Номер 5.15, страница 139 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.15. Покажите, что многочлен $x^4 + y^4 + z^4 + 2x^2y^2 + 2x^2z^2 + 2y^2z^2 + 4x^3yz + 4xy^3z + 4xyz^3 + 3x^2y^2z^2$ можно разложить на множители.

Для того чтобы показать, что данный многочлен можно разложить на множители, мы выполним ряд алгебраических преобразований с целью найти эти множители.

Исходный многочлен:

$P(x, y, z) = x^4 + y^4 + z^4 + 2x^2y^2 + 2x^2z^2 + 2y^2z^2 + 4x^3yz + 4xy^3z + 4xyz^3 + 3x^2y^2z^2$

Сгруппируем первые шесть слагаемых. Они представляют собой полный квадрат суммы трех выражений: $x^2$, $y^2$ и $z^2$.

$(x^2 + y^2 + z^2)^2 = (x^2)^2 + (y^2)^2 + (z^2)^2 + 2(x^2)(y^2) + 2(x^2)(z^2) + 2(y^2)(z^2) = x^4 + y^4 + z^4 + 2x^2y^2 + 2x^2z^2 + 2y^2z^2$

Теперь подставим это в исходный многочлен:

$P(x, y, z) = (x^2 + y^2 + z^2)^2 + 4x^3yz + 4xy^3z + 4xyz^3 + 3x^2y^2z^2$

Рассмотрим оставшиеся слагаемые. В членах $4x^3yz$, $4xy^3z$ и $4xyz^3$ вынесем за скобки общий множитель $4xyz$:

$4x^3yz + 4xy^3z + 4xyz^3 = 4xyz(x^2 + y^2 + z^2)$

Подставим это обратно в выражение для $P(x, y, z)$:

$P(x, y, z) = (x^2 + y^2 + z^2)^2 + 4xyz(x^2 + y^2 + z^2) + 3x^2y^2z^2$

Это выражение похоже на квадратный трехчлен относительно $A = (x^2 + y^2 + z^2)$. Чтобы выделить полный квадрат, представим слагаемое $3x^2y^2z^2$ в виде $4x^2y^2z^2 - x^2y^2z^2$:

$P(x, y, z) = (x^2 + y^2 + z^2)^2 + 4xyz(x^2 + y^2 + z^2) + 4x^2y^2z^2 - x^2y^2z^2$

Сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют полный квадрат суммы $(x^2 + y^2 + z^2)$ и $2xyz$:

$((x^2 + y^2 + z^2) + 2xyz)^2 = (x^2 + y^2 + z^2)^2 + 2(x^2 + y^2 + z^2)(2xyz) + (2xyz)^2 = (x^2 + y^2 + z^2)^2 + 4xyz(x^2 + y^2 + z^2) + 4x^2y^2z^2$

Таким образом, многочлен можно переписать в виде:

$P(x, y, z) = ((x^2 + y^2 + z^2) + 2xyz)^2 - x^2y^2z^2$

Заметим, что $x^2y^2z^2 = (xyz)^2$. Теперь выражение представляет собой разность квадратов вида $A^2 - B^2$, где $A = x^2 + y^2 + z^2 + 2xyz$ и $B = xyz$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:

$P(x, y, z) = ((x^2 + y^2 + z^2 + 2xyz) - xyz) \cdot ((x^2 + y^2 + z^2 + 2xyz) + xyz)$

Упростим выражения в скобках:

$P(x, y, z) = (x^2 + y^2 + z^2 + xyz)(x^2 + y^2 + z^2 + 3xyz)$

Таким образом, мы разложили исходный многочлен на два множителя, что и требовалось доказать.

Ответ: Многочлен раскладывается на множители $(x^2 + y^2 + z^2 + xyz)(x^2 + y^2 + z^2 + 3xyz)$.