Страница 156 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 5.68, 5.69 решите уравнения.

5. 68.

1) $x^4 + x^3 - 4x^2 + x + 1 = 0;$

2) $6x^4 + 5x^3 - 38x^2 + 5x + 6 = 0;$

3) $x^3 - 3x^2 - 3x + 1 = 0;$

4) $3x^3 - 7x^2 - 7x + 3 = 0;$

5) $5x^4 - 12x^3 + 11x^2 - 12x + 5 = 0;$

6) $x^4 + 5x^3 + 4x^2 - 5x + 1 = 0.$

1) $x^4 + x^3 - 4x^2 + x + 1 = 0$

Данное уравнение является симметричным (возвратным) уравнением четвертой степени, так как коэффициенты, равноудаленные от концов, равны (1, 1, -4, 1, 1).
Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, так как $1 \neq 0$. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $x^2$.
$x^2 + x - 4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + (x + \frac{1}{x}) - 4 = 0$
Введем новую переменную $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда $y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.
Подставим это в сгруппированное уравнение:
$(y^2 - 2) + y - 4 = 0$
$y^2 + y - 6 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета, корни $y_1 = 2$ и $y_2 = -3$.
Теперь вернемся к переменной $x$.
Случай 1: $y = 2$
$x + \frac{1}{x} = 2 \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x - 1)^2 = 0 \implies x_1 = 1$.
Случай 2: $y = -3$
$x + \frac{1}{x} = -3 \implies x^2 + 3x + 1 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Таким образом, мы получили еще два корня: $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$ и $x_3 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$.
Ответ: $1, \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$.

2) $6x^4 + 5x^3 - 38x^2 + 5x + 6 = 0$

Это также симметричное уравнение четвертой степени. Так как $x=0$ не является корнем, делим уравнение на $x^2$:
$6x^2 + 5x - 38 + \frac{5}{x} + \frac{6}{x^2} = 0$
Группируем слагаемые:
$6(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 5(x + \frac{1}{x}) - 38 = 0$
Делаем замену $y = x + \frac{1}{x}$, тогда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.
$6(y^2 - 2) + 5y - 38 = 0$
$6y^2 - 12 + 5y - 38 = 0$
$6y^2 + 5y - 50 = 0$
Решаем квадратное уравнение для $y$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-50) = 25 + 1200 = 1225 = 35^2$
$y = \frac{-5 \pm 35}{12}$.
$y_1 = \frac{-5 + 35}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}$
$y_2 = \frac{-5 - 35}{12} = \frac{-40}{12} = -\frac{10}{3}$
Возвращаемся к $x$:
Случай 1: $y = \frac{5}{2}$
$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \implies 2x^2 - 5x + 2 = 0$.
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
$x = \frac{5 \pm 3}{4}$. Отсюда $x_1 = \frac{8}{4} = 2$, $x_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Случай 2: $y = -\frac{10}{3}$
$x + \frac{1}{x} = -\frac{10}{3} \implies 3x^2 + 10x + 3 = 0$.
$D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.
$x = \frac{-10 \pm 8}{6}$. Отсюда $x_3 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$, $x_4 = \frac{-18}{6} = -3$.
Ответ: $2, \frac{1}{2}, -3, -\frac{1}{3}$.

3) $x^3 - 3x^2 - 3x + 1 = 0$

Это симметричное уравнение третьей степени. Для таких уравнений $x = -1$ всегда является корнем.
Проверим: $(-1)^3 - 3(-1)^2 - 3(-1) + 1 = -1 - 3 + 3 + 1 = 0$.
Разделим многочлен $x^3 - 3x^2 - 3x + 1$ на $(x+1)$ с помощью деления столбиком или схемы Горнера. Результат деления: $x^2 - 4x + 1$.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде: $(x+1)(x^2 - 4x + 1) = 0$.
Один корень $x_1 = -1$.
Остальные корни найдем из уравнения $x^2 - 4x + 1 = 0$.
$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.
$x_2 = 2 + \sqrt{3}$, $x_3 = 2 - \sqrt{3}$.
Ответ: $-1, 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$.

4) $3x^3 - 7x^2 - 7x + 3 = 0$

Это также симметричное уравнение третьей степени, значит $x = -1$ является корнем.
Проверка: $3(-1)^3 - 7(-1)^2 - 7(-1) + 3 = -3 - 7 + 7 + 3 = 0$.
Разделим многочлен $3x^3 - 7x^2 - 7x + 3$ на $(x+1)$.
Получим $3x^2 - 10x + 3$.
Уравнение принимает вид: $(x+1)(3x^2 - 10x + 3) = 0$.
Один корень $x_1 = -1$.
Решаем $3x^2 - 10x + 3 = 0$.
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.
$x = \frac{10 \pm 8}{6}$. Отсюда $x_2 = \frac{18}{6} = 3$, $x_3 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $-1, 3, \frac{1}{3}$.

