Номер 5.18, страница 143 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.18. Выполните действия:

1) $(4x^4 - 5x^3 + x^2) : (3x^2 - 4x + 1)$

2) $(9x^4 + 5x^2 + 1) : (3x^2 - 2x + 1)$;

3) $(2x^5 - 5x^4 - 4x + 1) : (2x^3 + x^2 - 1)$

4) $(3x^5 - x^4 - 3x + 1) : (x^2 - 5x^2 + 6x).$

1) Выполним деление многочлена $(4x^4 - 5x^3 + x^2)$ на $(3x^2 - 4x + 1)$.

Сначала попробуем упростить выражение, разложив делимое и делитель на множители.

Делимое: $4x^4 - 5x^3 + x^2 = x^2(4x^2 - 5x + 1)$.
Найдем корни квадратного трехчлена $4x^2 - 5x + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$. Корни: $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 \pm 3}{8}$. То есть, $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Таким образом, $4x^2 - 5x + 1 = 4(x-1)(x-\frac{1}{4}) = (x-1)(4x-1)$.
Значит, делимое равно $x^2(x-1)(4x-1)$.

Делитель: $3x^2 - 4x + 1$.
Найдем корни $3x^2 - 4x + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$. Корни: $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2}{6}$. То есть, $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Таким образом, $3x^2 - 4x + 1 = 3(x-1)(x-\frac{1}{3}) = (x-1)(3x-1)$.

Теперь частное можно записать в виде:
$\frac{4x^4 - 5x^3 + x^2}{3x^2 - 4x + 1} = \frac{x^2(x-1)(4x-1)}{(x-1)(3x-1)} = \frac{x^2(4x-1)}{3x-1} = \frac{4x^3 - x^2}{3x-1}$ (при условии $x \neq 1$).

Теперь выполним деление многочлена $4x^3 - x^2$ на $3x-1$ столбиком.

Таким образом, частное равно $\frac{4}{3}x^2 + \frac{1}{9}x + \frac{1}{27}$, а остаток $\frac{1}{27}$.

Ответ: $\frac{4x^3-x^2}{3x-1}$ или частное $\frac{4}{3}x^2 + \frac{1}{9}x + \frac{1}{27}$ и остаток $\frac{1}{27}$.

2) Выполним деление многочлена $(9x^4 + 5x^2 + 1)$ на $(3x^2 - 2x + 1)$ столбиком. В делимом отсутствуют члены с $x^3$ и $x$, для удобства записи вставим их с нулевыми коэффициентами: $9x^4 + 0x^3 + 5x^2 + 0x + 1$.

Ответ: частное $3x^2 + 2x + 2$, остаток $2x - 1$.

3) Выполним деление многочлена $(2x^5 - 5x^4 - 4x + 1)$ на $(2x^3 + x^2 - 1)$. Добавим недостающие члены с нулевыми коэффициентами.

Ответ: частное $x^2 - 3x + \frac{3}{2}$, остаток $-\frac{1}{2}x^2 - 7x + \frac{5}{2}$.

4) Выполним деление многочлена $(3x^5 - x^4 - 3x + 1)$ на $(x^2 - 5x^2 + 6x)$.

Заметим, что в делителе $x^2 - 5x^2 + 6x$ можно привести подобные слагаемые: $x^2 - 5x^2 + 6x = -4x^2 + 6x$.
Таким образом, задача сводится к делению $(3x^5 - x^4 - 3x + 1)$ на $(-4x^2 + 6x)$.

Ответ: частное $-\frac{3}{4}x^3 - \frac{7}{8}x^2 - \frac{21}{16}x - \frac{63}{32}$, остаток $\frac{141}{16}x + 1$.