Страница 150 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.46. С помощью схемы Горнера покажите, что многочлен $(x^2 + 4x + 3)(x^2 + 12x + 35) + 15$ делится на многочлен $(x + 2)(x + 6)$.

Чтобы доказать, что многочлен $P(x) = (x^2 + 4x + 3)(x^2 + 12x + 35) + 15$ делится на многочлен $Q(x) = (x + 2)(x + 6)$, необходимо показать, что $P(x)$ делится на каждый из множителей $Q(x)$, то есть на $(x+2)$ и на $(x+6)$. Согласно теореме Безу, это равносильно проверке того, что корни многочлена-делителя, $x = -2$ и $x = -6$, являются корнями многочлена-делимого, то есть $P(-2) = 0$ и $P(-6) = 0$. Мы воспользуемся схемой Горнера для проверки этих условий.

Преобразование исходного многочлена

Сначала приведем многочлен $P(x)$ к каноническому виду (в порядке убывания степеней $x$).

$P(x) = (x^2 + 4x + 3)(x^2 + 12x + 35) + 15$

Разложим трехчлены на множители:

$x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3)$

$x^2 + 12x + 35 = (x+5)(x+7)$

Тогда $P(x) = (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 15$.

Сгруппируем множители для удобства:

$P(x) = [(x+1)(x+7)][(x+3)(x+5)] + 15 = (x^2 + 8x + 7)(x^2 + 8x + 15) + 15$

Сделаем замену $t = x^2 + 8x$:

$P(x) = (t+7)(t+15) + 15 = t^2 + 22t + 105 + 15 = t^2 + 22t + 120$

Вернемся к переменной $x$:

$P(x) = (x^2+8x)^2 + 22(x^2+8x) + 120 = (x^4 + 16x^3 + 64x^2) + (22x^2 + 176x) + 120$

$P(x) = x^4 + 16x^3 + 86x^2 + 176x + 120$

Коэффициенты многочлена $P(x)$ равны $1, 16, 86, 176, 120$.

Проверка делимости с помощью схемы Горнера

Деление на $(x+2)$

Применим схему Горнера для деления $P(x)$ на $(x+2)$, что соответствует проверке корня $c = -2$.

Остаток от деления равен 0, следовательно, $P(x)$ делится на $(x+2)$ без остатка. В результате деления получается многочлен-частное $P_1(x) = x^3 + 14x^2 + 58x + 60$.

Деление на $(x+6)$

Теперь необходимо проверить делимость исходного многочлена на $(x+6)$. Поскольку мы уже показали делимость на $(x+2)$, достаточно проверить, делится ли полученное частное $P_1(x)$ на $(x+6)$. Применим схему Горнера для $P_1(x)$ и корня $c = -6$.

Остаток снова равен 0. Это означает, что многочлен $P_1(x)$ делится на $(x+6)$ без остатка.

Вывод

Мы показали, что $P(x) = (x+2) \cdot P_1(x)$ и $P_1(x) = (x+6) \cdot (x^2 + 8x + 10)$.

Следовательно, $P(x) = (x+2)(x+6)(x^2 + 8x + 10)$.

Поскольку многочлен $P(x)$ содержит произведение $(x+2)(x+6)$ в качестве множителя, он делится на $(x+2)(x+6)$ нацело.

Ответ: С помощью схемы Горнера было последовательно показано, что многочлен $P(x)$ делится на $(x+2)$ (остаток 0), и что полученное частное $P_1(x)$ в свою очередь делится на $(x+6)$ (остаток 0). Это доказывает, что исходный многочлен $(x^2 + 4x + 3)(x^2 + 12x + 35) + 15$ делится на многочлен $(x + 2)(x + 6)$ без остатка.

5.47. Покажите, что многочлен $x^5 - 6x^4 + 16x^3 - 32x^2 + 48x - 32$ делится на $(x - 2)^2$.

Чтобы доказать, что многочлен $P(x) = x^5 - 6x^4 + 16x^3 - 32x^2 + 48x - 32$ делится на $(x - 2)^2$, необходимо показать, что $x=2$ является корнем многочлена $P(x)$ кратности не менее 2. Рассмотрим два способа доказательства.

Согласно свойству кратных корней, число $a$ является корнем многочлена $P(x)$ кратности не менее 2, если $P(a) = 0$ и его первая производная $P'(a) = 0$. Проверим эти условия для нашего многочлена в точке $x=2$.

Сначала вычислим значение многочлена $P(x)$ в точке $x=2$:

$P(2) = 2^5 - 6 \cdot 2^4 + 16 \cdot 2^3 - 32 \cdot 2^2 + 48 \cdot 2 - 32 = 32 - 6(16) + 16(8) - 32(4) + 96 - 32 = 32 - 96 + 128 - 128 + 96 - 32 = 0$.

