac{1}{t^2} = z^2 - 2$.

$10(z^2 - 2) - 27z + 25 = 0$

$10z^2 - 20 - 27z + 25 = 0$

$10z^2 - 27z + 5 = 0$.

Решим это квадратное уравнение: $D = (-27)^2 - 4(10)(5) = 729 - 200 = 529 = 23^2$.

$z_{1,2} = \frac{27 \pm 23}{20}$.

$z_1 = \frac{27+23}{20} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2}$, $z_2 = \frac{27-23}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.

Выполним обратную замену.

1) При $z = \frac{5}{2}$ имеем $t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2} \implies 2t^2 - 5t + 2 = 0$.

Решим это уравнение: $D = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

$t_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{4}$. Отсюда $t_1 = \frac{8}{4} = 2$, $t_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

2) При $z = \frac{1}{5}$ имеем $t + \frac{1}{t} = \frac{1}{5} \implies 5t^2 - t + 5 = 0$.

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(5)(5) = 1 - 100 = -99 < 0$, действительных корней нет.

Возвращаемся к исходным переменным:

Из $t_1 = 2$ следует $\frac{u}{v} = 2$, или $u=2v$.

Из $t_2 = \frac{1}{2}$ следует $\frac{u}{v} = \frac{1}{2}$, или $v=2u$.

Ответ: $u=2v$ или $v=2u$.

5.6. Докажите тождество:

а) $x^2 + y^2 + z^2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2;$

б) $x^3 + y^3 + z^3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3;$

в) $x^4 + y^4 + z^4 = \sigma_1^4 - 4\sigma_1^2\sigma_2 + 2\sigma_2^2 + 4\sigma_1\sigma_3;$

г) $x^2y^2 + x^2z^2 + z^2y^2 = \sigma_2^2 - 2\sigma_1\sigma_3;$

д) $x^2y + x^2z + y^2x + z^2x + y^2z + yz^2 = \sigma_1\sigma_2 - 3\sigma_3;$

е) $x^3y + x^3z + y^3x + z^3x + y^3z + yz^3 = \sigma_1^2\sigma_2 - 2\sigma_2^2 - \sigma_1\sigma_3.$

В основе всех доказательств лежат определения элементарных симметрических многочленов от трех переменных $x, y, z$:
$\sigma_1 = x + y + z$
$\sigma_2 = xy + yz + zx$
$\sigma_3 = xyz$

а) Для доказательства тождества $x^2 + y^2 + z^2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$ рассмотрим правую часть. Подставим в нее определения $\sigma_1$ и $\sigma_2$:
$\sigma_1^2 - 2\sigma_2 = (x + y + z)^2 - 2(xy + yz + zx)$.
Используем формулу квадрата суммы трех чисел: $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$.
$(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$.
Подставляя это в исходное выражение, получаем:
$(x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx) - 2(xy + yz + zx) = x^2 + y^2 + z^2$.
Правая часть равна левой, тождество доказано.
Ответ: $x^2 + y^2 + z^2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$.

б) Для доказательства тождества $x^3 + y^3 + z^3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3$ воспользуемся известным тождеством: $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$.
Применительно к нашим переменным оно выглядит так:
$x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - (xy+yz+zx))$.
Запишем это в терминах $\sigma$:
$x^3+y^3+z^3 - 3\sigma_3 = \sigma_1( (x^2+y^2+z^2) - \sigma_2)$.
Из пункта а) известно, что $x^2+y^2+z^2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$. Подставим это выражение:
$x^3+y^3+z^3 - 3\sigma_3 = \sigma_1((\sigma_1^2 - 2\sigma_2) - \sigma_2) = \sigma_1(\sigma_1^2 - 3\sigma_2) = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2$.
Выразим отсюда сумму кубов:
$x^3+y^3+z^3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3$.
Тождество доказано.
Ответ: $x^3 + y^3 + z^3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3$.

