Страница 143 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как записывается стандартный вид многочлена с одной переменной?

2. Что называется старшим коэффициентом и свободным членом? Приведите пример.

3. Какое число называется корнем многочлена? Приведите пример.

4. На примере покажите деление многочлена на многочлен «уголком».

5. Что называется неполным частным и остатком при делении многочлена на многочлен? Приведите пример.

6. Какой должна быть степень остатка?

7. При каких условиях один многочлен делится на второй без остатка? Приведите пример.

8. Как можно определить целый корень многочлена с целыми коэффициентами? Приведите пример.

1. Как записывается стандартный вид многочлена с одной переменной?
Стандартный вид многочлена с одной переменной $x$ — это представление многочлена в виде суммы одночленов, расположенных в порядке убывания их степеней. Общая формула стандартного вида многочлена $P(x)$ степени $n$ выглядит так:
$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$
где:
• $x$ — переменная;
• $n$ — натуральное число или ноль, называемое степенью многочлена;
• $a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0$ — числовые коэффициенты, причем $a_n \neq 0$.
Каждый член $a_k x^k$ называется одночленом.
Ответ: Стандартный вид многочлена с одной переменной $x$ записывается как $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, где члены расположены в порядке убывания степеней $n$, $n-1$, ..., $0$.

2. Что называется старшим коэффициентом и свободным членом? Приведите пример.
В многочлене, записанном в стандартном виде $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$:
• Старший коэффициент — это коэффициент при члене с наивысшей степенью переменной. В данном случае это $a_n$.
• Свободный член — это член многочлена, не содержащий переменной (член нулевой степени). В данном случае это $a_0$.

Пример.
Рассмотрим многочлен $P(x) = 5x^4 - 2x^3 + 7x - 11$.
• Наивысшая степень равна 4. Коэффициент при $x^4$ равен 5. Следовательно, старший коэффициент равен 5.
• Член без переменной $x$ равен -11. Следовательно, свободный член равен -11.
Ответ: Старший коэффициент — это коэффициент при старшем члене многочлена ($a_n$), а свободный член — это член без переменной ($a_0$). В многочлене $5x^4 - 2x^3 + 7x - 11$ старший коэффициент — 5, свободный член — -11.

3. Какое число называется корнем многочлена? Приведите пример.
Корнем многочлена $P(x)$ называется такое число $c$, при подстановке которого вместо переменной $x$ значение многочлена обращается в ноль, то есть $P(c) = 0$.

Пример.
Рассмотрим многочлен $P(x) = x^2 - 5x + 6$.
Проверим, является ли число 2 корнем этого многочлена:
$P(2) = 2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$.
Так как $P(2) = 0$, число 2 является корнем многочлена.
Проверим число 1:
$P(1) = 1^2 - 5 \cdot 1 + 6 = 1 - 5 + 6 = 2$.
Так как $P(1) \neq 0$, число 1 не является корнем многочлена.
Ответ: Корнем многочлена $P(x)$ называется число $c$, для которого выполняется равенство $P(c)=0$. Например, число 2 является корнем многочлена $x^2 - 5x + 6$.

4. На примере покажите деление многочлена на многочлен «уголком».
Деление многочлена на многочлен «уголком» (или столбиком) — это алгоритм, аналогичный делению чисел столбиком. Покажем на примере деления многочлена $A(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ на многочлен $B(x) = x - 2$.

В результате деления мы получили неполное частное $Q(x) = 2x^2 + x + 6$ и остаток $R(x) = 7$.
Ответ: Пример деления многочлена $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ на $x - 2$ показан на рисунке выше.

5. Что называется неполным частным и остатком при делении многочлена на многочлен? Приведите пример.
При делении многочлена $A(x)$ (делимое) на ненулевой многочлен $B(x)$ (делитель) результатом являются два многочлена: неполное частное $Q(x)$ и остаток $R(x)$, такие что выполняется равенство:
$A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$
При этом степень остатка $R(x)$ строго меньше степени делителя $B(x)$, либо $R(x)$ является нулевым многочленом.

Пример.
Используем результат из предыдущего пункта. При делении $A(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ на $B(x) = x - 2$ мы получили:
• неполное частное $Q(x) = 2x^2 + x + 6$
• остаток $R(x) = 7$
Равенство выглядит так: $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 = (x - 2)(2x^2 + x + 6) + 7$.
Степень остатка $R(x)=7$ равна 0, что меньше степени делителя $B(x)=x-2$, равной 1.
Ответ: Неполное частное $Q(x)$ и остаток $R(x)$ — это многочлены, удовлетворяющие равенству $A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$, где степень $R(x)$ меньше степени $B(x)$. В примере выше $Q(x)=2x^2+x+6$, $R(x)=7$.

6. Какой должна быть степень остатка?
При делении многочлена $A(x)$ на многочлен $B(x)$ степень остатка $R(x)$ всегда должна быть строго меньше степени делителя $B(x)$.
Если обозначить степень многочлена $P(x)$ как $deg(P)$, то условие записывается в виде:
$deg(R(x)) < deg(B(x))$
Если остаток равен нулю ($R(x) = 0$), его степень условно считают равной $-\infty$, что также удовлетворяет этому условию, так как степень любого ненулевого многочлена больше $-\infty$.
Ответ: Степень остатка должна быть строго меньше степени делителя.

7. При каких условиях один многочлен делится на второй без остатка? Приведите пример.
Один многочлен $A(x)$ делится на второй многочлен $B(x)$ без остатка (или нацело), если остаток от деления равен нулю, то есть $R(x) = 0$. В этом случае равенство принимает вид:
$A(x) = B(x) \cdot Q(x)$
Важным следствием является теорема Безу: многочлен $P(x)$ делится на двучлен $(x - c)$ без остатка тогда и только тогда, когда число $c$ является корнем многочлена $P(x)$, то есть $P(c) = 0$.