Поскольку $P(2)=0$, многочлен делится на $(x-2)$.

Теперь найдем первую производную многочлена $P'(x)$:

$P'(x) = (x^5 - 6x^4 + 16x^3 - 32x^2 + 48x - 32)' = 5x^4 - 24x^3 + 48x^2 - 64x + 48$.

Вычислим значение производной в точке $x=2$:

$P'(2) = 5 \cdot 2^4 - 24 \cdot 2^3 + 48 \cdot 2^2 - 64 \cdot 2 + 48 = 5(16) - 24(8) + 48(4) - 128 + 48 = 80 - 192 + 192 - 128 + 48 = 128 - 128 = 0$.

Так как $P(2)=0$ и $P'(2)=0$, число $x=2$ является корнем многочлена $P(x)$ кратности не менее 2. Следовательно, многочлен $P(x)$ делится на $(x-2)^2$.

Ответ: Делимость доказана, так как значение многочлена и его первой производной в точке $x=2$ равны нулю, что является условием для наличия корня кратности не менее 2.

Для того чтобы многочлен $P(x)$ делился на $(x-2)^2$, он должен делиться на $(x-2)$, и получившееся частное также должно делиться на $(x-2)$.

1. Выполним деление $P(x) = x^5 - 6x^4 + 16x^3 - 32x^2 + 48x - 32$ на $(x-2)$ по схеме Горнера.

Остаток от деления равен 0. Частное от деления: $Q(x) = x^4 - 4x^3 + 8x^2 - 16x + 16$.

2. Теперь разделим полученное частное $Q(x)$ на $(x-2)$.

Остаток снова равен 0. Новое частное: $R(x) = x^3 - 2x^2 + 4x - 8$.

Поскольку оба деления выполнились без остатка, мы можем записать: $P(x) = (x-2) \cdot Q(x) = (x-2) \cdot (x-2) \cdot R(x) = (x-2)^2(x^3 - 2x^2 + 4x - 8)$.

Это равенство в явном виде показывает, что многочлен $P(x)$ делится на $(x-2)^2$.

Ответ: Делимость доказана путем двукратного деления многочлена на $(x-2)$ без остатка.

5.48. Делится ли многочлен $(x^4 - 10x^2 + 16)(x^4 - 11x^2 + 24)$ на $(x^2 - 8)^2$?

Чтобы определить, делится ли многочлен $(x^4 - 10x^2 + 16)(x^4 - 11x^2 + 24)$ на $(x^2 - 8)^2$, разложим делимое на множители. Делимое представляет собой произведение двух биквадратных трехчленов.

Рассмотрим первый множитель: $x^4 - 10x^2 + 16$.Сделаем замену переменной $y = x^2$. Получим квадратный трехчлен $y^2 - 10y + 16$.Найдем корни уравнения $y^2 - 10y + 16 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а произведение равно 16. Корни равны $y_1 = 2$ и $y_2 = 8$.Следовательно, разложение трехчлена на множители имеет вид $(y - 2)(y - 8)$.Возвращаясь к исходной переменной $x$, получаем:$x^4 - 10x^2 + 16 = (x^2 - 2)(x^2 - 8)$.

Теперь рассмотрим второй множитель: $x^4 - 11x^2 + 24$.Аналогично сделаем замену $y = x^2$. Получим $y^2 - 11y + 24$.Найдем корни уравнения $y^2 - 11y + 24 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 11, а произведение равно 24. Корни равны $y_1 = 3$ и $y_2 = 8$.Следовательно, разложение трехчлена на множители имеет вид $(y - 3)(y - 8)$.Возвращаясь к исходной переменной $x$, получаем:$x^4 - 11x^2 + 24 = (x^2 - 3)(x^2 - 8)$.

Теперь перемножим полученные разложения, чтобы получить разложение исходного многочлена:$(x^4 - 10x^2 + 16)(x^4 - 11x^2 + 24) = (x^2 - 2)(x^2 - 8)(x^2 - 3)(x^2 - 8)$.Сгруппировав множители, получим:$(x^2 - 2)(x^2 - 3)(x^2 - 8)^2$.

Нам нужно проверить, делится ли полученное выражение на $(x^2 - 8)^2$.Выполним деление:$\frac{(x^2 - 2)(x^2 - 3)(x^2 - 8)^2}{(x^2 - 8)^2} = (x^2 - 2)(x^2 - 3)$.

Поскольку деление выполняется без остатка (результатом является многочлен), то исходный многочлен делится на $(x^2 - 8)^2$.
Ответ: Да, делится.

5.49. Найдите целые корни многочлена $x^4 - x^3 - 2x^2 - 4x - 24$.