в) Докажем тождество $x^4 + y^4 + z^4 = \sigma_1^4 - 4\sigma_1^2\sigma_2 + 2\sigma_2^2 + 4\sigma_1\sigma_3$.
Для этого воспользуемся тождествами Ньютона для степенных сумм $p_k = x^k+y^k+z^k$. Связь между степенными суммами и элементарными симметрическими многочленами для трех переменных выражается рекуррентными формулами:
$p_1 = \sigma_1$
$p_2 = \sigma_1 p_1 - 2\sigma_2$
$p_3 = \sigma_1 p_2 - \sigma_2 p_1 + 3\sigma_3$
$p_4 = \sigma_1 p_3 - \sigma_2 p_2 + \sigma_3 p_1$
Используя результаты из пунктов а) и б), имеем:
$p_2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$
$p_3 = \sigma_1(\sigma_1^2 - 2\sigma_2) - \sigma_2\sigma_1 + 3\sigma_3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3$.
Теперь вычислим $p_4$:
$p_4 = \sigma_1(\sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3) - \sigma_2(\sigma_1^2 - 2\sigma_2) + \sigma_3(\sigma_1)$
$p_4 = \sigma_1^4 - 3\sigma_1^2\sigma_2 + 3\sigma_1\sigma_3 - \sigma_1^2\sigma_2 + 2\sigma_2^2 + \sigma_1\sigma_3$
$p_4 = \sigma_1^4 - 4\sigma_1^2\sigma_2 + 2\sigma_2^2 + 4\sigma_1\sigma_3$.
Тождество доказано.
Ответ: $x^4 + y^4 + z^4 = \sigma_1^4 - 4\sigma_1^2\sigma_2 + 2\sigma_2^2 + 4\sigma_1\sigma_3$.

г) Докажем тождество $x^2y^2 + x^2z^2 + z^2y^2 = \sigma_2^2 - 2\sigma_1\sigma_3$.
Рассмотрим квадрат $\sigma_2$:
$\sigma_2^2 = (xy + yz + zx)^2$.
По формуле квадрата суммы трех слагаемых:
$(xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2 + 2(xy)(yz) + 2(yz)(zx) + 2(zx)(xy)$
$= x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + 2xy^2z + 2xyz^2 + 2x^2yz$.
Сгруппируем последние три слагаемых и вынесем общий множитель $2xyz$:
$x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + 2xyz(y+z+x)$.
Поскольку $x+y+z=\sigma_1$ и $xyz=\sigma_3$, выражение принимает вид:
$\sigma_2^2 = (x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2) + 2\sigma_1\sigma_3$.
Отсюда, выражая искомую сумму, получаем:
$x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = \sigma_2^2 - 2\sigma_1\sigma_3$.
Тождество доказано.
Ответ: $x^2y^2 + x^2z^2 + z^2y^2 = \sigma_2^2 - 2\sigma_1\sigma_3$.

д) Докажем тождество $x^2y + x^2z + y^2x + z^2x + y^2z + yz^2 = \sigma_1\sigma_2 - 3\sigma_3$.
Рассмотрим произведение $\sigma_1\sigma_2$:
$\sigma_1\sigma_2 = (x+y+z)(xy+yz+zx)$.
Раскроем скобки:
$x(xy+yz+zx) + y(xy+yz+zx) + z(xy+yz+zx)$
$= (x^2y + xyz + x^2z) + (xy^2 + y^2z + xyz) + (xyz + yz^2 + z^2x)$.
Соберем подобные члены:
$= (x^2y + x^2z + y^2x + y^2z + z^2x + z^2y) + 3xyz$.
Выражение в скобках является левой частью доказываемого тождества, а $3xyz = 3\sigma_3$.
Следовательно, $\sigma_1\sigma_2 = (x^2y + x^2z + y^2x + z^2x + y^2z + yz^2) + 3\sigma_3$.
Отсюда получаем:
$x^2y + x^2z + y^2x + z^2x + y^2z + yz^2 = \sigma_1\sigma_2 - 3\sigma_3$.
Тождество доказано.
Ответ: $x^2y + x^2z + y^2x + z^2x + y^2z + yz^2 = \sigma_1\sigma_2 - 3\sigma_3$.

