gdz.top
Номер 5.14, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков
Авторы: Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Жумабаев Р. Н.
Тип: Учебник
Издательство: Атамұра
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-331-522-5
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Раздел 5. Многочлены. 5.1. Многочлены с несколькими переменными - номер 5.14, страница 138.
№5.13
№5.14 (с. 138)
Учебник рус. №5.14 (с. 138)
5.14. Докажите тождество $(p - a)^3 + (p - b)^3 + (p - c)^3 + 3abc = p^3$,
приняв $p = \frac{a+b+c}{2}$.
Учебник кз. №5.14 (с. 138)
Решение. №5.14 (с. 138)
Решение 2 (rus). №5.14 (с. 138)
Для доказательства данного тождества введем следующие замены:
$x = p - a$
$y = p - b$
$z = p - c$
Найдем сумму этих трех переменных. Учитывая, что по условию $p = \frac{a+b+c}{2}$, что эквивалентно $2p = a+b+c$, получим:
$x + y + z = (p - a) + (p - b) + (p - c) = 3p - (a+b+c) = 3p - 2p = p$
Теперь воспользуемся известным алгебраическим тождеством для куба суммы:
$(x+y+z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3(x+y)(y+z)(z+x)$
Поскольку мы установили, что $x+y+z=p$, тождество можно переписать в виде:
$p^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3(x+y)(y+z)(z+x)$
Рассмотрим произведение $(x+y)(y+z)(z+x)$. Выразим каждый сомножитель через $a, b$ и $c$, используя равенство $2p = a+b+c$:
$x+y = (p-a)+(p-b) = 2p-(a+b) = (a+b+c)-(a+b) = c$
$y+z = (p-b)+(p-c) = 2p-(b+c) = (a+b+c)-(b+c) = a$
$z+x = (p-c)+(p-a) = 2p-(c+a) = (a+b+c)-(c+a) = b$
Таким образом, произведение равно:
$(x+y)(y+z)(z+x) = c \cdot a \cdot b = abc$
Подставим полученный результат обратно в тождество:
$p^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3abc$
Наконец, выполним обратную замену, подставив вместо $x, y, z$ их первоначальные выражения:
$p^3 = (p - a)^3 + (p - b)^3 + (p - c)^3 + 3abc$
Мы получили исходное тождество, поменяв местами левую и правую части, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество $(p - a)^3 + (p - b)^3 + (p - c)^3 + 3abc = p^3$ доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 5.14 расположенного на странице 138 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.14 (с. 138), авторов: Шыныбеков (Абдухали Насырович), Шыныбеков (Данияр Абдухалиевич), Жумабаев (Ринат Нурланович), учебного пособия издательства Атамұра.