Для нахождения целых корней многочлена с целыми коэффициентами $P(x) = x^4 - x^3 - 2x^2 - 4x - 24$ воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Согласно этой теореме, если многочлен с целыми коэффициентами имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена многочлена.

Свободный член данного многочлена равен $-24$.

Найдем все целые делители числа $-24$. Это числа: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$. Эти числа являются кандидатами в целые корни нашего многочлена.

Теперь будем последовательно подставлять эти значения в многочлен, чтобы проверить, обращают ли они его в ноль.

Пусть $P(x) = x^4 - x^3 - 2x^2 - 4x - 24$.

• $P(1) = 1^4 - 1^3 - 2(1)^2 - 4(1) - 24 = 1 - 1 - 2 - 4 - 24 = -30 \neq 0$
• $P(-1) = (-1)^4 - (-1)^3 - 2(-1)^2 - 4(-1) - 24 = 1 + 1 - 2 + 4 - 24 = -20 \neq 0$
• $P(2) = 2^4 - 2^3 - 2(2)^2 - 4(2) - 24 = 16 - 8 - 8 - 8 - 24 = -32 \neq 0$
• $P(-2) = (-2)^4 - (-2)^3 - 2(-2)^2 - 4(-2) - 24 = 16 - (-8) - 2(4) + 8 - 24 = 16 + 8 - 8 + 8 - 24 = 0$.
  Таким образом, $x_1 = -2$ является корнем многочлена.
• $P(3) = 3^4 - 3^3 - 2(3)^2 - 4(3) - 24 = 81 - 27 - 18 - 12 - 24 = 81 - 81 = 0$.
  Таким образом, $x_2 = 3$ является корнем многочлена.

Мы нашли два целых корня: $-2$ и $3$. Это означает, что многочлен делится на $(x - (-2)) = (x+2)$ и на $(x-3)$. Следовательно, он делится и на их произведение: $(x+2)(x-3) = x^2 - x - 6$.

Чтобы найти остальные корни, разделим исходный многочлен на $x^2 - x - 6$. Это можно сделать, например, делением в столбик:

$(x^4 - x^3 - 2x^2 - 4x - 24) : (x^2 - x - 6) = x^2 + 4$

Таким образом, многочлен можно разложить на множители:

$x^4 - x^3 - 2x^2 - 4x - 24 = (x^2 - x - 6)(x^2 + 4) = (x+2)(x-3)(x^2+4)$

Теперь приравняем к нулю третий множитель, чтобы найти оставшиеся корни:

$x^2 + 4 = 0$

$x^2 = -4$

Это уравнение не имеет действительных корней, а значит, и целых корней тоже. Его корни являются комплексными числами ($x = \pm 2i$).

Следовательно, единственными целыми корнями исходного многочлена являются найденные нами ранее $-2$ и $3$.

Ответ: $-2, 3$.

5.50. Найдите сумму коэффициентов многочлена

$(1 + 2x - 4x^2)^{24} \cdot (1 - 7x + 5x^2)^{25}$.

Сумма коэффициентов любого многочлена $P(x)$ равна значению этого многочлена при $x=1$, то есть $P(1)$.

Пусть наш многочлен будет $P(x) = (1 + 2x - 4x^2)^{24} \cdot (1 - 7x + 5x^2)^{25}$.

Чтобы найти сумму его коэффициентов, нужно вычислить $P(1)$. Для этого подставим значение $x=1$ в выражение:

$P(1) = (1 + 2 \cdot 1 - 4 \cdot 1^2)^{24} \cdot (1 - 7 \cdot 1 + 5 \cdot 1^2)^{25}$

Сначала вычислим значения в каждой из скобок:

Первая скобка: $1 + 2 - 4 = -1$.

Вторая скобка: $1 - 7 + 5 = -1$.

Теперь подставим эти результаты обратно в выражение для $P(1)$:

$P(1) = (-1)^{24} \cdot (-1)^{25}$

Так как 24 — это четное число, то $(-1)^{24} = 1$.

Так как 25 — это нечетное число, то $(-1)^{25} = -1$.

Следовательно, итоговое значение равно:

$P(1) = 1 \cdot (-1) = -1$

Ответ: -1

5.51. Покажите, что значение суммы $f(a+\sqrt{b})+f(a-\sqrt{b})$ равно целому числу, если $f(x)$ – многочлен с целыми коэффициентами. Здесь $a$ и $b$ ($b > 0$) – любые целые числа.

5.51. Пусть $f(x)$ — многочлен с целыми коэффициентами $c_k \in \mathbb{Z}$. Это означает, что его можно представить в виде суммы:

$f(x) = c_n x^n + c_{n-1} x^{n-1} + \dots + c_1 x + c_0 = \sum_{k=0}^{n} c_k x^k$.

