Номер 5.17, страница 143 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.17. Разделите с остатком:

1) $(x^4 + x^2 + 1) : (x + 5);$

2) $(x^5 - 6x^3 + 2x^2 - 4) : (x^2 - x + 1);$

3) $(x^7 - 1) : (x^2 + x + 1);$

4) $(x^6 - 1) : (x - 3).$

1) Чтобы разделить многочлен $(x^4 + x^2 + 1)$ на $(x + 5)$, выполним деление столбиком. Для удобства в делимом $x^4 + x^2 + 1$ запишем недостающие степени переменной с нулевыми коэффициентами: $x^4 + 0x^3 + x^2 + 0x + 1$.

1. Делим старший член делимого ($x^4$) на старший член делителя ($x$), получаем $x^3$. Это первый член частного.

2. Умножаем делитель $(x+5)$ на $x^3$: $x^3(x+5) = x^4 + 5x^3$.

3. Вычитаем полученное выражение из делимого: $(x^4 + 0x^3 + x^2 + 1) - (x^4 + 5x^3) = -5x^3 + x^2 + 1$.

4. Делим старший член нового остатка ($-5x^3$) на $x$, получаем $-5x^2$. Это второй член частного.

5. Умножаем делитель $(x+5)$ на $-5x^2$: $-5x^2(x+5) = -5x^3 - 25x^2$.

6. Вычитаем из предыдущего остатка: $(-5x^3 + x^2 + 1) - (-5x^3 - 25x^2) = 26x^2 + 1$.

7. Делим старший член нового остатка ($26x^2$) на $x$, получаем $26x$. Это третий член частного.

8. Умножаем делитель $(x+5)$ на $26x$: $26x(x+5) = 26x^2 + 130x$.

9. Вычитаем: $(26x^2 + 1) - (26x^2 + 130x) = -130x + 1$.

10. Делим старший член нового остатка ($-130x$) на $x$, получаем $-130$. Это четвертый член частного.

11. Умножаем делитель $(x+5)$ на $-130$: $-130(x+5) = -130x - 650$.

12. Вычитаем: $(-130x + 1) - (-130x - 650) = 651$.

Степень остатка $651$ (степень 0) меньше степени делителя $x+5$ (степень 1), поэтому деление завершено. Неполное частное равно $x^3 - 5x^2 + 26x - 130$, а остаток равен $651$.

Ответ: $x^4 + x^2 + 1 = (x+5)(x^3 - 5x^2 + 26x - 130) + 651$.

2) Разделим многочлен $(x^5 - 6x^3 + 2x^2 - 4)$ на $(x^2 - x + 1)$. Запишем делимое, добавив недостающие степени с нулевыми коэффициентами: $x^5 + 0x^4 - 6x^3 + 2x^2 + 0x - 4$.

1. Делим $x^5$ на $x^2$, получаем $x^3$. Вычитаем $x^3(x^2 - x + 1) = x^5 - x^4 + x^3$ из делимого. Остаток: $(x^5 + 0x^4 - 6x^3 + ...) - (x^5 - x^4 + x^3) = x^4 - 7x^3 + 2x^2 - 4$.

2. Делим $x^4$ на $x^2$, получаем $x^2$. Вычитаем $x^2(x^2 - x + 1) = x^4 - x^3 + x^2$ из текущего остатка. Новый остаток: $(x^4 - 7x^3 + 2x^2 + ...) - (x^4 - x^3 + x^2) = -6x^3 + x^2 + 0x - 4$.

3. Делим $-6x^3$ на $x^2$, получаем $-6x$. Вычитаем $-6x(x^2 - x + 1) = -6x^3 + 6x^2 - 6x$. Новый остаток: $(-6x^3 + x^2 + 0x - ...) - (-6x^3 + 6x^2 - 6x) = -5x^2 + 6x - 4$.

4. Делим $-5x^2$ на $x^2$, получаем $-5$. Вычитаем $-5(x^2 - x + 1) = -5x^2 + 5x - 5$. Новый остаток: $(-5x^2 + 6x - 4) - (-5x^2 + 5x - 5) = x + 1$.

