Номер 5.23, страница 143 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.23. Выполните деление с остатком:

1) $(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1) : (x^3 - 1);$

2) $(x^2 - 1)(x^3 + x + 1) : (x^2 + x + 1);$

3) $(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) : (x^3 + x^2 + x + 1);$

4) $(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) : (x - 2)(x - 1)x.$

1) Сначала упростим делимое $P(x) = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$. Заметим, что это выражение можно представить как произведение разности и суммы: $P(x) = ((x^2 + 1) - x)((x^2 + 1) + x)$. По формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ получаем: $P(x) = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2 = x^4 + x^2 + 1$.Делитель равен $Q(x) = x^3 - 1$.Теперь выполним деление многочлена $P(x)$ на $Q(x)$. Можно представить $P(x)$ через $Q(x)$ путем выделения старшего члена:$x^4 + x^2 + 1 = x \cdot x^3 + x^2 + 1$.Чтобы выделить делитель $x^3 - 1$, прибавим и вычтем $x$:$x \cdot x^3 + x^2 + 1 = x(x^3 - 1) + x + x^2 + 1$.Перегруппируем слагаемые, чтобы получить стандартный вид деления с остатком $P(x) = D(x)Q(x) + R(x)$:$P(x) = x \cdot (x^3 - 1) + (x^2 + x + 1)$.Отсюда видно, что при делении $P(x) = x^4 + x^2 + 1$ на $Q(x) = x^3 - 1$ частное $D(x)$ равно $x$, а остаток $R(x)$ равен $x^2 + x + 1$. Степень остатка (2) меньше степени делителя (3), так что деление завершено.
Ответ: частное $x$, остаток $x^2 + x + 1$.

2) Требуется выполнить деление $P(x) = (x^2 - 1)(x^3 + x + 1)$ на $Q(x) = x^2 + x + 1$.Для нахождения остатка воспользуемся сравнениями по модулю многочлена $Q(x)$. Это означает, что мы работаем с условием $x^2 + x + 1 = 0$, или $x^2 \equiv -x - 1$.Из этого соотношения также следует, что $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) \equiv 0$, то есть $x^3 \equiv 1$.Теперь преобразуем делимое $P(x)$, заменяя $x^2$ и $x^3$ их эквивалентами по модулю $Q(x)$:$P(x) = (x^2 - 1)(x^3 + x + 1) \equiv ((-x - 1) - 1)(1 + x + 1) \pmod{x^2+x+1}$.$P(x) \equiv (-x - 2)(x + 2) = -(x+2)^2 = -(x^2 + 4x + 4)$.Снова заменим $x^2 \equiv -x - 1$:$P(x) \equiv -((-x - 1) + 4x + 4) = -(3x + 3) = -3x - 3$.Таким образом, остаток от деления $R(x) = -3x - 3$.Чтобы найти частное $D(x)$, воспользуемся формулой $P(x) = D(x)Q(x) + R(x)$, откуда $D(x) = \frac{P(x) - R(x)}{Q(x)}$.Раскроем скобки в $P(x)$: $P(x) = x^2(x^3+x+1) - 1(x^3+x+1) = x^5 + x^3 + x^2 - x^3 - x - 1 = x^5 + x^2 - x - 1$.Найдем $P(x) - R(x)$:$P(x) - R(x) = (x^5 + x^2 - x - 1) - (-3x - 3) = x^5 + x^2 + 2x + 2$.Разделив $x^5 + x^2 + 2x + 2$ на $x^2 + x + 1$ (например, столбиком), получим частное $D(x) = x^3 - x^2 + 2$.Проверка: $(x^3 - x^2 + 2)(x^2+x+1) = x^5 + x^4 + x^3 - x^4 - x^3 - x^2 + 2x^2 + 2x + 2 = x^5 + x^2 + 2x + 2$. Это равно $P(x) - R(x)$.
Ответ: частное $x^3 - x^2 + 2$, остаток $-3x - 3$.

3) Требуется разделить $P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$ на $Q(x) = x^3 + x^2 + x + 1$.Сначала преобразуем делимое $P(x)$, сгруппировав множители:$P(x) = [(x - 1)(x - 4)] \cdot [(x - 2)(x - 3)] = (x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6)$.Сделаем замену $y = x^2 - 5x$. Тогда $P(x)$ примет вид:$P(y) = (y + 4)(y + 6) = y^2 + 10y + 24$.Подставим обратно $y = x^2 - 5x$:$P(x) = (x^2 - 5x)^2 + 10(x^2 - 5x) + 24 = (x^4 - 10x^3 + 25x^2) + (10x^2 - 50x) + 24 = x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$.Теперь выполним деление $P(x)$ на $Q(x) = x^3 + x^2 + x + 1$ с помощью деления столбиком или алгебраических преобразований:$P(x) = x(x^3+x^2+x+1) -x^4 -x^3 -x + x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24 = x(Q(x)) - 11x^3 + 34x^2 - 51x + 24$.Теперь разделим остаток:$-11x^3 + 34x^2 - 51x + 24 = -11(x^3+x^2+x+1) + 11x^3+11x^2+11x+11 -11x^3 + 34x^2 - 51x + 24 = -11(Q(x)) + 45x^2 - 40x + 35$.Объединяя результаты, получаем:$P(x) = x \cdot Q(x) - 11 \cdot Q(x) + (45x^2 - 40x + 35) = (x - 11)Q(x) + (45x^2 - 40x + 35)$.Степень остатка $45x^2 - 40x + 35$ (равна 2) меньше степени делителя (3).
Ответ: частное $x - 11$, остаток $45x^2 - 40x + 35$.

4) Требуется разделить $P(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)$ на $Q(x) = (x - 2)(x - 1)x$.Преобразуем делимое $P(x)$, сгруппировав множители:$P(x) = [(x + 1)(x + 4)] \cdot [(x + 2)(x + 3)] = (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6)$.Сделаем замену $y = x^2 + 5x$:$P(y) = (y + 4)(y + 6) = y^2 + 10y + 24$.Подставим обратно $y = x^2 + 5x$:$P(x) = (x^2 + 5x)^2 + 10(x^2 + 5x) + 24 = (x^4 + 10x^3 + 25x^2) + (10x^2 + 50x) + 24 = x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24$.Теперь раскроем скобки в делителе $Q(x)$:$Q(x) = (x^2 - x - 2x + 2)x = (x^2 - 3x + 2)x = x^3 - 3x^2 + 2x$.Выполним деление $P(x)$ на $Q(x)$ с помощью деления столбиком или алгебраических преобразований:$P(x) = x(x^3-3x^2+2x) +3x^3-2x^2 + x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24 = x(Q(x)) + 13x^3 + 33x^2 + 50x + 24$.Теперь разделим остаток:$13x^3 + 33x^2 + 50x + 24 = 13(x^3-3x^2+2x) +39x^2-26x + 13x^3 + 33x^2 + 50x + 24 = 13(Q(x)) + 72x^2 + 24x + 24$.Объединяя результаты, получаем:$P(x) = x \cdot Q(x) + 13 \cdot Q(x) + (72x^2 + 24x + 24) = (x + 13)Q(x) + (72x^2 + 24x + 24)$.Степень остатка $72x^2 + 24x + 24$ (равна 2) меньше степени делителя (3).
Ответ: частное $x + 13$, остаток $72x^2 + 24x + 24$.