Пример.
Проверим, делится ли многочлен $A(x) = x^3 - 7x + 6$ на $B(x) = x - 2$ без остатка.
Для этого найдем корень делителя: $x - 2 = 0 \implies x = 2$.
Подставим это значение в многочлен $A(x)$:
$A(2) = 2^3 - 7 \cdot 2 + 6 = 8 - 14 + 6 = 0$.
Поскольку $A(2) = 0$, многочлен $A(x)$ делится на $B(x)$ без остатка.
Выполнив деление, получим: $(x^3 - 7x + 6) : (x-2) = x^2 + 2x - 3$. Остаток равен 0.
Ответ: Один многочлен делится на второй без остатка, если остаток от их деления равен нулю. Например, $x^3 - 7x + 6$ делится на $x - 2$ без остатка, так как $A(2)=0$.

8. Как можно определить целый корень многочлена с целыми коэффициентами? Приведите пример.
Для нахождения целых корней многочлена с целыми коэффициентами используется теорема о целых корнях, которая является следствием теоремы о рациональных корнях.
Теорема гласит: если многочлен $P(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$ с целыми коэффициентами имеет целый корень $c$, то этот корень является делителем свободного члена $a_0$.

Таким образом, для поиска целых корней нужно:
1. Найти все целые делители свободного члена $a_0$.
2. Проверить каждый из этих делителей, подставляя его в многочлен. Те числа, при подстановке которых многочлен обращается в ноль, и являются его целыми корнями.

Пример.
Найдем целые корни многочлена $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$.
1. Свободный член $a_0 = 6$. Его целые делители: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
2. Проверяем делители:
• $P(1) = 1 - 4 + 1 + 6 = 4 \neq 0$
• $P(-1) = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$. Значит, $x = -1$ — корень.
• $P(2) = 8 - 16 + 2 + 6 = 0$. Значит, $x = 2$ — корень.
• $P(3) = 27 - 36 + 3 + 6 = 0$. Значит, $x = 3$ — корень.
• $P(-2) = -8 - 16 - 2 + 6 = -20 \neq 0$
• $P(6) = 216 - 144 + 6 + 6 = 84 \neq 0$
• $P(-6) = -216 - 144 - 6 + 6 = -360 \neq 0$

Ответ: Целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена. В примере $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ целыми корнями являются числа -1, 2 и 3, которые все являются делителями свободного члена 6.

5.16. Укажите степень, старший коэффициент и свободный член многочлена:

1) $x^4 + x^3 - 4x^2 + x - 7;$

2) $2x^4 - 8x^2 - 8x;$

3) $(x^2 + 4x)(x^2 - x - 1);$

4) $(x^2 + 5x)(x^2 + x - 3);$

5) $(3x + 4)(x^4 - x^2 - 1);$

6) $(x - 1)(x^2 + 1)(4x + 3).$

1) $x^4 + x^3 - 4x^2 + x - 7$

Многочлен представлен в стандартном виде, то есть его члены упорядочены по убыванию степеней переменной.
Степень многочлена – это наибольшая степень переменной в его членах. В данном случае это 4.
Старший коэффициент – это коэффициент при члене с наибольшей степенью. Для члена $x^4$ коэффициент равен 1.
Свободный член – это член многочлена, который не содержит переменной. В данном случае это -7.

Ответ: степень 4, старший коэффициент 1, свободный член -7.

2) $2x^4 - 8x^2 - 8x$

Многочлен представлен в стандартном виде.
Степень многочлена – это наибольшая степень переменной, здесь она равна 4.
Старший коэффициент – это коэффициент при члене $2x^4$, он равен 2.
Свободный член – это член без переменной. В данном многочлене он отсутствует, что эквивалентно тому, что он равен 0.

Ответ: степень 4, старший коэффициент 2, свободный член 0.

3) $(x^2 + 4x)(x^2 - x - 1)$

Многочлен представлен в виде произведения двух многочленов. Для нахождения его характеристик не обязательно раскрывать скобки.
Степень многочлена равна сумме степеней многочленов-сомножителей. Степень первого множителя $(x^2 + 4x)$ равна 2, степень второго $(x^2 - x - 1)$ равна 2. Таким образом, степень итогового многочлена равна $2 + 2 = 4$.
Старший коэффициент равен произведению старших коэффициентов сомножителей. Старший коэффициент $(x^2 + 4x)$ равен 1, старший коэффициент $(x^2 - x - 1)$ равен 1. Итоговый старший коэффициент: $1 \cdot 1 = 1$.
Свободный член равен произведению свободных членов сомножителей. Свободный член $(x^2 + 4x)$ равен 0, а свободный член $(x^2 - x - 1)$ равен -1. Итоговый свободный член: $0 \cdot (-1) = 0$.

Ответ: степень 4, старший коэффициент 1, свободный член 0.

4) $(x^2 + 5x)(x^2 + x - 3)$

Многочлен представлен в виде произведения двух многочленов.
Степень многочлена равна сумме степеней сомножителей. Степень $(x^2 + 5x)$ равна 2, степень $(x^2 + x - 3)$ равна 2. Итоговая степень: $2 + 2 = 4$.
Старший коэффициент равен произведению старших коэффициентов сомножителей. У $(x^2 + 5x)$ он равен 1, у $(x^2 + x - 3)$ он равен 1. Итоговый старший коэффициент: $1 \cdot 1 = 1$.
Свободный член равен произведению свободных членов сомножителей. У $(x^2 + 5x)$ он равен 0, у $(x^2 + x - 3)$ он равен -3. Итоговый свободный член: $0 \cdot (-3) = 0$.

Ответ: степень 4, старший коэффициент 1, свободный член 0.