По условию задачи $a$ и $b$ ($b > 0$) — целые числа. Нам нужно доказать, что сумма $S = f(a + \sqrt{b}) + f(a - \sqrt{b})$ является целым числом.

Подставим $x = a + \sqrt{b}$ и $x = a - \sqrt{b}$ в выражение для многочлена:

$S = \left(\sum_{k=0}^{n} c_k (a + \sqrt{b})^k\right) + \left(\sum_{k=0}^{n} c_k (a - \sqrt{b})^k\right)$.

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами $c_k$:

$S = \sum_{k=0}^{n} c_k \left[ (a + \sqrt{b})^k + (a - \sqrt{b})^k \right]$.

Поскольку все коэффициенты $c_k$ по условию являются целыми числами, то вся сумма $S$ будет целой, если для каждого целого $k \ge 0$ выражение $T_k = (a + \sqrt{b})^k + (a - \sqrt{b})^k$ является целым числом.

Раскроем степени с помощью формулы бинома Ньютона:

$(a + \sqrt{b})^k = \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} a^{k-j} (\sqrt{b})^j$

$(a - \sqrt{b})^k = \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} a^{k-j} (-\sqrt{b})^j = \sum_{j=0}^{k} (-1)^j \binom{k}{j} a^{k-j} (\sqrt{b})^j$

Сложим эти два выражения:

$T_k = (a+\sqrt{b})^k + (a-\sqrt{b})^k = \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} a^{k-j} (\sqrt{b})^j (1 + (-1)^j)$.

Рассмотрим множитель $(1 + (-1)^j)$. Если $j$ нечетно, то $1+(-1)^j = 0$, и соответствующее слагаемое равно нулю. Если $j$ четно, то $1+(-1)^j = 2$. Таким образом, в сумме остаются только слагаемые с четными индексами $j$. Эти слагаемые как раз не содержат иррациональности, так как $\sqrt{b}$ возводится в четную степень.

Пусть $j = 2m$, где $m$ — целое число от $0$ до $\lfloor k/2 \rfloor$. Тогда $(\sqrt{b})^j = (\sqrt{b})^{2m} = ((\sqrt{b})^2)^m = b^m$. Выражение для $T_k$ принимает вид:

$T_k = 2 \sum_{m=0}^{\lfloor k/2 \rfloor} \binom{k}{2m} a^{k-2m} b^m$.

В этом выражении все компоненты являются целыми числами: $2$, биномиальный коэффициент $\binom{k}{2m}$, а также $a$, $b$ и их степени (так как $a, b \in \mathbb{Z}$). Сумма и произведение целых чисел также являются целыми числами. Следовательно, $T_k$ — целое число для любого $k \ge 0$.

Возвращаясь к исходной сумме $S = \sum_{k=0}^{n} c_k T_k$, мы видим, что она представляет собой сумму произведений целых чисел ($c_k$ — целые по условию, $T_k$ — целые, как доказано выше). Такая сумма всегда является целым числом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Значение суммы $f(a+\sqrt{b})+f(a-\sqrt{b})$ является целым числом. Это следует из того, что при разложении каждого слагаемого $(a \pm \sqrt{b})^k$ по формуле бинома Ньютона и последующем сложении, все члены, содержащие $\sqrt{b}$ в нечетной степени (потенциально иррациональные части), сокращаются. Оставшиеся члены содержат только целые степени целых чисел $a$ и $b$ с целыми коэффициентами, что в итоге дает целое число.

5.52. Делится ли многочлен $x^{2006} - 3x + 2$ на двучлен $x^2 - 1$?

Для того чтобы многочлен $P(x) = x^{2006} - 3x + 2$ делился нацело на двучлен $D(x) = x^2 - 1$, необходимо и достаточно, чтобы все корни двучлена $D(x)$ были также и корнями многочлена $P(x)$. Это является следствием из теоремы Безу.

1. Найдем корни двучлена $D(x) = x^2 - 1$.

Приравняем двучлен к нулю и решим уравнение:$x^2 - 1 = 0$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов:$(x - 1)(x + 1) = 0$

Корнями этого уравнения являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

2. Проверим, являются ли $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$ корнями многочлена $P(x) = x^{2006} - 3x + 2$.

Для этого вычислим значения многочлена в этих точках.

Проверка для $x_1 = 1$:$P(1) = (1)^{2006} - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.

Так как $P(1) = 0$, то многочлен $P(x)$ делится на $(x - 1)$ без остатка.

Проверка для $x_2 = -1$:$P(-1) = (-1)^{2006} - 3(-1) + 2$.

Поскольку 2006 — это четное число, $(-1)^{2006} = 1$.$P(-1) = 1 + 3 + 2 = 6$.

Так как $P(-1) = 6 \ne 0$, то многочлен $P(x)$ не делится на $(x + 1)$ без остатка. Остаток от деления равен 6.