5) $5x^4 - 12x^3 + 11x^2 - 12x + 5 = 0$

Это симметричное уравнение четвертой степени. Делим на $x^2$ ($x=0$ не корень):
$5x^2 - 12x + 11 - \frac{12}{x} + \frac{5}{x^2} = 0$
$5(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 12(x + \frac{1}{x}) + 11 = 0$
Замена $y = x + \frac{1}{x}$, $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.
$5(y^2 - 2) - 12y + 11 = 0$
$5y^2 - 10 - 12y + 11 = 0$
$5y^2 - 12y + 1 = 0$
Решаем для $y$:
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 144 - 20 = 124$.
$y = \frac{12 \pm \sqrt{124}}{10} = \frac{12 \pm 2\sqrt{31}}{10} = \frac{6 \pm \sqrt{31}}{5}$.
Возвращаемся к $x$:
Случай 1: $y = \frac{6 + \sqrt{31}}{5}$
$x + \frac{1}{x} = \frac{6 + \sqrt{31}}{5} \implies 5x^2 - (6 + \sqrt{31})x + 5 = 0$.
$D_x = (6 + \sqrt{31})^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 36 + 12\sqrt{31} + 31 - 100 = 12\sqrt{31} - 33 > 0$.
$x_{1,2} = \frac{6 + \sqrt{31} \pm \sqrt{12\sqrt{31} - 33}}{10}$.
Случай 2: $y = \frac{6 - \sqrt{31}}{5}$
$x + \frac{1}{x} = \frac{6 - \sqrt{31}}{5} \implies 5x^2 - (6 - \sqrt{31})x + 5 = 0$.
$D_x = (6 - \sqrt{31})^2 - 100 = 36 - 12\sqrt{31} + 31 - 100 = -33 - 12\sqrt{31} < 0$.
$x_{3,4} = \frac{6 - \sqrt{31} \pm \sqrt{-(33 + 12\sqrt{31})}}{10} = \frac{6 - \sqrt{31} \pm i\sqrt{33 + 12\sqrt{31}}}{10}$.
Ответ: $\frac{6 + \sqrt{31} \pm \sqrt{12\sqrt{31} - 33}}{10}, \frac{6 - \sqrt{31} \pm i\sqrt{33 + 12\sqrt{31}}}{10}$.

6) $x^4 + 5x^3 + 4x^2 - 5x + 1 = 0$

Это уравнение не является симметричным в строгом смысле, но решается похожим методом. Коэффициенты при $x^3$ и $x$ противоположны по знаку. Такое уравнение называется кососимметрическим или обобщенным возвратным. $x=0$ не является корнем. Делим на $x^2$:
$x^2 + 5x + 4 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$
Группируем слагаемые:
$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 5(x - \frac{1}{x}) + 4 = 0$
Вводим замену $y = x - \frac{1}{x}$. Тогда $y^2 = (x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 + 2$.
Подставляем в уравнение:
$(y^2 + 2) + 5y + 4 = 0$
$y^2 + 5y + 6 = 0$
Решаем это квадратное уравнение. По теореме Виета, $y_1 = -2$ и $y_2 = -3$.
Возвращаемся к $x$:
Случай 1: $y = -2$
$x - \frac{1}{x} = -2 \implies x^2 + 2x - 1 = 0$.
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.
Случай 2: $y = -3$
$x - \frac{1}{x} = -3 \implies x^2 + 3x - 1 = 0$.
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9+4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$.
Ответ: $-1 \pm \sqrt{2}, \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$.

5.69. 1) $x^4 + 5x^3 + 2x^2 + 5x + 1 = 0;$

2) $6x^4 - 13x^3 + 12x^2 - 13x + 6 = 0;$

3) $x^4 - 10x^3 + 26x^2 - 10x + 1 = 0;$

4) $2x^4 + 3x^3 - 4x^2 - 3x + 2 = 0.$

1) $x^4 + 5x^3 + 2x^2 + 5x + 1 = 0$

Это симметричное (возвратное) уравнение четвертой степени. Так как $x=0$ не является корнем, разделим обе части уравнения на $x^2$:

$x^2 + 5x + 2 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 5(x + \frac{1}{x}) + 2 = 0$

Введем замену переменной $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда $y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда следует, что $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим это выражение в уравнение:

$(y^2 - 2) + 5y + 2 = 0$

$y^2 + 5y = 0$

$y(y+5) = 0$

Отсюда получаем два значения для $y$: $y_1 = 0$ и $y_2 = -5$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, решив два уравнения:

1. При $y=0$ имеем: $x + \frac{1}{x} = 0$. Умножим на $x \neq 0$: $x^2 + 1 = 0$, откуда $x^2 = -1$. Корни этого уравнения $x_{1,2} = \pm i$.

2. При $y=-5$ имеем: $x + \frac{1}{x} = -5$. Умножим на $x$: $x^2 + 1 = -5x$, что равносильно квадратному уравнению $x^2 + 5x + 1 = 0$.

Решим его с помощью формулы для корней квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21$.

Корни: $x_{3,4} = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$.

Ответ: $x \in \{ i, -i, \frac{-5 + \sqrt{21}}{2}, \frac{-5 - \sqrt{21}}{2} \}$.

2) $6x^4 - 13x^3 + 12x^2 - 13x + 6 = 0$

Это симметричное уравнение. Заметим, что $x=0$ не является корнем. Разделим уравнение на $x^2$:

$6x^2 - 13x + 12 - \frac{13}{x} + \frac{6}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$6(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 13(x + \frac{1}{x}) + 12 = 0$

Сделаем замену $y = x + \frac{1}{x}$, тогда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим в уравнение:

$6(y^2 - 2) - 13y + 12 = 0$

$6y^2 - 12 - 13y + 12 = 0$

$6y^2 - 13y = 0$

$y(6y - 13) = 0$

Отсюда $y_1 = 0$ и $y_2 = \frac{13}{6}$.

Произведем обратную замену:

1. При $y=0$: $x + \frac{1}{x} = 0 \implies x^2 + 1 = 0 \implies x_{1,2} = \pm i$.

2. При $y=\frac{13}{6}$: $x + \frac{1}{x} = \frac{13}{6}$. Умножим на $6x$: $6x^2 + 6 = 13x$, что дает уравнение $6x^2 - 13x + 6 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25 = 5^2$.

Корни: $x = \frac{13 \pm 5}{12}$.

$x_3 = \frac{13+5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.

$x_4 = \frac{13-5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $x \in \{ i, -i, \frac{3}{2}, \frac{2}{3} \}$.

3) $x^4 - 10x^3 + 26x^2 - 10x + 1 = 0$

Это симметричное уравнение. Поскольку $x=0$ не является корнем, делим на $x^2$:

$x^2 - 10x + 26 - \frac{10}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

Группируем слагаемые:

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 10(x + \frac{1}{x}) + 26 = 0$

Вводим замену $y = x + \frac{1}{x}$, из которой следует $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставляем:

$(y^2 - 2) - 10y + 26 = 0$

$y^2 - 10y + 24 = 0$

По теореме Виета находим корни: $y_1 + y_2 = 10$, $y_1 \cdot y_2 = 24$. Легко видеть, что $y_1=4$ и $y_2=6$.