5) $(3x + 4)(x^4 - x^2 - 1)$

Многочлен представлен в виде произведения двух многочленов.
Степень многочлена равна сумме степеней сомножителей. Степень $(3x + 4)$ равна 1, степень $(x^4 - x^2 - 1)$ равна 4. Итоговая степень: $1 + 4 = 5$.
Старший коэффициент равен произведению старших коэффициентов сомножителей. У $(3x + 4)$ он равен 3, у $(x^4 - x^2 - 1)$ он равен 1. Итоговый старший коэффициент: $3 \cdot 1 = 3$.
Свободный член равен произведению свободных членов сомножителей. У $(3x + 4)$ он равен 4, у $(x^4 - x^2 - 1)$ он равен -1. Итоговый свободный член: $4 \cdot (-1) = -4$.

Ответ: степень 5, старший коэффициент 3, свободный член -4.

6) $(x - 1)(x^2 + 1)(4x + 3)$

Многочлен представлен в виде произведения трех многочленов.
Степень многочлена равна сумме степеней сомножителей. Степени множителей равны 1, 2 и 1 соответственно. Итоговая степень: $1 + 2 + 1 = 4$.
Старший коэффициент равен произведению старших коэффициентов сомножителей. Коэффициенты равны 1, 1 и 4. Итоговый старший коэффициент: $1 \cdot 1 \cdot 4 = 4$.
Свободный член равен произведению свободных членов сомножителей. Свободные члены равны -1, 1 и 3. Итоговый свободный член: $(-1) \cdot 1 \cdot 3 = -3$.

Ответ: степень 4, старший коэффициент 4, свободный член -3.

5.17. Разделите с остатком:

1) $(x^4 + x^2 + 1) : (x + 5);$

2) $(x^5 - 6x^3 + 2x^2 - 4) : (x^2 - x + 1);$

3) $(x^7 - 1) : (x^2 + x + 1);$

4) $(x^6 - 1) : (x - 3).$

1) Чтобы разделить многочлен $(x^4 + x^2 + 1)$ на $(x + 5)$, выполним деление столбиком. Для удобства в делимом $x^4 + x^2 + 1$ запишем недостающие степени переменной с нулевыми коэффициентами: $x^4 + 0x^3 + x^2 + 0x + 1$.

1. Делим старший член делимого ($x^4$) на старший член делителя ($x$), получаем $x^3$. Это первый член частного.

2. Умножаем делитель $(x+5)$ на $x^3$: $x^3(x+5) = x^4 + 5x^3$.

3. Вычитаем полученное выражение из делимого: $(x^4 + 0x^3 + x^2 + 1) - (x^4 + 5x^3) = -5x^3 + x^2 + 1$.

4. Делим старший член нового остатка ($-5x^3$) на $x$, получаем $-5x^2$. Это второй член частного.

5. Умножаем делитель $(x+5)$ на $-5x^2$: $-5x^2(x+5) = -5x^3 - 25x^2$.

6. Вычитаем из предыдущего остатка: $(-5x^3 + x^2 + 1) - (-5x^3 - 25x^2) = 26x^2 + 1$.

7. Делим старший член нового остатка ($26x^2$) на $x$, получаем $26x$. Это третий член частного.

8. Умножаем делитель $(x+5)$ на $26x$: $26x(x+5) = 26x^2 + 130x$.

9. Вычитаем: $(26x^2 + 1) - (26x^2 + 130x) = -130x + 1$.

10. Делим старший член нового остатка ($-130x$) на $x$, получаем $-130$. Это четвертый член частного.

11. Умножаем делитель $(x+5)$ на $-130$: $-130(x+5) = -130x - 650$.

12. Вычитаем: $(-130x + 1) - (-130x - 650) = 651$.

Степень остатка $651$ (степень 0) меньше степени делителя $x+5$ (степень 1), поэтому деление завершено. Неполное частное равно $x^3 - 5x^2 + 26x - 130$, а остаток равен $651$.

Ответ: $x^4 + x^2 + 1 = (x+5)(x^3 - 5x^2 + 26x - 130) + 651$.

2) Разделим многочлен $(x^5 - 6x^3 + 2x^2 - 4)$ на $(x^2 - x + 1)$. Запишем делимое, добавив недостающие степени с нулевыми коэффициентами: $x^5 + 0x^4 - 6x^3 + 2x^2 + 0x - 4$.

1. Делим $x^5$ на $x^2$, получаем $x^3$. Вычитаем $x^3(x^2 - x + 1) = x^5 - x^4 + x^3$ из делимого. Остаток: $(x^5 + 0x^4 - 6x^3 + ...) - (x^5 - x^4 + x^3) = x^4 - 7x^3 + 2x^2 - 4$.

2. Делим $x^4$ на $x^2$, получаем $x^2$. Вычитаем $x^2(x^2 - x + 1) = x^4 - x^3 + x^2$ из текущего остатка. Новый остаток: $(x^4 - 7x^3 + 2x^2 + ...) - (x^4 - x^3 + x^2) = -6x^3 + x^2 + 0x - 4$.

3. Делим $-6x^3$ на $x^2$, получаем $-6x$. Вычитаем $-6x(x^2 - x + 1) = -6x^3 + 6x^2 - 6x$. Новый остаток: $(-6x^3 + x^2 + 0x - ...) - (-6x^3 + 6x^2 - 6x) = -5x^2 + 6x - 4$.

4. Делим $-5x^2$ на $x^2$, получаем $-5$. Вычитаем $-5(x^2 - x + 1) = -5x^2 + 5x - 5$. Новый остаток: $(-5x^2 + 6x - 4) - (-5x^2 + 5x - 5) = x + 1$.

Степень остатка $x+1$ (степень 1) меньше степени делителя $x^2 - x + 1$ (степень 2), поэтому деление завершено. Неполное частное равно $x^3 + x^2 - 6x - 5$, а остаток равен $x + 1$.

