Номер 5.76, страница 156 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.76. 1) $12x^5 - 56x^4 + 107x^3 - 107x^2 + 56x - 12 = 0;$

2) $15x^5 + 34x^4 + 15x^3 - 15x^2 - 34x - 15 = 0.$

1) $12x^5 - 56x^4 + 107x^3 - 107x^2 + 56x - 12 = 0$

Данное уравнение является возвратным уравнением пятой степени. Его коэффициенты, равноудаленные от концов, противоположны по знаку ($a_k = -a_{n-k}$):$a_5 = 12, a_0 = -12$; $a_4 = -56, a_1 = 56$; $a_3 = 107, a_2 = -107$.Такие уравнения всегда имеют корень $x=1$. Проверим это подстановкой:$12(1)^5 - 56(1)^4 + 107(1)^3 - 107(1)^2 + 56(1) - 12 = 12 - 56 + 107 - 107 + 56 - 12 = 0$.Так как $x=1$ является корнем, мы можем разделить многочлен в левой части уравнения на двучлен $(x-1)$. Воспользуемся схемой Горнера или делением в столбик:

$(12x^5 - 56x^4 + 107x^3 - 107x^2 + 56x - 12) : (x-1) = 12x^4 - 44x^3 + 63x^2 - 44x + 12$.

Теперь нужно решить уравнение:

$12x^4 - 44x^3 + 63x^2 - 44x + 12 = 0$

Это возвратное уравнение четвертой степени с симметричными коэффициентами ($a_k = a_{n-k}$). Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения. Разделим обе части уравнения на $x^2$:

$12x^2 - 44x + 63 - \frac{44}{x} + \frac{12}{x^2} = 0$

Сгруппируем члены с одинаковыми коэффициентами:

$12(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 44(x + \frac{1}{x}) + 63 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда $y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим это в уравнение:

$12(y^2 - 2) - 44y + 63 = 0$

$12y^2 - 24 - 44y + 63 = 0$

$12y^2 - 44y + 39 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$.

Дискриминант $D = (-44)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 39 = 1936 - 1872 = 64 = 8^2$.

$y_1 = \frac{44 - 8}{2 \cdot 12} = \frac{36}{24} = \frac{3}{2}$

$y_2 = \frac{44 + 8}{2 \cdot 12} = \frac{52}{24} = \frac{13}{6}$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $y = \frac{3}{2}$

$x + \frac{1}{x} = \frac{3}{2}$

$2x^2 + 2 = 3x$ (умножили на $2x$)

$2x^2 - 3x + 2 = 0$

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7 < 0$. В этом случае действительных корней нет, но есть два комплексных корня: $x = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{4}$.

Случай 2: $y = \frac{13}{6}$

$x + \frac{1}{x} = \frac{13}{6}$

$6x^2 + 6 = 13x$ (умножили на $6x$)

$6x^2 - 13x + 6 = 0$

Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25 = 5^2$.

$x = \frac{13 \pm 5}{2 \cdot 6} = \frac{13 \pm 5}{12}$

$x_1 = \frac{13+5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

$x_2 = \frac{13-5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

Таким образом, исходное уравнение имеет пять корней: один действительный, который мы нашли вначале, и еще два действительных и два комплексных из решения возвратного уравнения четвертой степени.

Ответ: $1; \frac{2}{3}; \frac{3}{2}; \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{4}$.

2) $15x^5 + 34x^4 + 15x^3 - 15x^2 - 34x - 15 = 0$

Данное уравнение не является возвратным в стандартном виде. Попробуем найти рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях. Возможные рациональные корни имеют вид $\frac{p}{q}$, где $p$ - делитель свободного члена $(-15)$, а $q$ - делитель старшего коэффициента $(15)$.

Проверим корень $x=1$:

$15(1)^5 + 34(1)^4 + 15(1)^3 - 15(1)^2 - 34(1) - 15 = 15 + 34 + 15 - 15 - 34 - 15 = 0$.

Следовательно, $x=1$ является корнем уравнения. Разделим многочлен на $(x-1)$:

$(15x^5 + 34x^4 + 15x^3 - 15x^2 - 34x - 15) : (x-1) = 15x^4 + 49x^3 + 64x^2 + 49x + 15$.

Получили уравнение:

$15x^4 + 49x^3 + 64x^2 + 49x + 15 = 0$

Это возвратное уравнение четвертой степени ($a_k = a_{n-k}$). Так как $x=0$ не является корнем, разделим обе части уравнения на $x^2$:

$15x^2 + 49x + 64 + \frac{49}{x} + \frac{15}{x^2} = 0$

Сгруппируем члены:

$15(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 49(x + \frac{1}{x}) + 64 = 0$

Сделаем замену $y = x + \frac{1}{x}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим в уравнение:

$15(y^2 - 2) + 49y + 64 = 0$

$15y^2 - 30 + 49y + 64 = 0$

$15y^2 + 49y + 34 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$.

Дискриминант $D = 49^2 - 4 \cdot 15 \cdot 34 = 2401 - 2040 = 361 = 19^2$.

$y_1 = \frac{-49 - 19}{2 \cdot 15} = \frac{-68}{30} = -\frac{34}{15}$

$y_2 = \frac{-49 + 19}{2 \cdot 15} = \frac{-30}{30} = -1$

Вернемся к переменной $x$.

Случай 1: $y = -\frac{34}{15}$

$x + \frac{1}{x} = -\frac{34}{15}$

$15x^2 + 15 = -34x$ (умножили на $15x$)

$15x^2 + 34x + 15 = 0$

Дискриминант $D = 34^2 - 4 \cdot 15 \cdot 15 = 1156 - 900 = 256 = 16^2$.

$x = \frac{-34 \pm 16}{2 \cdot 15} = \frac{-34 \pm 16}{30}$

$x_1 = \frac{-34+16}{30} = \frac{-18}{30} = -\frac{3}{5}$

$x_2 = \frac{-34-16}{30} = \frac{-50}{30} = -\frac{5}{3}$

Случай 2: $y = -1$

$x + \frac{1}{x} = -1$

$x^2 + 1 = -x$ (умножили на $x$)

$x^2 + x + 1 = 0$

Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0$. Здесь действительных корней нет, есть два комплексных корня: $x = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.

Собрав все найденные корни, получаем итоговый ответ.

Ответ: $1; -\frac{3}{5}; -\frac{5}{3}; \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.