Выполняем обратную замену:

1. При $y=4$: $x + \frac{1}{x} = 4 \implies x^2 - 4x + 1 = 0$.

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.

Корни: $x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.

2. При $y=6$: $x + \frac{1}{x} = 6 \implies x^2 - 6x + 1 = 0$.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 36 - 4 = 32$.

Корни: $x = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$.

Ответ: $x \in \{ 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}, 3 + 2\sqrt{2}, 3 - 2\sqrt{2} \}$.

4) $2x^4 + 3x^3 - 4x^2 - 3x + 2 = 0$

Это уравнение является кососимметричным. Так как $x=0$ не корень, делим на $x^2$:

$2x^2 + 3x - 4 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2} = 0$

Группируем:

$2(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 3(x - \frac{1}{x}) - 4 = 0$

Для такого типа уравнений используется замена $y = x - \frac{1}{x}$. Тогда $y^2 = (x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 + 2$.

Подставляем в уравнение:

$2(y^2 + 2) + 3y - 4 = 0$

$2y^2 + 4 + 3y - 4 = 0$

$2y^2 + 3y = 0$

$y(2y + 3) = 0$

Получаем $y_1 = 0$ и $y_2 = -\frac{3}{2}$.

Возвращаемся к переменной $x$:

1. При $y=0$: $x - \frac{1}{x} = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x^2=1$, откуда $x_{1,2} = \pm 1$.

2. При $y = -\frac{3}{2}$: $x - \frac{1}{x} = -\frac{3}{2}$. Умножим на $2x$: $2x^2 - 2 = -3x$, что дает $2x^2 + 3x - 2 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Корни: $x = \frac{-3 \pm 5}{4}$.

$x_3 = \frac{-3+5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$x_4 = \frac{-3-5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.

Ответ: $x \in \{ 1, -1, \frac{1}{2}, -2 \}$.

В упражнениях 5.70 – 5.74 решите уравнения методом разложения на множители.

5. 70.

1) $x^3 - 3x - 2 = 0;$ 2) $x^3 - 19x - 30 = 0;$

3) $2x^3 - x^2 - 1 = 0;$ 4) $x^3 + x - 2 = 0.$

1) $x^3 - 3x - 2 = 0$

Для разложения многочлена на множители найдем один из его корней. Согласно теореме о рациональных корнях, целые корни следует искать среди делителей свободного члена, то есть среди чисел $\pm1, \pm2$.

Подставим $x = -1$ в уравнение: $(-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$. Так как получилось верное равенство, $x = -1$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен $x^3 - 3x - 2$ делится на $(x+1)$.

Выполним разложение на множители методом группировки, добавляя и вычитая $x^2$:

$x^3 + x^2 - x^2 - 3x - 2 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$x^2(x+1) - (x^2 + 3x + 2) = 0$

Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$:

$x^2(x+1) - (x+1)(x+2) = 0$

Вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x+1)(x^2 - (x+2)) = 0$

$(x+1)(x^2 - x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $x+1 = 0 \implies x_1 = -1$.

2) $x^2 - x - 2 = 0$. Решим это квадратное уравнение. Его можно разложить на множители: $(x-2)(x+1)=0$. Отсюда получаем корни $x_2 = 2$ и $x_3 = -1$.

Таким образом, уравнение имеет два различных корня: -1 (кратности 2) и 2.

Ответ: $x = -1, x = 2$.

2) $x^3 - 19x - 30 = 0$

Найдем один из корней подбором среди делителей свободного члена -30 (например, $\pm1, \pm2, \pm3, \pm5, ...$).

Подставим $x = -2$: $(-2)^3 - 19(-2) - 30 = -8 + 38 - 30 = 0$. Значит, $x = -2$ является корнем. Следовательно, многочлен делится на $(x+2)$.

Выполним разложение на множители методом группировки:

$x^3 + 2x^2 - 2x^2 - 19x - 30 = 0$

$x^2(x+2) - (2x^2 + 19x + 30) = 0$

Разделим многочлен $x^3 - 19x - 30$ на $(x+2)$ "уголком" или сгруппируем иначе:

$x^3 + 2x^2 - 2x^2 - 4x - 15x - 30 = 0$

$x^2(x+2) - 2x(x+2) - 15(x+2) = 0$

Вынесем общий множитель $(x+2)$:

$(x+2)(x^2 - 2x - 15) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $x+2 = 0 \implies x_1 = -2$.

2) $x^2 - 2x - 15 = 0$. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни $x_2 = 5$ и $x_3 = -3$.

Уравнение имеет три различных корня.

Ответ: $x = -3, x = -2, x = 5$.

3) $2x^3 - x^2 - 1 = 0$

Возможные рациональные корни уравнения ищем среди чисел $\pm1, \pm1/2$.

Подставим $x = 1$: $2(1)^3 - (1)^2 - 1 = 2 - 1 - 1 = 0$. Значит, $x = 1$ является корнем, и многочлен делится на $(x-1)$.

Разложим левую часть уравнения на множители методом группировки:

$2x^3 - 2x^2 + x^2 - 1 = 0$

$2x^2(x-1) + (x^2-1) = 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ ко второму слагаемому:

$2x^2(x-1) + (x-1)(x+1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x-1)$:

$(x-1)(2x^2 + x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $x-1 = 0 \implies x_1 = 1$.

2) $2x^2 + x + 1 = 0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7$.

Так как дискриминант $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: $x = 1$.

4) $x^3 + x - 2 = 0$

Найдем один из корней подбором среди делителей свободного члена -2: $\pm1, \pm2$.

Подставим $x = 1$: $1^3 + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$. Значит, $x = 1$ является корнем, и многочлен делится на $(x-1)$.