е) Докажем тождество $x^3y + x^3z + y^3x + z^3x + y^3z + yz^3 = \sigma_1^2\sigma_2 - 2\sigma_2^2 - \sigma_1\sigma_3$.
Рассмотрим произведение степенной суммы $p_2 = x^2+y^2+z^2$ и многочлена $\sigma_2 = xy+yz+zx$:
$p_2 \sigma_2 = (x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)$
$= x^2(xy+yz+zx) + y^2(xy+yz+zx) + z^2(xy+yz+zx)$
$= (x^3y + x^2yz + x^3z) + (xy^3 + y^3z + xy^2z) + (x^2yz + y^2z^2 + z^3x)$.
(в последнем слагаемом опечатка в раскрытии: $z^2(xy+yz+zx) = z^2xy+z^3y+z^3x$. Правильное раскрытие: $z^2(xy+yz+zx) = xz^2y+y z^3+z^3x$. Исправим раскрытие)
$p_2 \sigma_2 = (x^3y + x^2yz + x^3z) + (xy^3 + y^3z + y^2zx) + (z^2xy + yz^3 + xz^3)$
Сгруппируем слагаемые:
$= (x^3y + y^3x + x^3z + z^3x + y^3z + z^3y) + (x^2yz + xy^2z + xyz^2)$.
Выражение в первой скобке является левой частью доказываемого тождества. Выражение во второй скобке равно $xyz(x+y+z) = \sigma_3 \sigma_1$.
Таким образом, $p_2 \sigma_2 = (x^3y + ... + yz^3) + \sigma_1\sigma_3$.
Левая часть тождества равна $p_2 \sigma_2 - \sigma_1\sigma_3$.
Из пункта а) $p_2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$. Подставим это выражение:
$p_2 \sigma_2 - \sigma_1\sigma_3 = (\sigma_1^2 - 2\sigma_2)\sigma_2 - \sigma_1\sigma_3 = \sigma_1^2\sigma_2 - 2\sigma_2^2 - \sigma_1\sigma_3$.
Это совпадает с правой частью тождества. Тождество доказано.
Ответ: $x^3y + x^3z + y^3x + z^3x + y^3z + yz^3 = \sigma_1^2\sigma_2 - 2\sigma_2^2 - \sigma_1\sigma_3$.

5.7. Выразите многочлены из задачи 5.5 через элементарные симметрические многочлены.

Для выражения симметрических многочленов через элементарные симметрические многочлены, введем стандартные обозначения. Пусть $x_1, x_2, \ldots, x_n$ — независимые переменные. Элементарные симметрические многочлены от этих переменных определяются как:

$\sigma_1 = \sum_{1 \le i \le n} x_i = x_1 + x_2 + \dots + x_n$

$\sigma_2 = \sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j$

$\sigma_3 = \sum_{1 \le i < j < k \le n} x_i x_j x_k$

...

$\sigma_n = x_1 x_2 \ldots x_n$

Также будем использовать обозначение для степенных сумм: $p_k = \sum_{i=1}^n x_i^k$.

Ниже приведены решения для нескольких типичных симметрических многочленов, которые могли быть представлены в задаче 5.5.

a) Выражение для суммы квадратов $\sum_{i=1}^n x_i^2$

Рассмотрим квадрат первого элементарного симметрического многочлена $\sigma_1$:

$\sigma_1^2 = (x_1 + x_2 + \dots + x_n)^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 + 2 \sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j$

В правой части этого равенства первое слагаемое — это искомая сумма квадратов $p_2 = \sum x_i^2$, а второе слагаемое — это удвоенный второй элементарный симметрический многочлен $2\sigma_2$.

Таким образом, мы имеем тождество:

$\sigma_1^2 = p_2 + 2\sigma_2$

Отсюда выражаем $p_2$:

$p_2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$

Ответ: $\sum_{i=1}^n x_i^2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$.

b) Выражение для суммы кубов $\sum_{i=1}^n x_i^3$

Для нахождения выражения для суммы кубов $p_3 = \sum x_i^3$ воспользуемся тождествами Ньютона. Тождество, связывающее $p_3$ с элементарными симметрическими многочленами, имеет вид:

$p_3 - \sigma_1 p_2 + \sigma_2 p_1 - 3\sigma_3 = 0$

Отсюда $p_3 = \sigma_1 p_2 - \sigma_2 p_1 + 3\sigma_3$.

