Вопросы, страница 143 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как записывается стандартный вид многочлена с одной переменной?

2. Что называется старшим коэффициентом и свободным членом? Приведите пример.

3. Какое число называется корнем многочлена? Приведите пример.

4. На примере покажите деление многочлена на многочлен «уголком».

5. Что называется неполным частным и остатком при делении многочлена на многочлен? Приведите пример.

6. Какой должна быть степень остатка?

7. При каких условиях один многочлен делится на второй без остатка? Приведите пример.

8. Как можно определить целый корень многочлена с целыми коэффициентами? Приведите пример.

1. Как записывается стандартный вид многочлена с одной переменной?
Стандартный вид многочлена с одной переменной $x$ — это представление многочлена в виде суммы одночленов, расположенных в порядке убывания их степеней. Общая формула стандартного вида многочлена $P(x)$ степени $n$ выглядит так:
$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$
где:
• $x$ — переменная;
• $n$ — натуральное число или ноль, называемое степенью многочлена;
• $a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0$ — числовые коэффициенты, причем $a_n \neq 0$.
Каждый член $a_k x^k$ называется одночленом.
Ответ: Стандартный вид многочлена с одной переменной $x$ записывается как $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, где члены расположены в порядке убывания степеней $n$, $n-1$, ..., $0$.

2. Что называется старшим коэффициентом и свободным членом? Приведите пример.
В многочлене, записанном в стандартном виде $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$:
• Старший коэффициент — это коэффициент при члене с наивысшей степенью переменной. В данном случае это $a_n$.
• Свободный член — это член многочлена, не содержащий переменной (член нулевой степени). В данном случае это $a_0$.

Пример.
Рассмотрим многочлен $P(x) = 5x^4 - 2x^3 + 7x - 11$.
• Наивысшая степень равна 4. Коэффициент при $x^4$ равен 5. Следовательно, старший коэффициент равен 5.
• Член без переменной $x$ равен -11. Следовательно, свободный член равен -11.
Ответ: Старший коэффициент — это коэффициент при старшем члене многочлена ($a_n$), а свободный член — это член без переменной ($a_0$). В многочлене $5x^4 - 2x^3 + 7x - 11$ старший коэффициент — 5, свободный член — -11.

3. Какое число называется корнем многочлена? Приведите пример.
Корнем многочлена $P(x)$ называется такое число $c$, при подстановке которого вместо переменной $x$ значение многочлена обращается в ноль, то есть $P(c) = 0$.

Пример.
Рассмотрим многочлен $P(x) = x^2 - 5x + 6$.
Проверим, является ли число 2 корнем этого многочлена:
$P(2) = 2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$.
Так как $P(2) = 0$, число 2 является корнем многочлена.
Проверим число 1:
$P(1) = 1^2 - 5 \cdot 1 + 6 = 1 - 5 + 6 = 2$.
Так как $P(1) \neq 0$, число 1 не является корнем многочлена.
Ответ: Корнем многочлена $P(x)$ называется число $c$, для которого выполняется равенство $P(c)=0$. Например, число 2 является корнем многочлена $x^2 - 5x + 6$.

4. На примере покажите деление многочлена на многочлен «уголком».
Деление многочлена на многочлен «уголком» (или столбиком) — это алгоритм, аналогичный делению чисел столбиком. Покажем на примере деления многочлена $A(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ на многочлен $B(x) = x - 2$.

В результате деления мы получили неполное частное $Q(x) = 2x^2 + x + 6$ и остаток $R(x) = 7$.
Ответ: Пример деления многочлена $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ на $x - 2$ показан на рисунке выше.

5. Что называется неполным частным и остатком при делении многочлена на многочлен? Приведите пример.
При делении многочлена $A(x)$ (делимое) на ненулевой многочлен $B(x)$ (делитель) результатом являются два многочлена: неполное частное $Q(x)$ и остаток $R(x)$, такие что выполняется равенство:
$A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$
При этом степень остатка $R(x)$ строго меньше степени делителя $B(x)$, либо $R(x)$ является нулевым многочленом.