Представим свободный член -2 как $-1-1$ и сгруппируем слагаемые:

$(x^3 - 1) + (x - 1) = 0$

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ к первому слагаемому:

$(x-1)(x^2+x+1) + (x-1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x-1)$:

$(x-1)((x^2+x+1) + 1) = 0$

$(x-1)(x^2 + x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $x-1 = 0 \implies x_1 = 1$.

2) $x^2 + x + 2 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.

Так как дискриминант $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: $x = 1$.

5.71. 1) $x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0$;

2) $3x^3 + 5x^2 + 5x + 3 = 0$;

3) $x^3 - x^2 - 81x + 81 = 0$;

4) $x^3 + 3x^2 - 16x - 48 = 0$.

1) Решим уравнение $x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0$.

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(x^3 + x^2) + (-4x - 4) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 1) - 4(x + 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x + 1)(x^2 - 4) = 0$

Второй множитель $(x^2 - 4)$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x + 1)(x - 2)(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

$x + 2 = 0 \implies x_3 = -2$

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $-2; -1; 2$.

2) Решим уравнение $3x^3 + 5x^2 + 5x + 3 = 0$.

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами:

$(3x^3 + 3) + (5x^2 + 5x) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$3(x^3 + 1) + 5x(x + 1) = 0$

Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ для выражения $(x^3+1)$:

$3(x+1)(x^2-x+1) + 5x(x+1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x+1)[3(x^2-x+1) + 5x] = 0$

Раскроем скобки во втором множителе и упростим выражение:

$(x+1)(3x^2 - 3x + 3 + 5x) = 0$

$(x+1)(3x^2 + 2x + 3) = 0$

Теперь рассмотрим два случая:

1. $x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$

2. $3x^2 + 2x + 3 = 0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 4 - 36 = -32$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет только один действительный корень.

Ответ: $-1$.

3) Решим уравнение $x^3 - x^2 - 81x + 81 = 0$.

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 - x^2) + (-81x + 81) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 1) - 81(x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:

$(x - 1)(x^2 - 81) = 0$

Второй множитель $(x^2 - 81)$ является разностью квадратов:

$(x - 1)(x - 9)(x + 9) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни:

$x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$

$x - 9 = 0 \implies x_2 = 9$

$x + 9 = 0 \implies x_3 = -9$

Уравнение имеет три корня.

Ответ: $-9; 1; 9$.

4) Решим уравнение $x^3 + 3x^2 - 16x - 48 = 0$.

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 + 3x^2) + (-16x - 48) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 3) - 16(x + 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(x+3)$ за скобки:

$(x + 3)(x^2 - 16) = 0$

Второй множитель $(x^2 - 16)$ является разностью квадратов:

$(x + 3)(x - 4)(x + 4) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x + 3 = 0 \implies x_1 = -3$

$x - 4 = 0 \implies x_2 = 4$

$x + 4 = 0 \implies x_3 = -4$

Уравнение имеет три корня.

Ответ: $-4; -3; 4$.

5.72. 1) $x^4 - 2x^3 - x - 2 = 0;$

2) $x^4 - 3x^3 + x - 3 = 0;$

3) $2x^4 + 3x^3 + 16x + 24 = 0;$

4) $24x^4 + 16x^3 - 3x - 2 = 0.$

1) $x^4 - 2x^3 - x - 2 = 0$
Примечание: В условии этого пункта, вероятно, допущена опечатка, так как в исходном виде уравнение не решается стандартными школьными методами в отличие от остальных пунктов. Наиболее вероятный исправленный вариант, соответствующий общей структуре заданий, — это $x^4 - 2x^3 + x - 2 = 0$. Ниже приведено его решение.
Рассмотрим уравнение $x^4 - 2x^3 + x - 2 = 0$.
Сгруппируем слагаемые: $(x^4 - 2x^3) + (x - 2) = 0$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $x^3(x - 2) + 1(x - 2) = 0$.
Вынесем за скобки общий множитель $(x - 2)$: $(x - 2)(x^3 + 1) = 0$.
Разложим второй множитель по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:
$(x - 2)(x + 1)(x^2 - x + 1) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
1. $x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$.
2. $x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$.
3. $x^2 - x + 1 = 0$. Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Поскольку $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.
Ответ: $-1; 2$.

2) $x^4 - 3x^3 + x - 3 = 0$
Сгруппируем слагаемые: $(x^4 - 3x^3) + (x - 3) = 0$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $x^3(x - 3) + 1(x - 3) = 0$.
Вынесем за скобки общий множитель $(x - 3)$: $(x - 3)(x^3 + 1) = 0$.
Разложим $x^3 + 1$ по формуле суммы кубов: $(x - 3)(x + 1)(x^2 - x + 1) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
1. $x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$.
2. $x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$.
3. $x^2 - x + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Ответ: $-1; 3$.

3) $2x^4 + 3x^3 + 16x + 24 = 0$
Сгруппируем слагаемые: $(2x^4 + 3x^3) + (16x + 24) = 0$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $x^3(2x + 3) + 8(2x + 3) = 0$.
Вынесем за скобки общий множитель $(2x + 3)$: $(2x + 3)(x^3 + 8) = 0$.
Разложим $x^3 + 8$ по формуле суммы кубов: $(2x + 3)(x + 2)(x^2 - 2x + 4) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
1. $2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x_1 = -{3 \over 2}$.
2. $x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$.
3. $x^2 - 2x + 4 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Ответ: $-2; -1.5$.

4) $24x^4 + 16x^3 - 3x - 2 = 0$
Сгруппируем слагаемые: $(24x^4 + 16x^3) - (3x + 2) = 0$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $8x^3(3x + 2) - 1(3x + 2) = 0$.
Вынесем за скобки общий множитель $(3x + 2)$: $(3x + 2)(8x^3 - 1) = 0$.
Разложим $8x^3 - 1$ по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$:
$(3x + 2)((2x)^3 - 1^3) = (3x + 2)(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
1. $3x + 2 = 0 \implies 3x = -2 \implies x_1 = -{2 \over 3}$.
2. $2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x_2 = {1 \over 2}$.
3. $4x^2 + 2x + 1 = 0$. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 4 - 16 = -12$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Ответ: $-{2 \over 3}; {1 \over 2}$.