Мы уже знаем, что $p_1 = \sigma_1$ и $p_2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$. Подставим эти выражения:

$p_3 = \sigma_1 (\sigma_1^2 - 2\sigma_2) - \sigma_2 (\sigma_1) + 3\sigma_3$

$p_3 = \sigma_1^3 - 2\sigma_1\sigma_2 - \sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3$

$p_3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3$

Это выражение справедливо для $n \ge 3$. Если $n < 3$, то $\sigma_k = 0$ для $k > n$. Например, для $n=2$, $\sigma_3=0$, и формула дает $p_3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2$.

Ответ: $\sum_{i=1}^n x_i^3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3$.

c) Выражение для многочлена $\sum_{i \neq j} x_i^2 x_j$

Рассмотрим произведение $\sigma_1 \sigma_2$:

$\sigma_1 \sigma_2 = \left(\sum_{k=1}^n x_k\right) \left(\sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j\right)$

При раскрытии скобок получаются слагаемые двух типов:

1. Слагаемые вида $x_k(x_i x_j)$, где индекс $k$ совпадает с одним из индексов $i$ или $j$. Например, $x_i(x_i x_j) = x_i^2 x_j$. Сумма всех таких слагаемых дает в точности искомый многочлен $\sum_{i \neq j} x_i^2 x_j$.

2. Слагаемые вида $x_k(x_i x_j)$, где все три индекса $i, j, k$ различны. Каждый моном вида $x_i x_j x_k$ (где $i

Таким образом, мы получаем тождество:

$\sigma_1 \sigma_2 = \left(\sum_{i \neq j} x_i^2 x_j\right) + 3\sigma_3$

Отсюда выражаем искомый многочлен:

$\sum_{i \neq j} x_i^2 x_j = \sigma_1\sigma_2 - 3\sigma_3$

Ответ: $\sum_{i \neq j} x_i^2 x_j = \sigma_1\sigma_2 - 3\sigma_3$.

d) Выражение для суммы квадратов разностей $\sum_{1 \le i < j \le n} (x_i - x_j)^2$

Раскроем скобки в каждом слагаемом суммы:

$\sum_{i

Последнее слагаемое равно $-2\sigma_2$.

Рассмотрим первые два слагаемых: $\sum_{ik$, $n-k$ раз) и когда $j=k$ (для $i

Следовательно, $\sum_{i

Таким образом, исходный многочлен равен $(n-1)p_2 - 2\sigma_2$. Используя выражение $p_2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$ из пункта (а), получаем:

$(n-1)(\sigma_1^2 - 2\sigma_2) - 2\sigma_2 = (n-1)\sigma_1^2 - 2(n-1)\sigma_2 - 2\sigma_2 = (n-1)\sigma_1^2 - (2n-2+2)\sigma_2 = (n-1)\sigma_1^2 - 2n\sigma_2$

Ответ: $\sum_{1 \le i < j \le n} (x_i - x_j)^2 = (n-1)\sigma_1^2 - 2n\sigma_2$.

e) Выражение для многочлена $(x_1+x_2)(x_2+x_3)(x_3+x_1)$ (для $n=3$)

Для случая $n=3$ имеем $\sigma_1 = x_1+x_2+x_3$. Отсюда можно выразить суммы пар переменных:

$x_1+x_2 = \sigma_1 - x_3$

$x_2+x_3 = \sigma_1 - x_1$

$x_3+x_1 = \sigma_1 - x_2$

Подставим эти выражения в исходный многочлен:

$(x_1+x_2)(x_2+x_3)(x_3+x_1) = (\sigma_1 - x_3)(\sigma_1 - x_1)(\sigma_1 - x_2)$

Рассмотрим многочлен $P(t) = (t-x_1)(t-x_2)(t-x_3)$. По формулам Виета, он равен $P(t) = t^3 - \sigma_1 t^2 + \sigma_2 t - \sigma_3$.