Ответ: $x^5 - 6x^3 + 2x^2 - 4 = (x^2 - x + 1)(x^3 + x^2 - 6x - 5) + (x + 1)$.

3) Разделим многочлен $(x^7 - 1)$ на $(x^2 + x + 1)$.

1. Делим $x^7$ на $x^2$, получаем $x^5$. Вычитаем $x^5(x^2+x+1) = x^7+x^6+x^5$. Остаток: $(x^7-1) - (x^7+x^6+x^5) = -x^6-x^5-1$.

2. Делим $-x^6$ на $x^2$, получаем $-x^4$. Вычитаем $-x^4(x^2+x+1) = -x^6-x^5-x^4$. Остаток: $(-x^6-x^5-1) - (-x^6-x^5-x^4) = x^4-1$.

3. Делим $x^4$ на $x^2$, получаем $x^2$. Вычитаем $x^2(x^2+x+1) = x^4+x^3+x^2$. Остаток: $(x^4-1) - (x^4+x^3+x^2) = -x^3-x^2-1$.

4. Делим $-x^3$ на $x^2$, получаем $-x$. Вычитаем $-x(x^2+x+1) = -x^3-x^2-x$. Остаток: $(-x^3-x^2-1) - (-x^3-x^2-x) = x-1$.

Степень остатка $x-1$ (степень 1) меньше степени делителя $x^2+x+1$ (степень 2), деление завершено. Неполное частное равно $x^5 - x^4 + x^2 - x$, а остаток равен $x-1$.

Замечание: можно заметить, что $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$. Отсюда $x^3 \equiv 1 \pmod{x^2+x+1}$. Тогда $x^7-1 = x \cdot (x^3)^2 - 1 \equiv x \cdot (1)^2 - 1 = x-1 \pmod{x^2+x+1}$. Это позволяет найти остаток без полного деления.

Ответ: $x^7 - 1 = (x^2 + x + 1)(x^5 - x^4 + x^2 - x) + (x - 1)$.

4) Разделим многочлен $(x^6 - 1)$ на $(x - 3)$.

Можно использовать деление столбиком, но быстрее найти остаток по теореме Безу. Согласно этой теореме, остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x-a)$ равен $P(a)$.

В нашем случае $P(x) = x^6 - 1$ и $a=3$.

Остаток равен $P(3) = 3^6 - 1 = 729 - 1 = 728$.

Теперь найдем неполное частное. Это можно сделать с помощью схемы Горнера или деления столбиком. Применим деление столбиком:

1. $x^6 / x = x^5$. Вычитаем $x^5(x-3)=x^6-3x^5$. Остаток: $3x^5-1$.

2. $3x^5 / x = 3x^4$. Вычитаем $3x^4(x-3)=3x^5-9x^4$. Остаток: $9x^4-1$.

3. $9x^4 / x = 9x^3$. Вычитаем $9x^3(x-3)=9x^4-27x^3$. Остаток: $27x^3-1$.

4. $27x^3 / x = 27x^2$. Вычитаем $27x^2(x-3)=27x^3-81x^2$. Остаток: $81x^2-1$.

5. $81x^2 / x = 81x$. Вычитаем $81x(x-3)=81x^2-243x$. Остаток: $243x-1$.

6. $243x / x = 243$. Вычитаем $243(x-3)=243x-729$. Остаток: $(243x-1) - (243x-729) = 728$.

Неполное частное равно $x^5 + 3x^4 + 9x^3 + 27x^2 + 81x + 243$, остаток $728$.

Ответ: $x^6 - 1 = (x - 3)(x^5 + 3x^4 + 9x^3 + 27x^2 + 81x + 243) + 728$.

5.18. Выполните действия:

1) $(4x^4 - 5x^3 + x^2) : (3x^2 - 4x + 1)$

2) $(9x^4 + 5x^2 + 1) : (3x^2 - 2x + 1)$;

3) $(2x^5 - 5x^4 - 4x + 1) : (2x^3 + x^2 - 1)$

4) $(3x^5 - x^4 - 3x + 1) : (x^2 - 5x^2 + 6x).$

1) Выполним деление многочлена $(4x^4 - 5x^3 + x^2)$ на $(3x^2 - 4x + 1)$.

Сначала попробуем упростить выражение, разложив делимое и делитель на множители.

Делимое: $4x^4 - 5x^3 + x^2 = x^2(4x^2 - 5x + 1)$.
Найдем корни квадратного трехчлена $4x^2 - 5x + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$. Корни: $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 \pm 3}{8}$. То есть, $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Таким образом, $4x^2 - 5x + 1 = 4(x-1)(x-\frac{1}{4}) = (x-1)(4x-1)$.
Значит, делимое равно $x^2(x-1)(4x-1)$.

Делитель: $3x^2 - 4x + 1$.
Найдем корни $3x^2 - 4x + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$. Корни: $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2}{6}$. То есть, $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Таким образом, $3x^2 - 4x + 1 = 3(x-1)(x-\frac{1}{3}) = (x-1)(3x-1)$.

Теперь частное можно записать в виде:
$\frac{4x^4 - 5x^3 + x^2}{3x^2 - 4x + 1} = \frac{x^2(x-1)(4x-1)}{(x-1)(3x-1)} = \frac{x^2(4x-1)}{3x-1} = \frac{4x^3 - x^2}{3x-1}$ (при условии $x \neq 1$).

Теперь выполним деление многочлена $4x^3 - x^2$ на $3x-1$ столбиком.

Таким образом, частное равно $\frac{4}{3}x^2 + \frac{1}{9}x + \frac{1}{27}$, а остаток $\frac{1}{27}$.