Пример.
Используем результат из предыдущего пункта. При делении $A(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ на $B(x) = x - 2$ мы получили:
• неполное частное $Q(x) = 2x^2 + x + 6$
• остаток $R(x) = 7$
Равенство выглядит так: $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 = (x - 2)(2x^2 + x + 6) + 7$.
Степень остатка $R(x)=7$ равна 0, что меньше степени делителя $B(x)=x-2$, равной 1.
Ответ: Неполное частное $Q(x)$ и остаток $R(x)$ — это многочлены, удовлетворяющие равенству $A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$, где степень $R(x)$ меньше степени $B(x)$. В примере выше $Q(x)=2x^2+x+6$, $R(x)=7$.

6. Какой должна быть степень остатка?
При делении многочлена $A(x)$ на многочлен $B(x)$ степень остатка $R(x)$ всегда должна быть строго меньше степени делителя $B(x)$.
Если обозначить степень многочлена $P(x)$ как $deg(P)$, то условие записывается в виде:
$deg(R(x)) < deg(B(x))$
Если остаток равен нулю ($R(x) = 0$), его степень условно считают равной $-\infty$, что также удовлетворяет этому условию, так как степень любого ненулевого многочлена больше $-\infty$.
Ответ: Степень остатка должна быть строго меньше степени делителя.

7. При каких условиях один многочлен делится на второй без остатка? Приведите пример.
Один многочлен $A(x)$ делится на второй многочлен $B(x)$ без остатка (или нацело), если остаток от деления равен нулю, то есть $R(x) = 0$. В этом случае равенство принимает вид:
$A(x) = B(x) \cdot Q(x)$
Важным следствием является теорема Безу: многочлен $P(x)$ делится на двучлен $(x - c)$ без остатка тогда и только тогда, когда число $c$ является корнем многочлена $P(x)$, то есть $P(c) = 0$.

Пример.
Проверим, делится ли многочлен $A(x) = x^3 - 7x + 6$ на $B(x) = x - 2$ без остатка.
Для этого найдем корень делителя: $x - 2 = 0 \implies x = 2$.
Подставим это значение в многочлен $A(x)$:
$A(2) = 2^3 - 7 \cdot 2 + 6 = 8 - 14 + 6 = 0$.
Поскольку $A(2) = 0$, многочлен $A(x)$ делится на $B(x)$ без остатка.
Выполнив деление, получим: $(x^3 - 7x + 6) : (x-2) = x^2 + 2x - 3$. Остаток равен 0.
Ответ: Один многочлен делится на второй без остатка, если остаток от их деления равен нулю. Например, $x^3 - 7x + 6$ делится на $x - 2$ без остатка, так как $A(2)=0$.

8. Как можно определить целый корень многочлена с целыми коэффициентами? Приведите пример.
Для нахождения целых корней многочлена с целыми коэффициентами используется теорема о целых корнях, которая является следствием теоремы о рациональных корнях.
Теорема гласит: если многочлен $P(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$ с целыми коэффициентами имеет целый корень $c$, то этот корень является делителем свободного члена $a_0$.

Таким образом, для поиска целых корней нужно:
1. Найти все целые делители свободного члена $a_0$.
2. Проверить каждый из этих делителей, подставляя его в многочлен. Те числа, при подстановке которых многочлен обращается в ноль, и являются его целыми корнями.

Пример.
Найдем целые корни многочлена $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$.
1. Свободный член $a_0 = 6$. Его целые делители: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
2. Проверяем делители:
• $P(1) = 1 - 4 + 1 + 6 = 4 \neq 0$
• $P(-1) = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$. Значит, $x = -1$ — корень.
• $P(2) = 8 - 16 + 2 + 6 = 0$. Значит, $x = 2$ — корень.
• $P(3) = 27 - 36 + 3 + 6 = 0$. Значит, $x = 3$ — корень.
• $P(-2) = -8 - 16 - 2 + 6 = -20 \neq 0$
• $P(6) = 216 - 144 + 6 + 6 = 84 \neq 0$
• $P(-6) = -216 - 144 - 6 + 6 = -360 \neq 0$

Ответ: Целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена. В примере $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ целыми корнями являются числа -1, 2 и 3, которые все являются делителями свободного члена 6.