Поскольку многочлен $x^{2006} - 3x + 2$ не делится на один из множителей двучлена $x^2 - 1$ (а именно на $x + 1$), он не может делиться и на сам двучлен $x^2 - 1$.

Ответ: нет, не делится.

5.53. При делении многочлена на двучлен $x - 1$ остаток равен 3, а при делении на двучлен $x - 2$ остаток равен 4. Чему равен остаток от деления этого многочлена на многочлен $(x - 1)(x - 2)$?

Пусть $P(x)$ — это исходный многочлен. Для решения задачи воспользуемся теоремой Безу.

1. Применение теоремы Безу к условиям задачи

Теорема Безу гласит, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x - a$ равен значению многочлена в точке $a$, то есть $P(a)$.

Из первого условия, при делении $P(x)$ на $x - 1$ остаток равен 3. Согласно теореме Безу, это означает, что:

$P(1) = 3$

Из второго условия, при делении $P(x)$ на $x - 2$ остаток равен 4. Это означает, что:

$P(2) = 4$

2. Определение вида искомого остатка

Мы ищем остаток от деления многочлена $P(x)$ на многочлен $(x - 1)(x - 2)$. Степень этого многочлена-делителя равна 2, так как $(x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2$.

По теореме о делении с остатком, степень остатка всегда строго меньше степени делителя. Следовательно, остаток $R(x)$ должен быть многочленом степени не выше 1. Запишем его в общем виде:

$R(x) = ax + b$

где $a$ и $b$ — неизвестные коэффициенты, которые нам нужно найти.

3. Составление уравнения деления

Деление многочлена $P(x)$ на $(x - 1)(x - 2)$ с остатком можно записать в виде равенства:

$P(x) = (x - 1)(x - 2) \cdot Q(x) + R(x)$

где $Q(x)$ — это частное от деления. Подставив вид остатка, получаем:

$P(x) = (x - 1)(x - 2) \cdot Q(x) + ax + b$

4. Нахождение коэффициентов остатка

Чтобы найти коэффициенты $a$ и $b$, воспользуемся известными нам значениями $P(1)$ и $P(2)$. Подставим в наше уравнение поочередно $x = 1$ и $x = 2$.

При $x = 1$:

$P(1) = (1 - 1)(1 - 2) \cdot Q(1) + a \cdot 1 + b$

$P(1) = 0 \cdot Q(1) + a + b$

$P(1) = a + b$

Так как мы знаем, что $P(1) = 3$, получаем первое уравнение:

$a + b = 3$

При $x = 2$:

$P(2) = (2 - 1)(2 - 2) \cdot Q(2) + a \cdot 2 + b$

$P(2) = 1 \cdot 0 \cdot Q(2) + 2a + b$

$P(2) = 2a + b$

Так как мы знаем, что $P(2) = 4$, получаем второе уравнение:

$2a + b = 4$

5. Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} a + b = 3 \\ 2a + b = 4 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $a$:

$(2a + b) - (a + b) = 4 - 3$

$a = 1$

Теперь подставим найденное значение $a = 1$ в первое уравнение, чтобы найти $b$:

$1 + b = 3$

$b = 3 - 1$

$b = 2$

6. Формирование ответа

Мы нашли коэффициенты остатка: $a = 1$ и $b = 2$. Подставляем их в выражение для остатка $R(x) = ax + b$:

$R(x) = 1 \cdot x + 2 = x + 2$

Следовательно, остаток от деления исходного многочлена на $(x - 1)(x - 2)$ равен $x + 2$.

Ответ: $x + 2$

5.54. При делении многочлена на двучлены $(x+1)$, $(x-2)$ и $(x-3)$ получаются остатки, равные 3, 1, -1 соответственно. Чему равен остаток от деления этого многочлена на многочлен $(x+1)(x-2)(x-3)$?

Пусть $P(x)$ — исходный многочлен. Согласно теореме Безу (следствию из теоремы о делении многочленов с остатком), остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - a)$ равен значению этого многочлена в точке $a$, то есть $P(a)$.

Исходя из условий задачи, мы можем записать следующие равенства:

1. При делении $P(x)$ на $(x + 1)$, или $(x - (-1))$, остаток равен 3. Следовательно, $P(-1) = 3$.

2. При делении $P(x)$ на $(x - 2)$ остаток равен 1. Следовательно, $P(2) = 1$.

3. При делении $P(x)$ на $(x - 3)$ остаток равен -1. Следовательно, $P(3) = -1$.

Теперь рассмотрим деление многочлена $P(x)$ на многочлен $D(x) = (x + 1)(x - 2)(x - 3)$. Делитель $D(x)$ является многочленом третьей степени. Согласно теореме о делении с остатком, остаток $R(x)$ должен иметь степень, меньшую степени делителя. Таким образом, степень $R(x)$ не может быть выше 2. Запишем остаток в общем виде как многочлен второй степени: $R(x) = ax^2 + bx + c$.