Ответ: $\frac{4x^3-x^2}{3x-1}$ или частное $\frac{4}{3}x^2 + \frac{1}{9}x + \frac{1}{27}$ и остаток $\frac{1}{27}$.

2) Выполним деление многочлена $(9x^4 + 5x^2 + 1)$ на $(3x^2 - 2x + 1)$ столбиком. В делимом отсутствуют члены с $x^3$ и $x$, для удобства записи вставим их с нулевыми коэффициентами: $9x^4 + 0x^3 + 5x^2 + 0x + 1$.

Ответ: частное $3x^2 + 2x + 2$, остаток $2x - 1$.

3) Выполним деление многочлена $(2x^5 - 5x^4 - 4x + 1)$ на $(2x^3 + x^2 - 1)$. Добавим недостающие члены с нулевыми коэффициентами.

Ответ: частное $x^2 - 3x + \frac{3}{2}$, остаток $-\frac{1}{2}x^2 - 7x + \frac{5}{2}$.

4) Выполним деление многочлена $(3x^5 - x^4 - 3x + 1)$ на $(x^2 - 5x^2 + 6x)$.

Заметим, что в делителе $x^2 - 5x^2 + 6x$ можно привести подобные слагаемые: $x^2 - 5x^2 + 6x = -4x^2 + 6x$.
Таким образом, задача сводится к делению $(3x^5 - x^4 - 3x + 1)$ на $(-4x^2 + 6x)$.

Ответ: частное $-\frac{3}{4}x^3 - \frac{7}{8}x^2 - \frac{21}{16}x - \frac{63}{32}$, остаток $\frac{141}{16}x + 1$.

5.19. Найдите целые корни многочлена:

1) $x^2 - 4x + 3;$

2) $x^2 + 3x - 4;$

3) $x^2 + 3x - 10;$

4) $x^2 + 5x - 6;$

5) $3x^2 - 2x - 21;$

6) $2x^2 + x - 21.$

1) Чтобы найти целые корни многочлена $x^2 - 4x + 3$, приравняем его к нулю: $x^2 - 4x + 3 = 0$.
Согласно теореме о рациональных корнях, если у многочлена с целыми коэффициентами есть целые корни, то они являются делителями его свободного члена.
Свободный член равен 3. Его целые делители: $\pm 1, \pm 3$.
Проверим эти значения подстановкой в уравнение:
- При $x = 1$: $1^2 - 4(1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$. Следовательно, $x=1$ является корнем.
- При $x = -1$: $(-1)^2 - 4(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8 \neq 0$.
- При $x = 3$: $3^2 - 4(3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$. Следовательно, $x=3$ является корнем.
- При $x = -3$: $(-3)^2 - 4(-3) + 3 = 9 + 12 + 3 = 24 \neq 0$.
Поскольку квадратное уравнение имеет не более двух корней, мы нашли все целые корни.
Ответ: 1; 3.

2) Для многочлена $x^2 + 3x - 4$ ищем корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$.
Свободный член равен -4. Его целые делители: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.
Проверим эти значения:
- При $x = 1$: $1^2 + 3(1) - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$. Следовательно, $x=1$ является корнем.
- При $x = -1$: $(-1)^2 + 3(-1) - 4 = 1 - 3 - 4 = -6 \neq 0$.
- При $x = 2$: $2^2 + 3(2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 \neq 0$.
- При $x = -2$: $(-2)^2 + 3(-2) - 4 = 4 - 6 - 4 = -6 \neq 0$.
- При $x = 4$: $4^2 + 3(4) - 4 = 16 + 12 - 4 = 24 \neq 0$.
- При $x = -4$: $(-4)^2 + 3(-4) - 4 = 16 - 12 - 4 = 0$. Следовательно, $x=-4$ является корнем.
Целыми корнями многочлена являются 1 и -4.
Ответ: -4; 1.

3) Для многочлена $x^2 + 3x - 10$ ищем корни уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$.
Свободный член равен -10. Его целые делители: $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$.
Проверим эти значения:
- При $x = 1$: $1^2 + 3(1) - 10 = 1 + 3 - 10 = -6 \neq 0$.
- При $x = -1$: $(-1)^2 + 3(-1) - 10 = 1 - 3 - 10 = -12 \neq 0$.
- При $x = 2$: $2^2 + 3(2) - 10 = 4 + 6 - 10 = 0$. Следовательно, $x=2$ является корнем.
- При $x = -5$: $(-5)^2 + 3(-5) - 10 = 25 - 15 - 10 = 0$. Следовательно, $x=-5$ является корнем.
Мы нашли два корня, поэтому дальнейшая проверка не требуется.
Целыми корнями многочлена являются 2 и -5.
Ответ: -5; 2.

4) Для многочлена $x^2 + 5x - 6$ ищем корни уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$.
Свободный член равен -6. Его целые делители: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
Проверим эти значения:
- При $x = 1$: $1^2 + 5(1) - 6 = 1 + 5 - 6 = 0$. Следовательно, $x=1$ является корнем.
- При $x = -6$: $(-6)^2 + 5(-6) - 6 = 36 - 30 - 6 = 0$. Следовательно, $x=-6$ является корнем.
Целыми корнями многочлена являются 1 и -6.
Ответ: -6; 1.

5) Для многочлена $3x^2 - 2x - 21$ ищем корни уравнения $3x^2 - 2x - 21 = 0$.
Целые корни этого многочлена должны быть делителями свободного члена, равного -21.
Целые делители числа -21: $\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$.
Проверим эти значения:
- При $x = 3$: $3(3)^2 - 2(3) - 21 = 3 \cdot 9 - 6 - 21 = 27 - 6 - 21 = 0$. Следовательно, $x=3$ является корнем.
Чтобы найти второй корень, решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(3)(-21) = 4 + 252 = 256 = 16^2$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 16}{2 \cdot 3}$.
$x_1 = \frac{2 + 16}{6} = \frac{18}{6} = 3$.
$x_2 = \frac{2 - 16}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$.
Второй корень $x_2 = -\frac{7}{3}$ не является целым числом.
Следовательно, у многочлена только один целый корень.
Ответ: 3.

