Номер 5.16, страница 143 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.16. Укажите степень, старший коэффициент и свободный член многочлена:

1) $x^4 + x^3 - 4x^2 + x - 7;$

2) $2x^4 - 8x^2 - 8x;$

3) $(x^2 + 4x)(x^2 - x - 1);$

4) $(x^2 + 5x)(x^2 + x - 3);$

5) $(3x + 4)(x^4 - x^2 - 1);$

6) $(x - 1)(x^2 + 1)(4x + 3).$

1) $x^4 + x^3 - 4x^2 + x - 7$

Многочлен представлен в стандартном виде, то есть его члены упорядочены по убыванию степеней переменной.
Степень многочлена – это наибольшая степень переменной в его членах. В данном случае это 4.
Старший коэффициент – это коэффициент при члене с наибольшей степенью. Для члена $x^4$ коэффициент равен 1.
Свободный член – это член многочлена, который не содержит переменной. В данном случае это -7.

Ответ: степень 4, старший коэффициент 1, свободный член -7.

2) $2x^4 - 8x^2 - 8x$

Многочлен представлен в стандартном виде.
Степень многочлена – это наибольшая степень переменной, здесь она равна 4.
Старший коэффициент – это коэффициент при члене $2x^4$, он равен 2.
Свободный член – это член без переменной. В данном многочлене он отсутствует, что эквивалентно тому, что он равен 0.

Ответ: степень 4, старший коэффициент 2, свободный член 0.

3) $(x^2 + 4x)(x^2 - x - 1)$

Многочлен представлен в виде произведения двух многочленов. Для нахождения его характеристик не обязательно раскрывать скобки.
Степень многочлена равна сумме степеней многочленов-сомножителей. Степень первого множителя $(x^2 + 4x)$ равна 2, степень второго $(x^2 - x - 1)$ равна 2. Таким образом, степень итогового многочлена равна $2 + 2 = 4$.
Старший коэффициент равен произведению старших коэффициентов сомножителей. Старший коэффициент $(x^2 + 4x)$ равен 1, старший коэффициент $(x^2 - x - 1)$ равен 1. Итоговый старший коэффициент: $1 \cdot 1 = 1$.
Свободный член равен произведению свободных членов сомножителей. Свободный член $(x^2 + 4x)$ равен 0, а свободный член $(x^2 - x - 1)$ равен -1. Итоговый свободный член: $0 \cdot (-1) = 0$.

Ответ: степень 4, старший коэффициент 1, свободный член 0.

4) $(x^2 + 5x)(x^2 + x - 3)$

Многочлен представлен в виде произведения двух многочленов.
Степень многочлена равна сумме степеней сомножителей. Степень $(x^2 + 5x)$ равна 2, степень $(x^2 + x - 3)$ равна 2. Итоговая степень: $2 + 2 = 4$.
Старший коэффициент равен произведению старших коэффициентов сомножителей. У $(x^2 + 5x)$ он равен 1, у $(x^2 + x - 3)$ он равен 1. Итоговый старший коэффициент: $1 \cdot 1 = 1$.
Свободный член равен произведению свободных членов сомножителей. У $(x^2 + 5x)$ он равен 0, у $(x^2 + x - 3)$ он равен -3. Итоговый свободный член: $0 \cdot (-3) = 0$.

Ответ: степень 4, старший коэффициент 1, свободный член 0.

5) $(3x + 4)(x^4 - x^2 - 1)$

Многочлен представлен в виде произведения двух многочленов.
Степень многочлена равна сумме степеней сомножителей. Степень $(3x + 4)$ равна 1, степень $(x^4 - x^2 - 1)$ равна 4. Итоговая степень: $1 + 4 = 5$.
Старший коэффициент равен произведению старших коэффициентов сомножителей. У $(3x + 4)$ он равен 3, у $(x^4 - x^2 - 1)$ он равен 1. Итоговый старший коэффициент: $3 \cdot 1 = 3$.
Свободный член равен произведению свободных членов сомножителей. У $(3x + 4)$ он равен 4, у $(x^4 - x^2 - 1)$ он равен -1. Итоговый свободный член: $4 \cdot (-1) = -4$.

Ответ: степень 5, старший коэффициент 3, свободный член -4.

6) $(x - 1)(x^2 + 1)(4x + 3)$

Многочлен представлен в виде произведения трех многочленов.
Степень многочлена равна сумме степеней сомножителей. Степени множителей равны 1, 2 и 1 соответственно. Итоговая степень: $1 + 2 + 1 = 4$.
Старший коэффициент равен произведению старших коэффициентов сомножителей. Коэффициенты равны 1, 1 и 4. Итоговый старший коэффициент: $1 \cdot 1 \cdot 4 = 4$.
Свободный член равен произведению свободных членов сомножителей. Свободные члены равны -1, 1 и 3. Итоговый свободный член: $(-1) \cdot 1 \cdot 3 = -3$.

Ответ: степень 4, старший коэффициент 4, свободный член -3.