Номер 5.26, страница 144 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.26. Разложите на множители:

1) $x^3 - x^2 - x - 2;$

2) $x^3 - 6x^2 - x + 30.$

1) Чтобы разложить на множители многочлен $x^3 - x^2 - x - 2$, воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Если у многочлена с целыми коэффициентами есть целый корень, то он является делителем свободного члена. В нашем случае свободный член равен -2.

Делители числа -2: $\pm1, \pm2$.

Проверим эти значения, подставляя их в многочлен $P(x) = x^3 - x^2 - x - 2$:

$P(1) = 1^3 - 1^2 - 1 - 2 = 1 - 1 - 1 - 2 = -3 \neq 0$

$P(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 - (-1) - 2 = -1 - 1 + 1 - 2 = -3 \neq 0$

$P(2) = 2^3 - 2^2 - 2 - 2 = 8 - 4 - 2 - 2 = 0$

Поскольку $P(2) = 0$, то $x=2$ является корнем многочлена, а значит $(x-2)$ — один из его множителей.

Теперь разложим многочлен на множители, используя метод группировки. Для этого представим некоторые члены многочлена в виде суммы или разности так, чтобы можно было вынести общий множитель $(x-2)$:

$x^3 - x^2 - x - 2 = x^3 - 2x^2 + x^2 - 2x + x - 2$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 - 2x^2) + (x^2 - 2x) + (x - 2) = x^2(x - 2) + x(x - 2) + 1(x - 2)$

Вынесем общий множитель $(x-2)$ за скобки:

$(x - 2)(x^2 + x + 1)$

Теперь проверим, можно ли разложить на множители квадратный трехчлен $x^2 + x + 1$. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Так как дискриминант $D < 0$, у квадратного трехчлена нет действительных корней, и он не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами.

Следовательно, разложение многочлена завершено.

Ответ: $(x - 2)(x^2 + x + 1)$

2) Разложим на множители многочлен $x^3 - 6x^2 - x + 30$.

Найдем целые корни среди делителей свободного члена 30: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm5, \pm6, \pm10, \pm15, \pm30$.

Проверим некоторые из них, подставляя в многочлен $Q(x) = x^3 - 6x^2 - x + 30$:

$Q(1) = 1 - 6 - 1 + 30 = 24 \neq 0$

$Q(-1) = -1 - 6 + 1 + 30 = 24 \neq 0$

$Q(2) = 8 - 24 - 2 + 30 = 12 \neq 0$

$Q(-2) = (-2)^3 - 6(-2)^2 - (-2) + 30 = -8 - 6(4) + 2 + 30 = -8 - 24 + 2 + 30 = 0$

Так как $Q(-2)=0$, то $x=-2$ является корнем, а $(x+2)$ — множителем многочлена.

Выполним разложение методом группировки, выделяя множитель $(x+2)$:

$x^3 - 6x^2 - x + 30 = x^3 + 2x^2 - 8x^2 - 16x + 15x + 30$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 + 2x^2) - (8x^2 + 16x) + (15x + 30) = x^2(x + 2) - 8x(x + 2) + 15(x + 2)$

Вынесем общий множитель $(x+2)$ за скобки:

$(x + 2)(x^2 - 8x + 15)$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 8x + 15$. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 15. Легко подобрать корни: это 3 и 5.Таким образом, $x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5)$.

Окончательное разложение исходного многочлена имеет вид:

$(x + 2)(x - 3)(x - 5)$

Ответ: $(x + 2)(x - 3)(x - 5)$