5.73. 1) $x^3 + 3x^2 - 6x - 8 = 0;$

2) $x^3 + 5x^2 + 15x + 27 = 0;$

3) $8x^3 - 6x^2 + 3x - 1 = 0;$

4) $27x^3 - 15x^2 + 5x - 1 = 0.$

1) $x^3 + 3x^2 - 6x - 8 = 0$

Это кубическое уравнение. Попробуем найти целый корень среди делителей свободного члена -8. Делители: $\pm1, \pm2, \pm4, \pm8$.

Подставим $x = 2$ в уравнение:

$2^3 + 3 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 - 8 = 8 + 3 \cdot 4 - 12 - 8 = 8 + 12 - 12 - 8 = 0$.

Поскольку $x = 2$ является корнем уравнения, многочлен $x^3 + 3x^2 - 6x - 8$ делится на $(x - 2)$ без остатка. Выполним деление многочлена столбиком или по схеме Горнера.

(x^3 + 3x^2 - 6x - 8) : (x - 2) = x^2 + 5x + 4

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(x - 2)(x^2 + 5x + 4) = 0$.

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 + 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -5, а произведение равно 4. Корни легко находятся: $x_2 = -1$ и $x_3 = -4$.

Итак, мы получили три корня исходного уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$, $x_3 = -4$.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -1, x_3 = -4$.

2) $x^3 + 5x^2 + 15x + 27 = 0$

Попробуем найти рациональный корень среди делителей свободного члена 27. Поскольку все коэффициенты положительны, положительных корней у уравнения быть не может. Проверим отрицательные делители: $\pm1, \pm3, \pm9, \pm27$.

Подставим $x = -3$ в уравнение:

$(-3)^3 + 5(-3)^2 + 15(-3) + 27 = -27 + 5 \cdot 9 - 45 + 27 = -27 + 45 - 45 + 27 = 0$.

$x = -3$ является корнем уравнения. Разделим многочлен $x^3 + 5x^2 + 15x + 27$ на $(x + 3)$.

Можно также сгруппировать слагаемые:

$(x^3 + 27) + (5x^2 + 15x) = 0$

Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ и вынесем общий множитель:

$(x + 3)(x^2 - 3x + 9) + 5x(x + 3) = 0$

$(x + 3)(x^2 - 3x + 9 + 5x) = 0$

$(x + 3)(x^2 + 2x + 9) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

Либо $x + 3 = 0$, откуда $x_1 = -3$.

Либо $x^2 + 2x + 9 = 0$. Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 4 - 36 = -28$.

Так как $D < 0$, действительных корней у этого квадратного уравнения нет. Однако есть два комплексных корня:

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{-28}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm i\sqrt{28}}{2} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{7}}{2} = -1 \pm i\sqrt{7}$.

Таким образом, уравнение имеет один действительный корень и два комплексных.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = -1 + i\sqrt{7}, x_3 = -1 - i\sqrt{7}$.

3) $8x^3 - 6x^2 + 3x - 1 = 0$

Воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные рациональные корни имеют вид $p/q$, где $p$ - делитель свободного члена (-1), а $q$ - делитель старшего коэффициента (8). Возможные корни: $\pm1, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{1}{4}, \pm\frac{1}{8}$.

Проверим $x = \frac{1}{2}$:

$8\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 6\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 8\left(\frac{1}{8}\right) - 6\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{3}{2} - 1 = 1 - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} - 1 = 0$.

$x = \frac{1}{2}$ является корнем. Следовательно, многочлен делится на $(x - \frac{1}{2})$ или, что то же самое, на $(2x - 1)$. Выполним деление:

$(8x^3 - 6x^2 + 3x - 1) : (2x - 1) = 4x^2 - x + 1$.

Уравнение принимает вид:

$(2x - 1)(4x^2 - x + 1) = 0$.

Первый корень: $2x - 1 = 0 \implies x_1 = \frac{1}{2}$.

Решим второе уравнение: $4x^2 - x + 1 = 0$. Найдем дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 - 16 = -15$.

Так как $D < 0$, действительных корней нет. Найдем комплексные корни:

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{-15}}{2 \cdot 4} = \frac{1 \pm i\sqrt{15}}{8}$.

Уравнение имеет один действительный корень и два комплексных.

Ответ: $x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = \frac{1 + i\sqrt{15}}{8}, x_3 = \frac{1 - i\sqrt{15}}{8}$.

4) $27x^3 - 15x^2 + 5x - 1 = 0$

Используем теорему о рациональных корнях. Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{9}, \pm\frac{1}{27}$.

Проверим $x = \frac{1}{3}$:

$27\left(\frac{1}{3}\right)^3 - 15\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 5\left(\frac{1}{3}\right) - 1 = 27\left(\frac{1}{27}\right) - 15\left(\frac{1}{9}\right) + \frac{5}{3} - 1 = 1 - \frac{15}{9} + \frac{5}{3} - 1 = 1 - \frac{5}{3} + \frac{5}{3} - 1 = 0$.

$x = \frac{1}{3}$ является корнем. Следовательно, многочлен делится на $(x - \frac{1}{3})$ или на $(3x - 1)$. Выполним деление:

$(27x^3 - 15x^2 + 5x - 1) : (3x - 1) = 9x^2 - 2x + 1$.

Уравнение можно переписать в виде:

$(3x - 1)(9x^2 - 2x + 1) = 0$.

Первый корень: $3x - 1 = 0 \implies x_1 = \frac{1}{3}$.

Решим второе уравнение: $9x^2 - 2x + 1 = 0$. Найдем дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 4 - 36 = -32$.

Так как $D < 0$, действительных корней нет. Найдем комплексные корни:

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{-32}}{2 \cdot 9} = \frac{2 \pm i\sqrt{32}}{18} = \frac{2 \pm 4i\sqrt{2}}{18} = \frac{1 \pm 2i\sqrt{2}}{9}$.

