Номер 5.32, страница 144 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.32. При каких значениях $a$ и $b$ первый многочлен делится без остатка на второй многочлен:

1) $x^4 + 3x^3 - 2x^2 + ax + b$ на $x^2 - 3x + 2;$

2) $x^3 - 2x^2 + ax + b$ на $x^2 - x + 1?$

1) Чтобы первый многочлен $P(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + ax + b$ делился без остатка на второй многочлен $Q(x) = x^2 - 3x + 2$, необходимо, чтобы корни многочлена $Q(x)$ были также и корнями многочлена $P(x)$.

Сначала найдем корни многочлена $Q(x)$, решив уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$.
Используя теорему Виета (или формулу для корней квадратного уравнения), находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Поскольку $P(x)$ делится на $Q(x)$, то $P(x)$ должно обращаться в ноль при значениях $x$, равных корням $Q(x)$. Таким образом, должны выполняться условия $P(1) = 0$ и $P(2) = 0$.

Подставим $x=1$ в многочлен $P(x)$:
$P(1) = 1^4 + 3(1)^3 - 2(1)^2 + a(1) + b = 0$
$1 + 3 - 2 + a + b = 0$
$2 + a + b = 0$
$a + b = -2$

Подставим $x=2$ в многочлен $P(x)$:
$P(2) = 2^4 + 3(2)^3 - 2(2)^2 + a(2) + b = 0$
$16 + 3 \cdot 8 - 2 \cdot 4 + 2a + b = 0$
$16 + 24 - 8 + 2a + b = 0$
$32 + 2a + b = 0$
$2a + b = -32$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $a$ и $b$:
$\begin{cases} a + b = -2 \\ 2a + b = -32 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:
$(2a + b) - (a + b) = -32 - (-2)$
$a = -30$

Подставим найденное значение $a$ в первое уравнение:
$-30 + b = -2$
$b = 28$

Таким образом, многочлен делится без остатка при $a = -30$ и $b = 28$.

Ответ: $a = -30, b = 28$.

2) Чтобы многочлен $P(x) = x^3 - 2x^2 + ax + b$ делился нацело на $Q(x) = x^2 - x + 1$, результат деления должен быть многочленом, а остаток должен быть равен нулю. Так как степень делимого $P(x)$ равна 3, а степень делителя $Q(x)$ равна 2, частное будет многочленом первой степени. Обозначим это частное как $cx + d$.

Тогда должно выполняться тождество:
$x^3 - 2x^2 + ax + b \equiv (x^2 - x + 1)(cx + d)$

Раскроем скобки в правой части выражения:
$(x^2 - x + 1)(cx + d) = cx^3 + dx^2 - cx^2 - dx + cx + d = cx^3 + (d - c)x^2 + (c - d)x + d$

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в левой и правой частях тождества:

• При $x^3$: $1 = c$
• При $x^2$: $-2 = d - c$
• При $x$: $a = c - d$
• Свободный член: $b = d$

Из первого уравнения сразу получаем $c = 1$.
Подставим $c = 1$ во второе уравнение: $-2 = d - 1$, откуда находим $d = -1$.
Теперь можем найти значения $a$ и $b$:
$a = c - d = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$
$b = d = -1$

Следовательно, деление без остатка возможно при $a = 2$ и $b = -1$.

Ответ: $a = 2, b = -1$.