Процесс деления можно представить уравнением:

$P(x) = (x + 1)(x - 2)(x - 3) \cdot Q(x) + ax^2 + bx + c$,

где $Q(x)$ — частное от деления.

Теперь мы можем использовать известные значения $P(-1)$, $P(2)$ и $P(3)$ для нахождения коэффициентов $a$, $b$ и $c$. Подставим значения $x = -1$, $x = 2$ и $x = 3$ в это уравнение.

При $x = -1$:

$P(-1) = (-1 + 1)(-1 - 2)(-1 - 3) \cdot Q(-1) + a(-1)^2 + b(-1) + c$

$3 = 0 \cdot Q(-1) + a - b + c$

$a - b + c = 3$

При $x = 2$:

$P(2) = (2 + 1)(2 - 2)(2 - 3) \cdot Q(2) + a(2)^2 + b(2) + c$

$1 = 0 \cdot Q(2) + 4a + 2b + c$

$4a + 2b + c = 1$

При $x = 3$:

$P(3) = (3 + 1)(3 - 2)(3 - 3) \cdot Q(3) + a(3)^2 + b(3) + c$

$-1 = 0 \cdot Q(3) + 9a + 3b + c$

$9a + 3b + c = -1$

Мы получили систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

$\begin{cases}a - b + c = 3 & \text{(1)} \\4a + 2b + c = 1 & \text{(2)} \\9a + 3b + c = -1 & \text{(3)}\end{cases}$

Решим эту систему. Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$(4a + 2b + c) - (a - b + c) = 1 - 3 \implies 3a + 3b = -2$ (4)

Вычтем уравнение (2) из уравнения (3):

$(9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = -1 - 1 \implies 5a + b = -2$ (5)

Из уравнения (5) выразим $b$:

$b = -2 - 5a$

Подставим это выражение для $b$ в уравнение (4):

$3a + 3(-2 - 5a) = -2$

$3a - 6 - 15a = -2$

$-12a = 4$

$a = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$

Теперь найдем $b$, подставив значение $a$ в выражение для $b$:

$b = -2 - 5(-\frac{1}{3}) = -2 + \frac{5}{3} = -\frac{6}{3} + \frac{5}{3} = -\frac{1}{3}$

Наконец, найдем $c$ из уравнения (1):

$c = 3 - a + b = 3 - (-\frac{1}{3}) + (-\frac{1}{3}) = 3 + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 3$

Таким образом, коэффициенты многочлена-остатка равны $a = -\frac{1}{3}$, $b = -\frac{1}{3}$, $c = 3$.

Искомый остаток $R(x)$ имеет вид:

$R(x) = -\frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{3}x + 3$

Ответ: Остаток от деления равен $-\frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{3}x + 3$.

5.55. Найдите общие корни уравнений $x^6 + 2x^5 + 3x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x - 1 = 0$ и $x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 5x + 2 = 0$.

Для нахождения общих корней двух уравнений найдем корни одного из них (уравнения меньшей степени) и проверим, являются ли они корнями второго уравнения.

Обозначим многочлены:
$P(x) = x^6 + 2x^5 + 3x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x - 1$
$Q(x) = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 5x + 2$

Рассмотрим второе уравнение $Q(x) = 0$. Разложим многочлен $Q(x)$ на множители. Заметим, что его коэффициенты близки к биномиальным коэффициентам для четвертой степени:$Q(x) = (x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) + x + 1 = (x+1)^4 + (x+1)$.

Вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:$Q(x) = (x+1)((x+1)^3 + 1)$.

Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ для второго множителя, где $a = x+1$ и $b=1$:$(x+1)^3 + 1 = ((x+1)+1)((x+1)^2 - (x+1) \cdot 1 + 1^2) = (x+2)(x^2+2x+1-x-1+1) = (x+2)(x^2+x+1)$.

Таким образом, разложение многочлена $Q(x)$ на множители имеет вид:$Q(x) = (x+1)(x+2)(x^2+x+1)$.

Корнями уравнения $Q(x)=0$ являются корни уравнений $x+1=0$, $x+2=0$ и $x^2+x+1=0$.

Теперь последовательно проверим, какие из этих корней являются корнями первого уравнения $P(x)=0$.

1. Проверка корня $x=-1$ (из $x+1=0$)
Подставим $x=-1$ в $P(x)$:$P(-1) = (-1)^6 + 2(-1)^5 + 3(-1)^4 + 2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 2(-1) - 1 = 1 - 2 + 3 - 2 + 3 - 2 - 1 = (1+3+3) - (2+2+2+1) = 7 - 7 = 0$.
Следовательно, $x=-1$ является общим корнем.

