Номер 5.9, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.9. Докажите тождество:

a) $(x + y)(x + z)(z + y) + xyz = (x + y + z)(xy + xz + yz);$

б) $(a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc)^2 - (a + b + c)^2(a^2 + b^2 + c^2) = (ab + ac + bc)^2;$

в) $y^2z^2(y^2 - z^2) + x^2z^2(z^2 - x^2) + x^2y^2(x^2 - y^2)= (x + y)(x + z)(z + y)(x - z)(y - z)(x - y);$

г) $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2) = (a - b)(b - c)(c - a).$

а) Для доказательства тождества преобразуем обе его части и покажем, что они равны одному и тому же выражению.

Преобразуем левую часть (ЛЧ):

ЛЧ $= (x + y)(x + z)(y + z) + xyz = (x^2 + xy + xz + yz)(y + z) + xyz$

$= (x^2y + x^2z + xy^2 + xyz + xyz + xz^2 + y^2z + yz^2) + xyz$

$= x^2y + x^2z + xy^2 + xz^2 + y^2z + yz^2 + 3xyz$

Преобразуем правую часть (ПЧ):

ПЧ $= (x + y + z)(xy + xz + yz) = x(xy + xz + yz) + y(xy + xz + yz) + z(xy + xz + yz)$

$= (x^2y + x^2z + xyz) + (xy^2 + xyz + y^2z) + (xyz + xz^2 + yz^2)$

$= x^2y + x^2z + xy^2 + xz^2 + y^2z + yz^2 + 3xyz$

Так как ЛЧ = ПЧ, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства преобразуем исходное тождество. Перенесем слагаемое $(a + b + c)^2(a^2 + b^2 + c^2)$ в левую часть, а $(ab + ac + bc)^2$ в правую:

$(a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc)^2 - (a + b + c)^2(a^2 + b^2 + c^2) = (ab + ac + bc)^2$

Перенесем $(ab + ac + bc)^2$ в левую часть:

$(a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc)^2 - (ab + ac + bc)^2 = (a + b + c)^2(a^2 + b^2 + c^2)$

Применим к левой части (ЛЧ) формулу разности квадратов $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$, где $X = a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc$ и $Y = ab + ac + bc$.

ЛЧ $= ((a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc) - (ab + ac + bc)) \cdot ((a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc) + (ab + ac + bc))$

$= (a^2 + b^2 + c^2) \cdot (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)$

Выражение во второй скобке является полным квадратом суммы: $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)^2$.

Следовательно, ЛЧ $= (a^2 + b^2 + c^2)(a + b + c)^2$.

Полученное выражение совпадает с правой частью преобразованного тождества. Таким образом, исходное тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в) Преобразуем левую и правую части тождества.

Левая часть (ЛЧ): $y^2z^2(y^2 - z^2) + x^2z^2(z^2 - x^2) + x^2y^2(x^2 - y^2)$.

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые по степеням $x$:

ЛЧ $= y^4z^2 - y^2z^4 + x^2z^4 - x^4z^2 + x^4y^2 - x^2y^4 = x^4(y^2 - z^2) - x^2(y^4 - z^4) + y^2z^2(y^2 - z^2)$

Используя формулу разности квадратов $y^4 - z^4 = (y^2 - z^2)(y^2 + z^2)$, вынесем общий множитель $(y^2-z^2)$:

ЛЧ $= (y^2 - z^2) [x^4 - x^2(y^2 + z^2) + y^2z^2]$

Разложим на множители выражение в квадратных скобках:

$x^4 - x^2y^2 - x^2z^2 + y^2z^2 = x^2(x^2 - y^2) - z^2(x^2 - y^2) = (x^2 - y^2)(x^2 - z^2)$

Таким образом, ЛЧ $= (y^2 - z^2)(x^2 - y^2)(x^2 - z^2)$.

Правая часть (ПЧ): $(x + y)(x + z)(z + y)(x - z)(y - z)(x - y)$.

Сгруппируем множители парами, чтобы применить формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

ПЧ $= [(x+y)(x-y)] \cdot [(z+y)(y-z)] \cdot [(x+z)(x-z)] = (x^2 - y^2)(y^2 - z^2)(x^2 - z^2)$

Так как ЛЧ = ПЧ, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

г) Преобразуем левую часть тождества (ЛЧ) путем разложения на множители.

ЛЧ $= a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2) = ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$.

Сгруппируем слагаемые по убывающим степеням переменной $a$:

ЛЧ $= (ca^2 - ba^2) + (ab^2 - ac^2) + (bc^2 - b^2c) = a^2(c - b) + a(b^2 - c^2) + bc(c-b)$

Вынесем общий множитель $(b-c)$ за скобки, изменив знаки где необходимо:

ЛЧ $= -a^2(b - c) + a(b - c)(b + c) - bc(b - c)$

$= (b - c) [-a^2 + a(b + c) - bc] = (b - c)[-a^2 + ab + ac - bc]$

Разложим на множители выражение в квадратных скобках:

$-a^2 + ab + ac - bc = a(b-a) + c(a-b) = -a(a-b) + c(a-b) = (c-a)(a-b)$

Таким образом, ЛЧ $= (b-c)(c-a)(a-b)$.

Переставив множители, получим правую часть тождества:

ЛЧ $= (a-b)(b-c)(c-a)$

Полученное выражение совпадает с правой частью, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.