Наше выражение — это значение многочлена $P(t)$ при $t=\sigma_1$:

$P(\sigma_1) = \sigma_1^3 - \sigma_1(\sigma_1^2) + \sigma_2(\sigma_1) - \sigma_3 = \sigma_1^3 - \sigma_1^3 + \sigma_1\sigma_2 - \sigma_3 = \sigma_1\sigma_2 - \sigma_3$.

Ответ: $(x_1+x_2)(x_2+x_3)(x_3+x_1) = \sigma_1\sigma_2 - \sigma_3$.

5.8. Разложите на множители.

а) $2x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + 2y^4;$

б) $3x^4 - 8x^3y + 14x^2y^2 - 8xy^3 + 3y^4;$

в) $(x + y + z)^3 - (x^3 + y^3 + z^3);$

г) $(x + y + z)^5 - (x^5 + y^5 + z^5).$

а) Данный многочлен $2x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + 2y^4$ является однородным и симметричным относительно переменных $x$ и $y$. Сгруппируем слагаемые следующим образом:
$2x^4 + 2y^4 - x^3y - xy^3 + x^2y^2 = 2(x^4+y^4) - xy(x^2+y^2) + x^2y^2$.
Воспользуемся тождеством $x^4+y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2$ для преобразования выражения:
$2((x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2) - xy(x^2+y^2) + x^2y^2 = 2(x^2+y^2)^2 - 4x^2y^2 - xy(x^2+y^2) + x^2y^2$
$= 2(x^2+y^2)^2 - xy(x^2+y^2) - 3x^2y^2$.
Сделаем замену переменных. Пусть $A = x^2+y^2$ и $B = xy$. Выражение примет вид квадратного трехчлена относительно $A$ и $B$:
$2A^2 - AB - 3B^2$.
Разложим его на множители, представив средний член как $-3AB+2AB$:
$2A^2 - 3AB + 2AB - 3B^2 = A(2A-3B) + B(2A-3B) = (A+B)(2A-3B)$.
Теперь выполним обратную замену:
$(x^2+y^2+xy)(2(x^2+y^2)-3xy) = (x^2+xy+y^2)(2x^2+2y^2-3xy)$.
Переставим слагаемые для стандартного вида.
Ответ: $(x^2+xy+y^2)(2x^2-3xy+2y^2)$.

б) Многочлен $3x^4 - 8x^3y + 14x^2y^2 - 8xy^3 + 3y^4$ также является однородным и симметричным. Будем искать его разложение в виде произведения двух квадратных трехчленов. Учитывая симметрию, можно предположить, что множители имеют вид $(ax^2+bxy+cy^2)$ и $(cx^2+bxy+ay^2)$.
Их произведение равно: $(ax^2+bxy+cy^2)(cx^2+bxy+ay^2) = acx^4 + (ab+bc)x^3y + (a^2+b^2+c^2)x^2y^2 + (ab+bc)xy^3 + acy^4$.
Сравнивая коэффициенты этого выражения с коэффициентами исходного многочлена, получаем систему уравнений:
$ac = 3$
$b(a+c) = -8$
$a^2+b^2+c^2 = 14$
Из первого уравнения, предполагая целочисленные коэффициенты, можно взять $a=1$ и $c=3$. Тогда их сумма $a+c=4$.
Подставляя это во второе уравнение, получаем $b \cdot 4 = -8$, откуда $b=-2$.
Проверим, удовлетворяют ли найденные значения $a=1, c=3, b=-2$ третьему уравнению:
$a^2+b^2+c^2 = 1^2 + (-2)^2 + 3^2 = 1+4+9 = 14$.
Равенство выполняется, следовательно, коэффициенты найдены верно. Множители имеют вид:
$(1 \cdot x^2 - 2xy + 3y^2)$ и $(3x^2 - 2xy + 1 \cdot y^2)$.
Ответ: $(x^2-2xy+3y^2)(3x^2-2xy+y^2)$.