2. Проверка корня $x=-2$ (из $x+2=0$)
Подставим $x=-2$ в $P(x)$:$P(-2) = (-2)^6 + 2(-2)^5 + 3(-2)^4 + 2(-2)^3 + 3(-2)^2 + 2(-2) - 1$
$= 64 + 2(-32) + 3(16) + 2(-8) + 3(4) - 4 - 1$
$= 64 - 64 + 48 - 16 + 12 - 4 - 1 = 39$.
Поскольку $P(-2) = 39 \neq 0$, $x=-2$ не является общим корнем.

3. Проверка корней уравнения $x^2+x+1=0$
Пусть $x_0$ — любой корень этого уравнения. Тогда для него выполняется равенство $x_0^2+x_0+1=0$. Чтобы проверить, является ли $x_0$ корнем $P(x)=0$, разделим многочлен $P(x)$ на $x^2+x+1$ с остатком. Выполнив деление столбиком или сгруппировав члены, можно получить следующее тождество:$P(x) = (x^4+x^3+x^2+2)(x^2+x+1) - 3$.Подставим корень $x_0$ в это выражение:$P(x_0) = (x_0^4+x_0^3+x_0^2+2)(x_0^2+x_0+1) - 3 = (x_0^4+x_0^3+x_0^2+2) \cdot 0 - 3 = -3$.
Поскольку $P(x_0) = -3 \neq 0$, корни уравнения $x^2+x+1=0$ не являются корнями уравнения $P(x)=0$.

Мы проверили все корни уравнения $Q(x)=0$. Единственным корнем, который также удовлетворяет уравнению $P(x)=0$, является $x=-1$.

Ответ: $x=-1$.

5.56. Числа $x_1$, $x_2$, $x_3$ являются корнями уравнения $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$. Докажите справедливость формулы Виета:

$\begin{cases}x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}, \\x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}, \\x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}.\end{cases}$

Для доказательства формул Виета для кубического уравнения воспользуемся теоремой о разложении многочлена на множители. Если числа $x_1$, $x_2$ и $x_3$ являются корнями уравнения $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$, то многочлен в левой части уравнения можно представить в виде произведения:

$ax^3 + bx^2 + cx + d = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$

Коэффициент $a$ в правой части необходим, чтобы старшие коэффициенты (при $x^3$) в обеих частях равенства совпадали.

Теперь раскроем скобки в правой части этого тождества. Сначала перемножим две последние скобки:

$(x - x_2)(x - x_3) = x^2 - x_3x - x_2x + x_2x_3 = x^2 - (x_2 + x_3)x + x_2x_3$

Теперь умножим полученное выражение на $(x - x_1)$:

$(x - x_1)(x^2 - (x_2 + x_3)x + x_2x_3) = x(x^2 - (x_2 + x_3)x + x_2x_3) - x_1(x^2 - (x_2 + x_3)x + x_2x_3)$

$= x^3 - (x_2 + x_3)x^2 + x_2x_3x - x_1x^2 + x_1(x_2 + x_3)x - x_1x_2x_3$

Сгруппируем слагаемые при одинаковых степенях $x$:

$= x^3 - (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - x_1x_2x_3$

Наконец, умножим всё выражение на коэффициент $a$:

$a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = ax^3 - a(x_1 + x_2 + x_3)x^2 + a(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - ax_1x_2x_3$

Таким образом, мы получили тождество:

$ax^3 + bx^2 + cx + d \equiv ax^3 - a(x_1 + x_2 + x_3)x^2 + a(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - ax_1x_2x_3$

Два многочлена тождественно равны, если равны их коэффициенты при соответствующих степенях переменной $x$. Приравняем их.

$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$

Сравним коэффициенты при $x^2$:

$b = -a(x_1 + x_2 + x_3)$

Поскольку $a \neq 0$ (иначе уравнение не было бы кубическим), мы можем разделить обе части равенства на $-a$:

$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$

Эта формула связывает сумму корней с коэффициентами $a$ и $b$.

Ответ: Первое соотношение доказано.

$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}$

Сравним коэффициенты при $x$:

$c = a(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)$

Разделим обе части на $a \neq 0$:

$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}$

Эта формула связывает сумму попарных произведений корней с коэффициентами $a$ и $c$.

Ответ: Второе соотношение доказано.

$x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}$

Сравним свободные члены (коэффициенты при $x^0$):

$d = -ax_1x_2x_3$

Разделим обе части на $-a \neq 0$:

$x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}$

Эта формула связывает произведение корней с коэффициентами $a$ и $d$.

Ответ: Третье соотношение доказано.

