Номер 5.19, страница 143 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.19. Найдите целые корни многочлена:

1) $x^2 - 4x + 3;$

2) $x^2 + 3x - 4;$

3) $x^2 + 3x - 10;$

4) $x^2 + 5x - 6;$

5) $3x^2 - 2x - 21;$

6) $2x^2 + x - 21.$

1) Чтобы найти целые корни многочлена $x^2 - 4x + 3$, приравняем его к нулю: $x^2 - 4x + 3 = 0$.
Согласно теореме о рациональных корнях, если у многочлена с целыми коэффициентами есть целые корни, то они являются делителями его свободного члена.
Свободный член равен 3. Его целые делители: $\pm 1, \pm 3$.
Проверим эти значения подстановкой в уравнение:
- При $x = 1$: $1^2 - 4(1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$. Следовательно, $x=1$ является корнем.
- При $x = -1$: $(-1)^2 - 4(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8 \neq 0$.
- При $x = 3$: $3^2 - 4(3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$. Следовательно, $x=3$ является корнем.
- При $x = -3$: $(-3)^2 - 4(-3) + 3 = 9 + 12 + 3 = 24 \neq 0$.
Поскольку квадратное уравнение имеет не более двух корней, мы нашли все целые корни.
Ответ: 1; 3.

2) Для многочлена $x^2 + 3x - 4$ ищем корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$.
Свободный член равен -4. Его целые делители: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.
Проверим эти значения:
- При $x = 1$: $1^2 + 3(1) - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$. Следовательно, $x=1$ является корнем.
- При $x = -1$: $(-1)^2 + 3(-1) - 4 = 1 - 3 - 4 = -6 \neq 0$.
- При $x = 2$: $2^2 + 3(2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 \neq 0$.
- При $x = -2$: $(-2)^2 + 3(-2) - 4 = 4 - 6 - 4 = -6 \neq 0$.
- При $x = 4$: $4^2 + 3(4) - 4 = 16 + 12 - 4 = 24 \neq 0$.
- При $x = -4$: $(-4)^2 + 3(-4) - 4 = 16 - 12 - 4 = 0$. Следовательно, $x=-4$ является корнем.
Целыми корнями многочлена являются 1 и -4.
Ответ: -4; 1.

3) Для многочлена $x^2 + 3x - 10$ ищем корни уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$.
Свободный член равен -10. Его целые делители: $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$.
Проверим эти значения:
- При $x = 1$: $1^2 + 3(1) - 10 = 1 + 3 - 10 = -6 \neq 0$.
- При $x = -1$: $(-1)^2 + 3(-1) - 10 = 1 - 3 - 10 = -12 \neq 0$.
- При $x = 2$: $2^2 + 3(2) - 10 = 4 + 6 - 10 = 0$. Следовательно, $x=2$ является корнем.
- При $x = -5$: $(-5)^2 + 3(-5) - 10 = 25 - 15 - 10 = 0$. Следовательно, $x=-5$ является корнем.
Мы нашли два корня, поэтому дальнейшая проверка не требуется.
Целыми корнями многочлена являются 2 и -5.
Ответ: -5; 2.

4) Для многочлена $x^2 + 5x - 6$ ищем корни уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$.
Свободный член равен -6. Его целые делители: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
Проверим эти значения:
- При $x = 1$: $1^2 + 5(1) - 6 = 1 + 5 - 6 = 0$. Следовательно, $x=1$ является корнем.
- При $x = -6$: $(-6)^2 + 5(-6) - 6 = 36 - 30 - 6 = 0$. Следовательно, $x=-6$ является корнем.
Целыми корнями многочлена являются 1 и -6.
Ответ: -6; 1.

5) Для многочлена $3x^2 - 2x - 21$ ищем корни уравнения $3x^2 - 2x - 21 = 0$.
Целые корни этого многочлена должны быть делителями свободного члена, равного -21.
Целые делители числа -21: $\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$.
Проверим эти значения:
- При $x = 3$: $3(3)^2 - 2(3) - 21 = 3 \cdot 9 - 6 - 21 = 27 - 6 - 21 = 0$. Следовательно, $x=3$ является корнем.
Чтобы найти второй корень, решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(3)(-21) = 4 + 252 = 256 = 16^2$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 16}{2 \cdot 3}$.
$x_1 = \frac{2 + 16}{6} = \frac{18}{6} = 3$.
$x_2 = \frac{2 - 16}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$.
Второй корень $x_2 = -\frac{7}{3}$ не является целым числом.
Следовательно, у многочлена только один целый корень.
Ответ: 3.

6) Для многочлена $2x^2 + x - 21$ ищем корни уравнения $2x^2 + x - 21 = 0$.
Целые корни этого многочлена должны быть делителями свободного члена, равного -21.
Целые делители числа -21: $\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$.
Проверим эти значения:
- При $x = 3$: $2(3)^2 + 3 - 21 = 2 \cdot 9 + 3 - 21 = 18 + 3 - 21 = 0$. Следовательно, $x=3$ является корнем.
Чтобы найти второй корень, решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-21) = 1 + 168 = 169 = 13^2$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 13}{2 \cdot 2}$.
$x_1 = \frac{-1 + 13}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
$x_2 = \frac{-1 - 13}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2}$.
Второй корень $x_2 = -\frac{7}{2}$ не является целым числом.
Следовательно, у многочлена только один целый корень.
Ответ: 3.