Номер 5.38, страница 149 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.38. Выполните деление многочлена на двучлен $x + 1$ по схеме Горнера. Найдите остаток и неполное частное:

1) $x^6 + 9x^3 + 32x + 16$;

2) $14x - 4 + 27x^4 - 9x^7$;

3) $x^5 - 7x - 6$;

4) $x^4 + 19x^2 - 30$.

Схема Горнера — это алгоритм для деления многочлена $P(x)$ на двучлен вида $(x - c)$. В данной задаче мы делим на двучлен $x + 1$, что эквивалентно делению на $(x - (-1))$. Таким образом, для всех вычислений $c = -1$.

Для каждого многочлена $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ мы составляем таблицу. В первой строке записываются коэффициенты $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$, при этом, если какая-либо степень $x$ отсутствует, ее коэффициент считается равным нулю. Во второй строке вычисляются коэффициенты неполного частного $Q(x) = b_{n-1} x^{n-1} + \dots + b_0$ и остаток $R$.

Вычисления проводятся по рекуррентным формулам:

$b_{n-1} = a_n$

$b_{k-1} = a_k + c \cdot b_k$ для $k = n-1, \dots, 1$

$R = a_0 + c \cdot b_0$

Последнее число во второй строке является остатком $R$. Остальные числа — это коэффициенты неполного частного $Q(x)$.

1) $x^6 + 9x^3 + 32x + 16$

Запишем многочлен в стандартном виде, добавляя члены с нулевыми коэффициентами: $P(x) = 1x^6 + 0x^5 + 0x^4 + 9x^3 + 0x^2 + 32x + 16$.

Коэффициенты многочлена: $1, 0, 0, 9, 0, 32, 16$. Делитель $x+1$, следовательно $c = -1$.

Составим таблицу по схеме Горнера:

Из второй строки таблицы получаем коэффициенты неполного частного: $1, -1, 1, 8, -8, 40$. Последнее число, $-24$, является остатком.

Неполное частное: $x^5 - x^4 + x^3 + 8x^2 - 8x + 40$.

Остаток: $-24$.

Ответ: неполное частное $x^5 - x^4 + x^3 + 8x^2 - 8x + 40$, остаток $-24$.

2) $14x - 4 + 27x^4 - 9x^7$

Запишем многочлен в стандартном виде: $P(x) = -9x^7 + 0x^6 + 0x^5 + 27x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 14x - 4$.

Коэффициенты многочлена: $-9, 0, 0, 27, 0, 0, 14, -4$. Делитель $x+1$, следовательно $c = -1$.

Составим таблицу по схеме Горнера:

Коэффициенты неполного частного: $-9, 9, -9, 36, -36, 36, -22$. Остаток равен $18$.

Неполное частное: $-9x^6 + 9x^5 - 9x^4 + 36x^3 - 36x^2 + 36x - 22$.

Остаток: $18$.

Ответ: неполное частное $-9x^6 + 9x^5 - 9x^4 + 36x^3 - 36x^2 + 36x - 22$, остаток $18$.

3) $x^5 - 7x - 6$

Запишем многочлен в стандартном виде: $P(x) = 1x^5 + 0x^4 + 0x^3 + 0x^2 - 7x - 6$.

Коэффициенты многочлена: $1, 0, 0, 0, -7, -6$. Делитель $x+1$, следовательно $c = -1$.

Составим таблицу по схеме Горнера:

Коэффициенты неполного частного: $1, -1, 1, -1, -6$. Остаток равен $0$.

Неполное частное: $x^4 - x^3 + x^2 - x - 6$.

Остаток: $0$.

Ответ: неполное частное $x^4 - x^3 + x^2 - x - 6$, остаток $0$.

4) $x^4 + 19x^2 - 30$

Запишем многочлен в стандартном виде: $P(x) = 1x^4 + 0x^3 + 19x^2 + 0x - 30$.

Коэффициенты многочлена: $1, 0, 19, 0, -30$. Делитель $x+1$, следовательно $c = -1$.

Составим таблицу по схеме Горнера:

Коэффициенты неполного частного: $1, -1, 20, -20$. Остаток равен $-10$.

Неполное частное: $x^3 - x^2 + 20x - 20$.

Остаток: $-10$.

Ответ: неполное частное $x^3 - x^2 + 20x - 20$, остаток $-10$.