5.57. Числа $x_1, x_2, ..., x_n$ являются корнями многочлена $f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_n, a_0 \neq 0, a_n \neq 0$. Найдите корни многочленов

$g(x) = a_0x^n - a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} - ... + (-1)^na_n$,

$\varphi(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_{n-1}x^{n-1} + a_nx^n$.

g(x)

Дан многочлен $f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \dots + a_n$, корнями которого являются числа $x_1, x_2, \dots, x_n$. Это означает, что $f(x_i) = 0$ для всех $i=1, \dots, n$.Требуется найти корни многочлена $g(x) = a_0x^n - a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} - \dots + (-1)^n a_n$.Рассмотрим, как связан многочлен $g(x)$ с многочленом $f(x)$. Для этого вычислим значение $f(-x)$:$f(-x) = a_0(-x)^n + a_1(-x)^{n-1} + a_2(-x)^{n-2} + \dots + a_{n-1}(-x) + a_n$$f(-x) = a_0(-1)^n x^n + a_1(-1)^{n-1} x^{n-1} + a_2(-1)^{n-2} x^{n-2} + \dots - a_{n-1}x + a_n$Вынесем общий множитель $(-1)^n$ за скобки:$f(-x) = (-1)^n (a_0x^n + \frac{a_1(-1)^{n-1}}{(-1)^n} x^{n-1} + \frac{a_2(-1)^{n-2}}{(-1)^n} x^{n-2} + \dots + \frac{a_n}{(-1)^n})$$f(-x) = (-1)^n (a_0x^n - a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} - \dots + (-1)^n a_n)$Выражение в скобках является в точности многочленом $g(x)$.Таким образом, мы получили соотношение: $g(x) = (-1)^n f(-x)$.Чтобы найти корни многочлена $g(x)$, нужно решить уравнение $g(x) = 0$:$(-1)^n f(-x) = 0$Это эквивалентно уравнению $f(-x) = 0$.Пусть $y$ — корень многочлена $g(x)$. Тогда $f(-y) = 0$.Но мы знаем, что корнями многочлена $f(z)$ являются числа $x_1, x_2, \dots, x_n$.Следовательно, $-y$ должно быть одним из этих чисел: $-y \in \{x_1, x_2, \dots, x_n\}$.Отсюда следует, что $y \in \{-x_1, -x_2, \dots, -x_n\}$.Таким образом, корнями многочлена $g(x)$ являются числа, противоположные корням многочлена $f(x)$.

Ответ: $-x_1, -x_2, \dots, -x_n$.

φ(x)

Дан многочлен $f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n$ с корнями $x_1, x_2, \dots, x_n$.Требуется найти корни многочлена $\varphi(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n$.По условию $a_n \neq 0$, значит $f(0)=a_n \neq 0$, следовательно, ни один из корней $x_i$ не равен нулю.Также по условию $a_0 \neq 0$, значит $\varphi(0)=a_0 \neq 0$, следовательно, $x=0$ не является корнем многочлена $\varphi(x)$.Свяжем многочлен $\varphi(x)$ с многочленом $f(x)$. Рассмотрим выражение $x^n f(1/x)$:$x^n f(1/x) = x^n \left( a_0\left(\frac{1}{x}\right)^n + a_1\left(\frac{1}{x}\right)^{n-1} + a_2\left(\frac{1}{x}\right)^{n-2} + \dots + a_{n-1}\frac{1}{x} + a_n \right)$$x^n f(1/x) = x^n \left( \frac{a_0}{x^n} + \frac{a_1}{x^{n-1}} + \frac{a_2}{x^{n-2}} + \dots + \frac{a_{n-1}}{x} + a_n \right)$Раскрыв скобки, получим:$x^n f(1/x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{n-1}x^{n-1} + a_nx^n$Это выражение в точности совпадает с многочленом $\varphi(x)$.Таким образом, $\varphi(x) = x^n f(1/x)$.Чтобы найти корни многочлена $\varphi(x)$, решим уравнение $\varphi(x) = 0$:$x^n f(1/x) = 0$.Так как мы установили, что $x=0$ не является корнем, мы можем разделить обе части уравнения на $x^n \neq 0$:$f(1/x) = 0$.Пусть $y$ — корень многочлена $\varphi(x)$. Тогда $f(1/y) = 0$.Но мы знаем, что корнями многочлена $f(z)$ являются числа $x_1, x_2, \dots, x_n$.Следовательно, $1/y$ должно быть одним из этих чисел: $1/y \in \{x_1, x_2, \dots, x_n\}$.Отсюда следует, что $y \in \{1/x_1, 1/x_2, \dots, 1/x_n\}$.Таким образом, корнями многочлена $\varphi(x)$ являются числа, обратные корням многочлена $f(x)$.

Ответ: $1/x_1, 1/x_2, \dots, 1/x_n$.