6) Для многочлена $2x^2 + x - 21$ ищем корни уравнения $2x^2 + x - 21 = 0$.
Целые корни этого многочлена должны быть делителями свободного члена, равного -21.
Целые делители числа -21: $\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$.
Проверим эти значения:
- При $x = 3$: $2(3)^2 + 3 - 21 = 2 \cdot 9 + 3 - 21 = 18 + 3 - 21 = 0$. Следовательно, $x=3$ является корнем.
Чтобы найти второй корень, решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-21) = 1 + 168 = 169 = 13^2$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 13}{2 \cdot 2}$.
$x_1 = \frac{-1 + 13}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
$x_2 = \frac{-1 - 13}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2}$.
Второй корень $x_2 = -\frac{7}{2}$ не является целым числом.
Следовательно, у многочлена только один целый корень.
Ответ: 3.

5.20. Разложите на множители:

1) $x^2 - 6x - 16;$

2) $x^2 + 12x + 20;$

3) $x^2 - 3x - 10;

4) $x^2 + 4x + 3;$

5) $2x^2 - 9x + 10;$

6) $x^2 + 2x - 80.$

1) Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $x^2 - 6x - 16$, воспользуемся формулой разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Сначала решим уравнение $x^2 - 6x - 16 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-6$, $c=-16$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Теперь подставим найденные корни в формулу разложения:

$x^2 - 6x - 16 = 1 \cdot (x - 8)(x - (-2)) = (x - 8)(x + 2)$.

Ответ: $(x - 8)(x + 2)$.

2) Разложим на множители трехчлен $x^2 + 12x + 20$. Для этого найдем корни уравнения $x^2 + 12x + 20 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=12$, $c=20$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 144 - 80 = 64$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-12 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 + 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

$x_2 = \frac{-12 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 - 8}{2} = \frac{-20}{2} = -10$.

Подставим корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$x^2 + 12x + 20 = 1 \cdot (x - (-2))(x - (-10)) = (x + 2)(x + 10)$.

Ответ: $(x + 2)(x + 10)$.

3) Разложим на множители трехчлен $x^2 - 3x - 10$. Для этого решим уравнение $x^2 - 3x - 10 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-3$, $c=-10$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Подставим корни в формулу разложения:

$x^2 - 3x - 10 = 1 \cdot (x - 5)(x - (-2)) = (x - 5)(x + 2)$.

Ответ: $(x - 5)(x + 2)$.

4) Разложим на множители трехчлен $x^2 + 4x + 3$. Найдем корни уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=4$, $c=3$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Подставим корни в формулу разложения:

$x^2 + 4x + 3 = 1 \cdot (x - (-1))(x - (-3)) = (x + 1)(x + 3)$.

Ответ: $(x + 1)(x + 3)$.

5) Разложим на множители трехчлен $2x^2 - 9x + 10$. Найдем корни уравнения $2x^2 - 9x + 10 = 0$.

Коэффициенты: $a=2$, $b=-9$, $c=10$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 81 - 80 = 1$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.

$x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Подставим коэффициент $a$ и корни в формулу разложения:

$2x^2 - 9x + 10 = 2(x - \frac{5}{2})(x - 2)$.

Для удобства внесем множитель 2 в первую скобку: $2(x - \frac{5}{2}) = 2x - 2 \cdot \frac{5}{2} = 2x - 5$.

Таким образом, разложение имеет вид: $(2x - 5)(x - 2)$.

Ответ: $(2x - 5)(x - 2)$.

6) Разложим на множители трехчлен $x^2 + 2x - 80$. Решим уравнение $x^2 + 2x - 80 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=2$, $c=-80$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324$.

Так как $\sqrt{324} = 18$, найдем корни:

$x_1 = \frac{-2 + 18}{2 \cdot 1} = \frac{16}{2} = 8$.

$x_2 = \frac{-2 - 18}{2 \cdot 1} = \frac{-20}{2} = -10$.

Подставим корни в формулу разложения:

$x^2 + 2x - 80 = 1 \cdot (x - 8)(x - (-10)) = (x - 8)(x + 10)$.

Ответ: $(x - 8)(x + 10)$.

5.21. Разложите на множители:

1) $x^4 - 16$;

2) $x^6 - 64$;

3) $x^4 + x - 2$;

4) $y^3 + 3y + 4$.

1) Исходное выражение $x^4 - 16$ является разностью квадратов. Представим его в виде $(x^2)^2 - 4^2$. Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$.

Выражение $x^2 - 4$ также является разностью квадратов: $x^2 - 2^2$. Снова применяем ту же формулу:

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

Выражение $x^2 + 4$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами. Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид:

$(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$.

Ответ: $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$.

2) Выражение $x^6 - 64$ можно разложить как разность квадратов, представив его как $(x^3)^2 - 8^2$. Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(x^3)^2 - 8^2 = (x^3 - 8)(x^3 + 8)$.

Полученное выражение является произведением разности кубов $x^3 - 8 = x^3 - 2^3$ и суммы кубов $x^3 + 8 = x^3 + 2^3$.

Применяем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + x \cdot 2 + 2^2) = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.

Применяем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:

$x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - x \cdot 2 + 2^2) = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$.

Объединяем полученные множители:

$(x - 2)(x^2 + 2x + 4)(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$.

Ответ: $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 2x + 4)(x^2 - 2x + 4)$.

3) Для разложения многочлена $x^4 + x - 2$ на множители найдем его целые корни. Согласно теореме о рациональных корнях, целые корни должны быть делителями свободного члена (-2). Делители: $\pm 1, \pm 2$.