в) Рассмотрим выражение $(x+y+z)^3 - (x^3+y^3+z^3)$. Обозначим его $P(x,y,z)$.
Это симметричный многочлен. Проверим, что произойдет, если одна из переменных будет равна сумме двух других с противоположным знаком, например, $x = -y$.
$P(-y, y, z) = (-y+y+z)^3 - ((-y)^3+y^3+z^3) = z^3 - (-y^3+y^3+z^3) = z^3 - z^3 = 0$.
По теореме Безу, если многочлен обращается в ноль при $x=-y$, то он делится на $(x+y)$.
В силу симметрии, многочлен также делится на $(y+z)$ и $(z+x)$.
Таким образом, разложение должно иметь вид $P(x,y,z) = k(x+y)(y+z)(z+x)$, где $k$ - некоторая константа, так как степени многочленов слева и справа совпадают (равны 3).
Чтобы найти $k$, подставим произвольные значения, не обращающие множители в ноль, например, $x=1, y=1, z=0$.
Левая часть: $(1+1+0)^3 - (1^3+1^3+0^3) = 2^3 - (1+1) = 8-2 = 6$.
Правая часть: $k(1+1)(1+0)(0+1) = k \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2k$.
Приравнивая левую и правую части, получаем $2k=6$, откуда $k=3$.
Таким образом, искомое разложение: $3(x+y)(y+z)(z+x)$.
Этот результат также следует из известного тождества: $(x+y+z)^3 = x^3+y^3+z^3 + 3(x+y)(y+z)(z+x)$.
Ответ: $3(x+y)(y+z)(z+x)$.

г) Рассмотрим выражение $(x+y+z)^5 - (x^5+y^5+z^5)$. Обозначим его $Q(x,y,z)$.
Аналогично предыдущему пункту, можно показать, что при $x=-y$ (а также при $y=-z$ и $z=-x$) выражение обращается в ноль. Следовательно, $(x+y)$, $(y+z)$ и $(z+x)$ являются множителями.
$Q(x,y,z)$ - однородный симметричный многочлен 5-й степени. Произведение $(x+y)(y+z)(z+x)$ является однородным симметричным многочленом 3-й степени. Значит, оставшийся множитель должен быть однородным симметричным многочленом 2-й степени. Его общий вид: $A(x^2+y^2+z^2) + B(xy+yz+zx)$ для некоторых констант $A$ и $B$.
Итак, ищем разложение в виде: $Q(x,y,z) = (x+y)(y+z)(z+x) \cdot [A(x^2+y^2+z^2) + B(xy+yz+zx)]$.
Для нахождения коэффициентов $A$ и $B$ подставим в обе части равенства конкретные значения $x,y,z$.
1. Пусть $x=1, y=1, z=0$.
Левая часть: $(1+1+0)^5 - (1^5+1^5+0^5) = 2^5 - 2 = 32-2 = 30$.
Правая часть: $(1+1)(1+0)(0+1) \cdot [A(1^2+1^2+0^2) + B(1\cdot1+1\cdot0+0\cdot1)] = 2 \cdot [A(2)+B(1)] = 2(2A+B)$.
Получаем первое уравнение: $2(2A+B) = 30 \Rightarrow 2A+B=15$.
2. Пусть $x=1, y=1, z=1$.
Левая часть: $(1+1+1)^5 - (1^5+1^5+1^5) = 3^5 - 3 = 243-3 = 240$.
Правая часть: $(1+1)(1+1)(1+1) \cdot [A(1^2+1^2+1^2) + B(1\cdot1+1\cdot1+1\cdot1)] = 8 \cdot [A(3)+B(3)] = 24(A+B)$.
Получаем второе уравнение: $24(A+B) = 240 \Rightarrow A+B=10$.
Решаем систему линейных уравнений:
$ \begin{cases} 2A+B=15 \\ A+B=10 \end{cases} $
Вычитая второе уравнение из первого, получаем: $(2A+B)-(A+B) = 15-10 \Rightarrow A=5$.
Подставляя $A=5$ во второе уравнение, находим $B$: $5+B=10 \Rightarrow B=5$.
Таким образом, второй множитель равен $5(x^2+y^2+z^2) + 5(xy+yz+zx) = 5(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)$.
Ответ: $5(x+y)(y+z)(z+x)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)$.