Степень остатка $x+1$ (степень 1) меньше степени делителя $x^2 - x + 1$ (степень 2), поэтому деление завершено. Неполное частное равно $x^3 + x^2 - 6x - 5$, а остаток равен $x + 1$.

Ответ: $x^5 - 6x^3 + 2x^2 - 4 = (x^2 - x + 1)(x^3 + x^2 - 6x - 5) + (x + 1)$.

3) Разделим многочлен $(x^7 - 1)$ на $(x^2 + x + 1)$.

1. Делим $x^7$ на $x^2$, получаем $x^5$. Вычитаем $x^5(x^2+x+1) = x^7+x^6+x^5$. Остаток: $(x^7-1) - (x^7+x^6+x^5) = -x^6-x^5-1$.

2. Делим $-x^6$ на $x^2$, получаем $-x^4$. Вычитаем $-x^4(x^2+x+1) = -x^6-x^5-x^4$. Остаток: $(-x^6-x^5-1) - (-x^6-x^5-x^4) = x^4-1$.

3. Делим $x^4$ на $x^2$, получаем $x^2$. Вычитаем $x^2(x^2+x+1) = x^4+x^3+x^2$. Остаток: $(x^4-1) - (x^4+x^3+x^2) = -x^3-x^2-1$.

4. Делим $-x^3$ на $x^2$, получаем $-x$. Вычитаем $-x(x^2+x+1) = -x^3-x^2-x$. Остаток: $(-x^3-x^2-1) - (-x^3-x^2-x) = x-1$.

Степень остатка $x-1$ (степень 1) меньше степени делителя $x^2+x+1$ (степень 2), деление завершено. Неполное частное равно $x^5 - x^4 + x^2 - x$, а остаток равен $x-1$.

Замечание: можно заметить, что $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$. Отсюда $x^3 \equiv 1 \pmod{x^2+x+1}$. Тогда $x^7-1 = x \cdot (x^3)^2 - 1 \equiv x \cdot (1)^2 - 1 = x-1 \pmod{x^2+x+1}$. Это позволяет найти остаток без полного деления.

Ответ: $x^7 - 1 = (x^2 + x + 1)(x^5 - x^4 + x^2 - x) + (x - 1)$.

4) Разделим многочлен $(x^6 - 1)$ на $(x - 3)$.

Можно использовать деление столбиком, но быстрее найти остаток по теореме Безу. Согласно этой теореме, остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x-a)$ равен $P(a)$.

В нашем случае $P(x) = x^6 - 1$ и $a=3$.

Остаток равен $P(3) = 3^6 - 1 = 729 - 1 = 728$.

Теперь найдем неполное частное. Это можно сделать с помощью схемы Горнера или деления столбиком. Применим деление столбиком:

1. $x^6 / x = x^5$. Вычитаем $x^5(x-3)=x^6-3x^5$. Остаток: $3x^5-1$.

2. $3x^5 / x = 3x^4$. Вычитаем $3x^4(x-3)=3x^5-9x^4$. Остаток: $9x^4-1$.

3. $9x^4 / x = 9x^3$. Вычитаем $9x^3(x-3)=9x^4-27x^3$. Остаток: $27x^3-1$.

4. $27x^3 / x = 27x^2$. Вычитаем $27x^2(x-3)=27x^3-81x^2$. Остаток: $81x^2-1$.

5. $81x^2 / x = 81x$. Вычитаем $81x(x-3)=81x^2-243x$. Остаток: $243x-1$.

6. $243x / x = 243$. Вычитаем $243(x-3)=243x-729$. Остаток: $(243x-1) - (243x-729) = 728$.

Неполное частное равно $x^5 + 3x^4 + 9x^3 + 27x^2 + 81x + 243$, остаток $728$.

Ответ: $x^6 - 1 = (x - 3)(x^5 + 3x^4 + 9x^3 + 27x^2 + 81x + 243) + 728$.