Проверим $x = 1$: $1^4 + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$. Следовательно, $x=1$ является корнем, а $(x - 1)$ — одним из множителей.

Чтобы найти второй множитель, используем метод группировки. Представим -2 как -1 - 1:

$x^4 + x - 2 = (x^4 - 1) + (x - 1)$.

Раскладываем $(x^4 - 1)$ как разность квадратов: $(x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$.

Подставляем обратно в выражение:

$(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) + (x - 1)$.

Выносим общий множитель $(x - 1)$ за скобки:

$(x - 1) [ (x + 1)(x^2 + 1) + 1 ]$.

Раскроем скобки и упростим выражение в квадратных скобках:

$(x - 1) [ x^3 + x + x^2 + 1 + 1 ] = (x - 1)(x^3 + x^2 + x + 2)$.

Многочлен $x^3 + x^2 + x + 2$ не имеет рациональных корней, поэтому дальнейшее разложение не производится.

Ответ: $(x - 1)(x^3 + x^2 + x + 2)$.

4) Для разложения многочлена $y^3 + 3y + 4$ найдем его целые корни среди делителей свободного члена 4. Делители: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.

Проверим $y = -1$: $(-1)^3 + 3(-1) + 4 = -1 - 3 + 4 = 0$. Следовательно, $y = -1$ — корень, а $(y + 1)$ — множитель.

Для нахождения второго множителя применим метод группировки. Перепишем многочлен, представив 4 как 1 + 3:

$y^3 + 3y + 4 = y^3 + 1 + 3y + 3 = (y^3 + 1) + (3y + 3)$.

Первое слагаемое $y^3 + 1$ — это сумма кубов. По формуле $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ получаем:

$y^3 + 1^3 = (y + 1)(y^2 - y + 1)$.

Во втором слагаемом выносим 3 за скобки: $3y + 3 = 3(y + 1)$.

Подставляем обратно:

$(y + 1)(y^2 - y + 1) + 3(y + 1)$.

Выносим общий множитель $(y + 1)$:

$(y + 1) [ (y^2 - y + 1) + 3 ] = (y + 1)(y^2 - y + 4)$.

Проверим, можно ли разложить квадратный трехчлен $y^2 - y + 4$. Его дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$.

Так как $D < 0$, трехчлен не имеет действительных корней и не раскладывается на множители.

Ответ: $(y + 1)(y^2 - y + 4)$.

5.22. Делится ли многочлен $x^5 + 3x^4 + 4x^3 - 2x^2 - 5x - 5$ на трехчлен $x^2 - 3x + 2$ без остатка?

Для того чтобы определить, делится ли многочлен $P(x) = x^5 + 3x^4 + 4x^3 - 2x^2 - 5x - 5$ на трехчлен $D(x) = x^2 - 3x + 2$ без остатка, можно использовать следствие из теоремы Безу. Согласно этому следствию, если многочлен $P(x)$ делится на многочлен $D(x)$ нацело, то все корни многочлена $D(x)$ должны быть также корнями многочлена $P(x)$.

Сначала найдем корни трехчлена $D(x) = x^2 - 3x + 2$, решив квадратное уравнение:

$x^2 - 3x + 2 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $3$, а их произведение равно $2$. Отсюда легко находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Теперь необходимо проверить, являются ли эти значения корнями многочлена $P(x)$. Для этого значение многочлена $P(x)$ в этих точках должно быть равно нулю. Проверим для $x = 1$:

$P(1) = 1^5 + 3 \cdot 1^4 + 4 \cdot 1^3 - 2 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 - 5$

$P(1) = 1 + 3 + 4 - 2 - 5 - 5$

$P(1) = 8 - 12 = -4$

Так как $P(1) = -4$, что не равно нулю, то $x = 1$ не является корнем многочлена $P(x)$. Поскольку один из корней делителя не является корнем делимого, деление без остатка невозможно. Проверять второй корень ($x=2$) уже не обязательно.

Следовательно, многочлен $x^5 + 3x^4 + 4x^3 - 2x^2 - 5x - 5$ не делится на трехчлен $x^2 - 3x + 2$ без остатка.

Ответ: Нет, не делится.

5.23. Выполните деление с остатком:

1) $(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1) : (x^3 - 1);$

2) $(x^2 - 1)(x^3 + x + 1) : (x^2 + x + 1);$

3) $(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) : (x^3 + x^2 + x + 1);$

4) $(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) : (x - 2)(x - 1)x.$

1) Сначала упростим делимое $P(x) = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$. Заметим, что это выражение можно представить как произведение разности и суммы: $P(x) = ((x^2 + 1) - x)((x^2 + 1) + x)$. По формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ получаем: $P(x) = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2 = x^4 + x^2 + 1$.Делитель равен $Q(x) = x^3 - 1$.Теперь выполним деление многочлена $P(x)$ на $Q(x)$. Можно представить $P(x)$ через $Q(x)$ путем выделения старшего члена:$x^4 + x^2 + 1 = x \cdot x^3 + x^2 + 1$.Чтобы выделить делитель $x^3 - 1$, прибавим и вычтем $x$:$x \cdot x^3 + x^2 + 1 = x(x^3 - 1) + x + x^2 + 1$.Перегруппируем слагаемые, чтобы получить стандартный вид деления с остатком $P(x) = D(x)Q(x) + R(x)$:$P(x) = x \cdot (x^3 - 1) + (x^2 + x + 1)$.Отсюда видно, что при делении $P(x) = x^4 + x^2 + 1$ на $Q(x) = x^3 - 1$ частное $D(x)$ равно $x$, а остаток $R(x)$ равен $x^2 + x + 1$. Степень остатка (2) меньше степени делителя (3), так что деление завершено.
Ответ: частное $x$, остаток $x^2 + x + 1$.

