Номер 5.42, страница 149 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.42. Числа 1 и 2 являются корнями многочлена $x^3 - 4x^2 + ax + b$.

Найдите числа $a$, $b$ и третий корень.

Пусть дан многочлен $P(x) = x^3 - 4x^2 + ax + b$.
По условию, числа 1 и 2 являются корнями этого многочлена. Это означает, что при подстановке этих значений вместо $x$, значение многочлена будет равно нулю, то есть $P(1) = 0$ и $P(2) = 0$.

Найдите числа a, b
Чтобы найти коэффициенты $a$ и $b$, составим систему уравнений, используя свойство корней.
1. Подставим корень $x=1$ в уравнение многочлена:
$P(1) = 1^3 - 4 \cdot 1^2 + a \cdot 1 + b = 0$
$1 - 4 + a + b = 0$
$a + b - 3 = 0$
$a + b = 3$ (Уравнение 1)

2. Подставим корень $x=2$ в уравнение многочлена:
$P(2) = 2^3 - 4 \cdot 2^2 + a \cdot 2 + b = 0$
$8 - 4 \cdot 4 + 2a + b = 0$
$8 - 16 + 2a + b = 0$
$2a + b - 8 = 0$
$2a + b = 8$ (Уравнение 2)

Теперь решим полученную систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} a + b = 3 \\ 2a + b = 8 \end{cases} $
Вычтем Уравнение 1 из Уравнения 2:
$(2a + b) - (a + b) = 8 - 3$
$a = 5$
Подставим найденное значение $a=5$ в Уравнение 1:
$5 + b = 3$
$b = 3 - 5$
$b = -2$
Ответ: $a=5, b=-2$.

Найдите третий корень
Теперь, когда мы знаем коэффициенты, многочлен имеет вид: $P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2$.
Пусть $x_1, x_2, x_3$ — корни многочлена. По условию $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Нам нужно найти третий корень $x_3$.
Для этого воспользуемся теоремой Виета для кубического уравнения вида $x^3 + px^2 + qx + r = 0$. Согласно одной из формул Виета, сумма корней равна коэффициенту при $x^2$, взятому с противоположным знаком.
В нашем случае коэффициент при $x^2$ равен $-4$.
Следовательно, сумма корней: $x_1 + x_2 + x_3 = -(-4) = 4$.
Подставим известные корни:
$1 + 2 + x_3 = 4$
$3 + x_3 = 4$
$x_3 = 4 - 3$
$x_3 = 1$
Для проверки можно использовать другую формулу Виета: произведение корней равно свободному члену, взятому с противоположным знаком.
$x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -(-2) = 2$.
$1 \cdot 2 \cdot 1 = 2$.
$2 = 2$.
Равенство выполняется, следовательно, третий корень найден верно. Получается, что число 1 является корнем кратности 2.
Ответ: третий корень равен 1.