Уравнение имеет один действительный корень и два комплексных.

Ответ: $x_1 = \frac{1}{3}, x_2 = \frac{1 + 2i\sqrt{2}}{9}, x_3 = \frac{1 - 2i\sqrt{2}}{9}$.

5.74. 1) $x^3 + 2003x + 2004 = 0$; 2) $x^3 + 4x^2 - 5 = 0$;

3) $x^3 - 3x^2 + 2 = 0$; 4) $x^3 - 3x^2 - 6x + 8 = 0$.

1) Исходное уравнение: $x^3 + 2003x + 2004 = 0$.

Для решения кубических уравнений с целыми коэффициентами можно применить теорему о рациональных корнях. Согласно этой теореме, если уравнение имеет рациональный корень, то он является делителем свободного члена (в данном случае 2004). Проверим простейшие целые делители: $\pm1, \pm2, ...$.

Подставим $x = -1$ в уравнение:

$(-1)^3 + 2003(-1) + 2004 = -1 - 2003 + 2004 = -2004 + 2004 = 0$.

Так как получилось верное равенство, $x = -1$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен $x^3 + 2003x + 2004$ делится на двучлен $(x - (-1))$, то есть на $(x+1)$, без остатка.

Выполним деление многочлена $x^3 + 2003x + 2004$ на $(x+1)$, например, столбиком или по схеме Горнера. В результате деления получаем квадратный трехчлен $x^2 - x + 2004$.

Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде произведения:

$(x+1)(x^2 - x + 2004) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$.

2. $x^2 - x + 2004 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2004 = 1 - 8016 = -8015$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет только один действительный корень.

Ответ: $x = -1$.

2) Исходное уравнение: $x^3 + 4x^2 - 5 = 0$.

Воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные рациональные корни являются делителями свободного члена, равного -5. Делители числа -5: $\pm1, \pm5$.

Проверим $x = 1$:

$1^3 + 4(1)^2 - 5 = 1 + 4 - 5 = 0$.

Значит, $x = 1$ — корень уравнения. Разделим многочлен $x^3 + 4x^2 - 5$ на $(x-1)$.

В результате деления получаем $x^2 + 5x + 5$.

Уравнение принимает вид:

$(x-1)(x^2 + 5x + 5) = 0$.

Рассмотрим два случая:

1. $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$.

2. $x^2 + 5x + 5 = 0$.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 25 - 20 = 5$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_{2,3} = \frac{-5 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Таким образом, исходное уравнение имеет три действительных корня.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{-5 + \sqrt{5}}{2}$, $x_3 = \frac{-5 - \sqrt{5}}{2}$.

3) Исходное уравнение: $x^3 - 3x^2 + 2 = 0$.

Возможные рациональные корни — это делители свободного члена 2, то есть $\pm1, \pm2$.

Проверим $x = 1$:

$1^3 - 3(1)^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.

Корень $x = 1$ найден. Разделим многочлен $x^3 - 3x^2 + 2$ на $(x-1)$.

Результат деления: $x^2 - 2x - 2$.

Уравнение можно записать как:

$(x-1)(x^2 - 2x - 2) = 0$.

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1. $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$.

2. $x^2 - 2x - 2 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.

Корни квадратного уравнения:

$x_{2,3} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.

Исходное уравнение имеет три действительных корня.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 1 + \sqrt{3}$, $x_3 = 1 - \sqrt{3}$.

4) Исходное уравнение: $x^3 - 3x^2 - 6x + 8 = 0$.

Возможные рациональные корни — это делители свободного члена 8: $\pm1, \pm2, \pm4, \pm8$.

Проверим $x = 1$:

$1^3 - 3(1)^2 - 6(1) + 8 = 1 - 3 - 6 + 8 = 0$.

$x = 1$ является корнем. Разделим многочлен $x^3 - 3x^2 - 6x + 8$ на $(x-1)$.

Получим в частном $x^2 - 2x - 8$.

Уравнение принимает вид:

$(x-1)(x^2 - 2x - 8) = 0$.

Приравниваем множители к нулю:

1. $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$.

2. $x^2 - 2x - 8 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение можно решить по теореме Виета. Ищем два числа, произведение которых равно -8, а сумма равна 2. Это числа 4 и -2.

Значит, $x_2 = 4$ и $x_3 = -2$.

Можно также решить через дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$.

$x_{2,3} = \frac{2 \pm 6}{2}$.

$x_2 = \frac{2+6}{2} = 4$, $x_3 = \frac{2-6}{2} = -2$.

Исходное уравнение имеет три действительных корня.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$, $x_3 = -2$.

В упражнениях 5.75 – 5.77 решите уравнения методом разложения на множители.

5. 75.

1) $3x^4 + 7x^3 + 7x + 3 = 0;$

2) $2x^4 - 9x^3 + 9x + 2 = 0;$

3) $x^4 + 1 = 2(1 + x)^4;$

4) $(1 + x^2)^2 = 2x(1 - x^2).$

1) Исходное уравнение: $3x^4 + 7x^3 + 7x + 3 = 0$.
Это возвратное уравнение, но не в стандартной форме, так как член с $x^2$ отсутствует. Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, так как $3 \ne 0$. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $x^2$:
$3x^2 + 7x + \frac{7}{x} + \frac{3}{x^2} = 0$
Сгруппируем члены:
$(3x^2 + \frac{3}{x^2}) + (7x + \frac{7}{x}) = 0$
$3(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 7(x + \frac{1}{x}) = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$.
Тогда $y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$.
Отсюда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.
Подставим это в наше уравнение:
$3(y^2 - 2) + 7y = 0$
$3y^2 - 6 + 7y = 0$
$3y^2 + 7y - 6 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант:
$D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$
Корни для $y$:
$y_1 = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$
$y_2 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Теперь вернемся к переменной $x$.
Случай 1: $y = -3$.
$x + \frac{1}{x} = -3$
$x^2 + 1 = -3x$
$x^2 + 3x + 1 = 0$
$D_x = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$
$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$
Случай 2: $y = \frac{2}{3}$.
$x + \frac{1}{x} = \frac{2}{3}$
$3x^2 + 3 = 2x$
$3x^2 - 2x + 3 = 0$
$D_x = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 4 - 36 = -32 < 0$. В этом случае действительных корней нет.
Разложение на множители исходного многочлена имеет вид $(x^2 + 3x + 1)(3x^2 - 2x + 3) = 0$.
Ответ: $x_1 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, x_2 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$.