2) Требуется выполнить деление $P(x) = (x^2 - 1)(x^3 + x + 1)$ на $Q(x) = x^2 + x + 1$.Для нахождения остатка воспользуемся сравнениями по модулю многочлена $Q(x)$. Это означает, что мы работаем с условием $x^2 + x + 1 = 0$, или $x^2 \equiv -x - 1$.Из этого соотношения также следует, что $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) \equiv 0$, то есть $x^3 \equiv 1$.Теперь преобразуем делимое $P(x)$, заменяя $x^2$ и $x^3$ их эквивалентами по модулю $Q(x)$:$P(x) = (x^2 - 1)(x^3 + x + 1) \equiv ((-x - 1) - 1)(1 + x + 1) \pmod{x^2+x+1}$.$P(x) \equiv (-x - 2)(x + 2) = -(x+2)^2 = -(x^2 + 4x + 4)$.Снова заменим $x^2 \equiv -x - 1$:$P(x) \equiv -((-x - 1) + 4x + 4) = -(3x + 3) = -3x - 3$.Таким образом, остаток от деления $R(x) = -3x - 3$.Чтобы найти частное $D(x)$, воспользуемся формулой $P(x) = D(x)Q(x) + R(x)$, откуда $D(x) = \frac{P(x) - R(x)}{Q(x)}$.Раскроем скобки в $P(x)$: $P(x) = x^2(x^3+x+1) - 1(x^3+x+1) = x^5 + x^3 + x^2 - x^3 - x - 1 = x^5 + x^2 - x - 1$.Найдем $P(x) - R(x)$:$P(x) - R(x) = (x^5 + x^2 - x - 1) - (-3x - 3) = x^5 + x^2 + 2x + 2$.Разделив $x^5 + x^2 + 2x + 2$ на $x^2 + x + 1$ (например, столбиком), получим частное $D(x) = x^3 - x^2 + 2$.Проверка: $(x^3 - x^2 + 2)(x^2+x+1) = x^5 + x^4 + x^3 - x^4 - x^3 - x^2 + 2x^2 + 2x + 2 = x^5 + x^2 + 2x + 2$. Это равно $P(x) - R(x)$.
Ответ: частное $x^3 - x^2 + 2$, остаток $-3x - 3$.

3) Требуется разделить $P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$ на $Q(x) = x^3 + x^2 + x + 1$.Сначала преобразуем делимое $P(x)$, сгруппировав множители:$P(x) = [(x - 1)(x - 4)] \cdot [(x - 2)(x - 3)] = (x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6)$.Сделаем замену $y = x^2 - 5x$. Тогда $P(x)$ примет вид:$P(y) = (y + 4)(y + 6) = y^2 + 10y + 24$.Подставим обратно $y = x^2 - 5x$:$P(x) = (x^2 - 5x)^2 + 10(x^2 - 5x) + 24 = (x^4 - 10x^3 + 25x^2) + (10x^2 - 50x) + 24 = x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$.Теперь выполним деление $P(x)$ на $Q(x) = x^3 + x^2 + x + 1$ с помощью деления столбиком или алгебраических преобразований:$P(x) = x(x^3+x^2+x+1) -x^4 -x^3 -x + x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24 = x(Q(x)) - 11x^3 + 34x^2 - 51x + 24$.Теперь разделим остаток:$-11x^3 + 34x^2 - 51x + 24 = -11(x^3+x^2+x+1) + 11x^3+11x^2+11x+11 -11x^3 + 34x^2 - 51x + 24 = -11(Q(x)) + 45x^2 - 40x + 35$.Объединяя результаты, получаем:$P(x) = x \cdot Q(x) - 11 \cdot Q(x) + (45x^2 - 40x + 35) = (x - 11)Q(x) + (45x^2 - 40x + 35)$.Степень остатка $45x^2 - 40x + 35$ (равна 2) меньше степени делителя (3).
Ответ: частное $x - 11$, остаток $45x^2 - 40x + 35$.

4) Требуется разделить $P(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)$ на $Q(x) = (x - 2)(x - 1)x$.Преобразуем делимое $P(x)$, сгруппировав множители:$P(x) = [(x + 1)(x + 4)] \cdot [(x + 2)(x + 3)] = (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6)$.Сделаем замену $y = x^2 + 5x$:$P(y) = (y + 4)(y + 6) = y^2 + 10y + 24$.Подставим обратно $y = x^2 + 5x$:$P(x) = (x^2 + 5x)^2 + 10(x^2 + 5x) + 24 = (x^4 + 10x^3 + 25x^2) + (10x^2 + 50x) + 24 = x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24$.Теперь раскроем скобки в делителе $Q(x)$:$Q(x) = (x^2 - x - 2x + 2)x = (x^2 - 3x + 2)x = x^3 - 3x^2 + 2x$.Выполним деление $P(x)$ на $Q(x)$ с помощью деления столбиком или алгебраических преобразований:$P(x) = x(x^3-3x^2+2x) +3x^3-2x^2 + x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24 = x(Q(x)) + 13x^3 + 33x^2 + 50x + 24$.Теперь разделим остаток:$13x^3 + 33x^2 + 50x + 24 = 13(x^3-3x^2+2x) +39x^2-26x + 13x^3 + 33x^2 + 50x + 24 = 13(Q(x)) + 72x^2 + 24x + 24$.Объединяя результаты, получаем:$P(x) = x \cdot Q(x) + 13 \cdot Q(x) + (72x^2 + 24x + 24) = (x + 13)Q(x) + (72x^2 + 24x + 24)$.Степень остатка $72x^2 + 24x + 24$ (равна 2) меньше степени делителя (3).
Ответ: частное $x + 13$, остаток $72x^2 + 24x + 24$.