Номер 5.46, страница 150 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.46. С помощью схемы Горнера покажите, что многочлен $(x^2 + 4x + 3)(x^2 + 12x + 35) + 15$ делится на многочлен $(x + 2)(x + 6)$.

Чтобы доказать, что многочлен $P(x) = (x^2 + 4x + 3)(x^2 + 12x + 35) + 15$ делится на многочлен $Q(x) = (x + 2)(x + 6)$, необходимо показать, что $P(x)$ делится на каждый из множителей $Q(x)$, то есть на $(x+2)$ и на $(x+6)$. Согласно теореме Безу, это равносильно проверке того, что корни многочлена-делителя, $x = -2$ и $x = -6$, являются корнями многочлена-делимого, то есть $P(-2) = 0$ и $P(-6) = 0$. Мы воспользуемся схемой Горнера для проверки этих условий.

Преобразование исходного многочлена

Сначала приведем многочлен $P(x)$ к каноническому виду (в порядке убывания степеней $x$).

$P(x) = (x^2 + 4x + 3)(x^2 + 12x + 35) + 15$

Разложим трехчлены на множители:

$x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3)$

$x^2 + 12x + 35 = (x+5)(x+7)$

Тогда $P(x) = (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 15$.

Сгруппируем множители для удобства:

$P(x) = [(x+1)(x+7)][(x+3)(x+5)] + 15 = (x^2 + 8x + 7)(x^2 + 8x + 15) + 15$

Сделаем замену $t = x^2 + 8x$:

$P(x) = (t+7)(t+15) + 15 = t^2 + 22t + 105 + 15 = t^2 + 22t + 120$

Вернемся к переменной $x$:

$P(x) = (x^2+8x)^2 + 22(x^2+8x) + 120 = (x^4 + 16x^3 + 64x^2) + (22x^2 + 176x) + 120$

$P(x) = x^4 + 16x^3 + 86x^2 + 176x + 120$

Коэффициенты многочлена $P(x)$ равны $1, 16, 86, 176, 120$.

Проверка делимости с помощью схемы Горнера

Деление на $(x+2)$

Применим схему Горнера для деления $P(x)$ на $(x+2)$, что соответствует проверке корня $c = -2$.

Остаток от деления равен 0, следовательно, $P(x)$ делится на $(x+2)$ без остатка. В результате деления получается многочлен-частное $P_1(x) = x^3 + 14x^2 + 58x + 60$.

Деление на $(x+6)$

Теперь необходимо проверить делимость исходного многочлена на $(x+6)$. Поскольку мы уже показали делимость на $(x+2)$, достаточно проверить, делится ли полученное частное $P_1(x)$ на $(x+6)$. Применим схему Горнера для $P_1(x)$ и корня $c = -6$.

Остаток снова равен 0. Это означает, что многочлен $P_1(x)$ делится на $(x+6)$ без остатка.

Вывод

Мы показали, что $P(x) = (x+2) \cdot P_1(x)$ и $P_1(x) = (x+6) \cdot (x^2 + 8x + 10)$.

Следовательно, $P(x) = (x+2)(x+6)(x^2 + 8x + 10)$.

Поскольку многочлен $P(x)$ содержит произведение $(x+2)(x+6)$ в качестве множителя, он делится на $(x+2)(x+6)$ нацело.

Ответ: С помощью схемы Горнера было последовательно показано, что многочлен $P(x)$ делится на $(x+2)$ (остаток 0), и что полученное частное $P_1(x)$ в свою очередь делится на $(x+6)$ (остаток 0). Это доказывает, что исходный многочлен $(x^2 + 4x + 3)(x^2 + 12x + 35) + 15$ делится на многочлен $(x + 2)(x + 6)$ без остатка.