2) Исходное уравнение: $2x^4 - 9x^3 + 9x + 2 = 0$.
Заметим, что $x=0$ не является корнем. Разделим уравнение на $x^2$:
$2x^2 - 9x + \frac{9}{x} + \frac{2}{x^2} = 0$
Сгруппируем члены:
$2(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 9(x - \frac{1}{x}) = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $y = x - \frac{1}{x}$.
Тогда $y^2 = (x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 + 2$.
Подставим в уравнение:
$2(y^2 + 2) - 9y = 0$
$2y^2 + 4 - 9y = 0$
$2y^2 - 9y + 4 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $y$:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49 = 7^2$
$y_1 = \frac{9 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$y_2 = \frac{9 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$
Вернемся к $x$.
Случай 1: $y = \frac{1}{2}$.
$x - \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$
$2x^2 - 2 = x$
$2x^2 - x - 2 = 0$
$D_x = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1 + 16 = 17$
$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{4}$
Случай 2: $y = 4$.
$x - \frac{1}{x} = 4$
$x^2 - 1 = 4x$
$x^2 - 4x - 1 = 0$
$D_x = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$
$x_{3,4} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$
Разложение на множители: $(2x^2 - x - 2)(x^2 - 4x - 1) = 0$.
Ответ: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{17}}{4}, x_2 = \frac{1 - \sqrt{17}}{4}, x_3 = 2 + \sqrt{5}, x_4 = 2 - \sqrt{5}$.

3) Исходное уравнение: $x^4 + 1 = 2(1 + x)^4$.
Раскроем скобки в правой части по формуле бинома Ньютона:
$x^4 + 1 = 2(1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4)$
$x^4 + 1 = 2 + 8x + 12x^2 + 8x^3 + 2x^4$
Перенесем все члены в одну сторону:
$x^4 + 8x^3 + 12x^2 + 8x + 1 = 0$
Это возвратное уравнение. $x=0$ не корень. Делим на $x^2$:
$x^2 + 8x + 12 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$
$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 8(x + \frac{1}{x}) + 12 = 0$
Пусть $y = x + \frac{1}{x}$, тогда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.
$(y^2 - 2) + 8y + 12 = 0$
$y^2 + 8y + 10 = 0$
$D_y = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 64 - 40 = 24$
$y_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -4 \pm \sqrt{6}$
Вернемся к $x$.
Случай 1: $y = -4 + \sqrt{6}$.
$x + \frac{1}{x} = -4 + \sqrt{6} \implies x^2 - (-4 + \sqrt{6})x + 1 = 0 \implies x^2 + (4 - \sqrt{6})x + 1 = 0$.
$D_x = (4 - \sqrt{6})^2 - 4 = 16 - 8\sqrt{6} + 6 - 4 = 18 - 8\sqrt{6}$. Так как $(8\sqrt{6})^2=384$ и $18^2=324$, то $8\sqrt{6} > 18$, следовательно $D_x < 0$. Действительных корней нет.
Случай 2: $y = -4 - \sqrt{6}$.
$x + \frac{1}{x} = -4 - \sqrt{6} \implies x^2 - (-4 - \sqrt{6})x + 1 = 0 \implies x^2 + (4 + \sqrt{6})x + 1 = 0$.
$D_x = (4 + \sqrt{6})^2 - 4 = 16 + 8\sqrt{6} + 6 - 4 = 18 + 8\sqrt{6} > 0$.
$x_{1,2} = \frac{-(4 + \sqrt{6}) \pm \sqrt{18 + 8\sqrt{6}}}{2}$
Разложение на множители: $(x^2 + (4 + \sqrt{6})x + 1)(x^2 + (4 - \sqrt{6})x + 1) = 0$.
Ответ: $x = \frac{-4 - \sqrt{6} \pm \sqrt{18 + 8\sqrt{6}}}{2}$.

4) Исходное уравнение: $(1 + x^2)^2 = 2x(1 - x^2)$.
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
$1 + 2x^2 + x^4 = 2x - 2x^3$
$x^4 + 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1 = 0$
Это уравнение является квазивозвратным. $x=0$ не является корнем. Разделим на $x^2$:
$x^2 + 2x + 2 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$
Сгруппируем:
$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 2(x - \frac{1}{x}) + 2 = 0$
Сделаем замену $y = x - \frac{1}{x}$, тогда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 + 2$.
$(y^2 + 2) + 2y + 2 = 0$
$y^2 + 2y + 4 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения относительно $y$:
$D_y = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$
Так как дискриминант отрицательный ($D_y < 0$), уравнение для $y$ не имеет действительных решений.
Поскольку для любого действительного $x \neq 0$ величина $y = x - \frac{1}{x}$ является действительным числом, отсутствие действительных решений для $y$ означает, что и исходное уравнение не имеет действительных решений для $x$.
Можно также отметить, что $y^2 + 2y + 4 = (y+1)^2 + 3 \ge 3$, то есть левая часть уравнения никогда не обращается в ноль.
Ответ: действительных корней нет.

