Номер 5.21, страница 143 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.21. Разложите на множители:

1) $x^4 - 16$;

2) $x^6 - 64$;

3) $x^4 + x - 2$;

4) $y^3 + 3y + 4$.

1) Исходное выражение $x^4 - 16$ является разностью квадратов. Представим его в виде $(x^2)^2 - 4^2$. Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$.

Выражение $x^2 - 4$ также является разностью квадратов: $x^2 - 2^2$. Снова применяем ту же формулу:

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

Выражение $x^2 + 4$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами. Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид:

$(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$.

Ответ: $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$.

2) Выражение $x^6 - 64$ можно разложить как разность квадратов, представив его как $(x^3)^2 - 8^2$. Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(x^3)^2 - 8^2 = (x^3 - 8)(x^3 + 8)$.

Полученное выражение является произведением разности кубов $x^3 - 8 = x^3 - 2^3$ и суммы кубов $x^3 + 8 = x^3 + 2^3$.

Применяем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + x \cdot 2 + 2^2) = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.

Применяем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:

$x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - x \cdot 2 + 2^2) = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$.

Объединяем полученные множители:

$(x - 2)(x^2 + 2x + 4)(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$.

Ответ: $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 2x + 4)(x^2 - 2x + 4)$.

3) Для разложения многочлена $x^4 + x - 2$ на множители найдем его целые корни. Согласно теореме о рациональных корнях, целые корни должны быть делителями свободного члена (-2). Делители: $\pm 1, \pm 2$.

Проверим $x = 1$: $1^4 + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$. Следовательно, $x=1$ является корнем, а $(x - 1)$ — одним из множителей.

Чтобы найти второй множитель, используем метод группировки. Представим -2 как -1 - 1:

$x^4 + x - 2 = (x^4 - 1) + (x - 1)$.

Раскладываем $(x^4 - 1)$ как разность квадратов: $(x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$.

Подставляем обратно в выражение:

$(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) + (x - 1)$.

Выносим общий множитель $(x - 1)$ за скобки:

$(x - 1) [ (x + 1)(x^2 + 1) + 1 ]$.

Раскроем скобки и упростим выражение в квадратных скобках:

$(x - 1) [ x^3 + x + x^2 + 1 + 1 ] = (x - 1)(x^3 + x^2 + x + 2)$.

Многочлен $x^3 + x^2 + x + 2$ не имеет рациональных корней, поэтому дальнейшее разложение не производится.

Ответ: $(x - 1)(x^3 + x^2 + x + 2)$.

4) Для разложения многочлена $y^3 + 3y + 4$ найдем его целые корни среди делителей свободного члена 4. Делители: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.

Проверим $y = -1$: $(-1)^3 + 3(-1) + 4 = -1 - 3 + 4 = 0$. Следовательно, $y = -1$ — корень, а $(y + 1)$ — множитель.

Для нахождения второго множителя применим метод группировки. Перепишем многочлен, представив 4 как 1 + 3:

$y^3 + 3y + 4 = y^3 + 1 + 3y + 3 = (y^3 + 1) + (3y + 3)$.

Первое слагаемое $y^3 + 1$ — это сумма кубов. По формуле $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ получаем:

$y^3 + 1^3 = (y + 1)(y^2 - y + 1)$.

Во втором слагаемом выносим 3 за скобки: $3y + 3 = 3(y + 1)$.

Подставляем обратно:

$(y + 1)(y^2 - y + 1) + 3(y + 1)$.

Выносим общий множитель $(y + 1)$:

$(y + 1) [ (y^2 - y + 1) + 3 ] = (y + 1)(y^2 - y + 4)$.

Проверим, можно ли разложить квадратный трехчлен $y^2 - y + 4$. Его дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$.

Так как $D < 0$, трехчлен не имеет действительных корней и не раскладывается на множители.

Ответ: $(y + 1)(y^2 - y + 4)$.