5.76. 1) $12x^5 - 56x^4 + 107x^3 - 107x^2 + 56x - 12 = 0;$

2) $15x^5 + 34x^4 + 15x^3 - 15x^2 - 34x - 15 = 0.$

1) $12x^5 - 56x^4 + 107x^3 - 107x^2 + 56x - 12 = 0$

Данное уравнение является возвратным уравнением пятой степени. Его коэффициенты, равноудаленные от концов, противоположны по знаку ($a_k = -a_{n-k}$):$a_5 = 12, a_0 = -12$; $a_4 = -56, a_1 = 56$; $a_3 = 107, a_2 = -107$.Такие уравнения всегда имеют корень $x=1$. Проверим это подстановкой:$12(1)^5 - 56(1)^4 + 107(1)^3 - 107(1)^2 + 56(1) - 12 = 12 - 56 + 107 - 107 + 56 - 12 = 0$.Так как $x=1$ является корнем, мы можем разделить многочлен в левой части уравнения на двучлен $(x-1)$. Воспользуемся схемой Горнера или делением в столбик:

$(12x^5 - 56x^4 + 107x^3 - 107x^2 + 56x - 12) : (x-1) = 12x^4 - 44x^3 + 63x^2 - 44x + 12$.

Теперь нужно решить уравнение:

$12x^4 - 44x^3 + 63x^2 - 44x + 12 = 0$

Это возвратное уравнение четвертой степени с симметричными коэффициентами ($a_k = a_{n-k}$). Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения. Разделим обе части уравнения на $x^2$:

$12x^2 - 44x + 63 - \frac{44}{x} + \frac{12}{x^2} = 0$

Сгруппируем члены с одинаковыми коэффициентами:

$12(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 44(x + \frac{1}{x}) + 63 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда $y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим это в уравнение:

$12(y^2 - 2) - 44y + 63 = 0$

$12y^2 - 24 - 44y + 63 = 0$

$12y^2 - 44y + 39 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$.

Дискриминант $D = (-44)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 39 = 1936 - 1872 = 64 = 8^2$.

$y_1 = \frac{44 - 8}{2 \cdot 12} = \frac{36}{24} = \frac{3}{2}$

$y_2 = \frac{44 + 8}{2 \cdot 12} = \frac{52}{24} = \frac{13}{6}$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $y = \frac{3}{2}$

$x + \frac{1}{x} = \frac{3}{2}$

$2x^2 + 2 = 3x$ (умножили на $2x$)

$2x^2 - 3x + 2 = 0$

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7 < 0$. В этом случае действительных корней нет, но есть два комплексных корня: $x = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{4}$.

Случай 2: $y = \frac{13}{6}$

$x + \frac{1}{x} = \frac{13}{6}$

$6x^2 + 6 = 13x$ (умножили на $6x$)

$6x^2 - 13x + 6 = 0$

Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25 = 5^2$.

$x = \frac{13 \pm 5}{2 \cdot 6} = \frac{13 \pm 5}{12}$

$x_1 = \frac{13+5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

$x_2 = \frac{13-5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

Таким образом, исходное уравнение имеет пять корней: один действительный, который мы нашли вначале, и еще два действительных и два комплексных из решения возвратного уравнения четвертой степени.

Ответ: $1; \frac{2}{3}; \frac{3}{2}; \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{4}$.

2) $15x^5 + 34x^4 + 15x^3 - 15x^2 - 34x - 15 = 0$

Данное уравнение не является возвратным в стандартном виде. Попробуем найти рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях. Возможные рациональные корни имеют вид $\frac{p}{q}$, где $p$ - делитель свободного члена $(-15)$, а $q$ - делитель старшего коэффициента $(15)$.

Проверим корень $x=1$:

$15(1)^5 + 34(1)^4 + 15(1)^3 - 15(1)^2 - 34(1) - 15 = 15 + 34 + 15 - 15 - 34 - 15 = 0$.

Следовательно, $x=1$ является корнем уравнения. Разделим многочлен на $(x-1)$:

$(15x^5 + 34x^4 + 15x^3 - 15x^2 - 34x - 15) : (x-1) = 15x^4 + 49x^3 + 64x^2 + 49x + 15$.

Получили уравнение:

$15x^4 + 49x^3 + 64x^2 + 49x + 15 = 0$

Это возвратное уравнение четвертой степени ($a_k = a_{n-k}$). Так как $x=0$ не является корнем, разделим обе части уравнения на $x^2$:

$15x^2 + 49x + 64 + \frac{49}{x} + \frac{15}{x^2} = 0$

Сгруппируем члены:

$15(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 49(x + \frac{1}{x}) + 64 = 0$

Сделаем замену $y = x + \frac{1}{x}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим в уравнение:

$15(y^2 - 2) + 49y + 64 = 0$

$15y^2 - 30 + 49y + 64 = 0$

$15y^2 + 49y + 34 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$.

Дискриминант $D = 49^2 - 4 \cdot 15 \cdot 34 = 2401 - 2040 = 361 = 19^2$.

$y_1 = \frac{-49 - 19}{2 \cdot 15} = \frac{-68}{30} = -\frac{34}{15}$

$y_2 = \frac{-49 + 19}{2 \cdot 15} = \frac{-30}{30} = -1$

Вернемся к переменной $x$.

Случай 1: $y = -\frac{34}{15}$

$x + \frac{1}{x} = -\frac{34}{15}$

$15x^2 + 15 = -34x$ (умножили на $15x$)

$15x^2 + 34x + 15 = 0$

Дискриминант $D = 34^2 - 4 \cdot 15 \cdot 15 = 1156 - 900 = 256 = 16^2$.

$x = \frac{-34 \pm 16}{2 \cdot 15} = \frac{-34 \pm 16}{30}$

$x_1 = \frac{-34+16}{30} = \frac{-18}{30} = -\frac{3}{5}$

$x_2 = \frac{-34-16}{30} = \frac{-50}{30} = -\frac{5}{3}$

Случай 2: $y = -1$

$x + \frac{1}{x} = -1$

$x^2 + 1 = -x$ (умножили на $x$)

$x^2 + x + 1 = 0$

Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0$. Здесь действительных корней нет, есть два комплексных корня: $x = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.

Собрав все найденные корни, получаем итоговый ответ.

Ответ: $1; -\frac{3}{5}; -\frac{5}{3}; \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.