Номер 5.79, страница 157 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.79. Решите уравнения:

1) $28x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0;$

2) $126x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0;$

3) $(x^2 + 4x)(x^2 + x - 6) = (x^3 - 16x)(x^2 - 2x - 35);$

4) $(x^2 + 5x)(x^2 - 3x - 28) = (x^3 - 16x)(x^2 - 2x - 35).$

1) Исходное уравнение: $28x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0$.
Представим коэффициент $28$ как $27+1$.
$(27x^3 + 1) + (x^3 + 3x^2 + 3x) = 0$. Это неверная группировка.
Попробуем по-другому: $27x^3 + (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = 0$.
Теперь мы видим сумму двух кубов: $(3x)^3 + (x+1)^3 = 0$.
Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = 3x$ и $b = x+1$.
$((3x) + (x+1))((3x)^2 - (3x)(x+1) + (x+1)^2) = 0$.
$(4x+1)(9x^2 - (3x^2+3x) + (x^2+2x+1)) = 0$.
$(4x+1)(9x^2 - 3x^2 - 3x + x^2 + 2x + 1) = 0$.
$(4x+1)(7x^2 - x + 1) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
1) $4x+1 = 0 \implies 4x = -1 \implies x = -1/4$.
2) $7x^2 - x + 1 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 1 - 28 = -27$.
Так как $D < 0$, у квадратного уравнения нет действительных корней.
Следовательно, у исходного уравнения есть только один действительный корень.
Ответ: $x = -1/4$.

2) Исходное уравнение: $126x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0$.
Представим коэффициент $126$ как $125+1$.
$125x^3 + (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = 0$.
Мы получили сумму кубов: $(5x)^3 + (x-1)^3 = 0$.
Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = 5x$ и $b = x-1$.
$((5x) + (x-1))((5x)^2 - (5x)(x-1) + (x-1)^2) = 0$.
$(6x-1)(25x^2 - (5x^2-5x) + (x^2-2x+1)) = 0$.
$(6x-1)(25x^2 - 5x^2 + 5x + x^2 - 2x + 1) = 0$.
$(6x-1)(21x^2 + 3x + 1) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
1) $6x-1 = 0 \implies 6x = 1 \implies x = 1/6$.
2) $21x^2 + 3x + 1 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 21 \cdot 1 = 9 - 84 = -75$.
Так как $D < 0$, у квадратного уравнения нет действительных корней.
Следовательно, у исходного уравнения есть только один действительный корень.
Ответ: $x = 1/6$.

3) Исходное уравнение: $(x^2 + 4x)(x^2 + x - 6) = (x^3 - 16x)(x^2 - 2x - 35)$.
Разложим многочлены в обеих частях уравнения на множители.
Левая часть:
$x^2 + 4x = x(x+4)$.
$x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2)$ (корни $-3$ и $2$).
Правая часть:
$x^3 - 16x = x(x^2 - 16) = x(x-4)(x+4)$.
$x^2 - 2x - 35 = (x-7)(x+5)$ (корни $7$ и $-5$).
Подставим разложения в исходное уравнение:
$x(x+4)(x+3)(x-2) = x(x-4)(x+4)(x-7)(x+5)$.
Перенесем все члены в левую часть:
$x(x+4)(x+3)(x-2) - x(x+4)(x-4)(x-7)(x+5) = 0$.
Вынесем общие множители $x(x+4)$ за скобки:
$x(x+4)[(x+3)(x-2) - (x-4)(x-7)(x+5)] = 0$.
Это уравнение распадается на три:
1) $x_1 = 0$.
2) $x+4 = 0 \implies x_2 = -4$.
3) $(x+3)(x-2) - (x-4)(x-7)(x+5) = 0$.
Раскроем скобки в третьем уравнении:
$(x^2 + x - 6) - (x^2 - 11x + 28)(x+5) = 0$.
$(x^2 + x - 6) - (x^3 - 11x^2 + 28x + 5x^2 - 55x + 140) = 0$.
$(x^2 + x - 6) - (x^3 - 6x^2 - 27x + 140) = 0$.
$x^2 + x - 6 - x^3 + 6x^2 + 27x - 140 = 0$.
$-x^3 + 7x^2 + 28x - 146 = 0$.
$x^3 - 7x^2 - 28x + 146 = 0$.
Данное кубическое уравнение не имеет рациональных корней (это можно проверить с помощью теоремы о рациональных корнях). Уравнение имеет три действительных иррациональных корня, которые не выражаются в простых радикалах и находятся с помощью численных методов или по формуле Кардано.
Ответ: $x=0$, $x=-4$ и три действительных корня уравнения $x^3 - 7x^2 - 28x + 146 = 0$.

4) Исходное уравнение: $(x^2 + 5x)(x^2 - 3x - 28) = (x^3 - 16x)(x^2 - 2x - 35)$.
Разложим многочлены в обеих частях уравнения на множители.
Левая часть:
$x^2 + 5x = x(x+5)$.
$x^2 - 3x - 28 = (x-7)(x+4)$ (корни $7$ и $-4$).
Правая часть (как и в предыдущем задании):
$x^3 - 16x = x(x-4)(x+4)$.
$x^2 - 2x - 35 = (x-7)(x+5)$.
Подставим разложения в исходное уравнение:
$x(x+5)(x-7)(x+4) = x(x-4)(x+4)(x-7)(x+5)$.
Перенесем все члены в левую часть:
$x(x+5)(x-7)(x+4) - x(x-4)(x+4)(x-7)(x+5) = 0$.
Вынесем общие множители $x(x+5)(x-7)(x+4)$ за скобки:
$x(x+5)(x-7)(x+4)[1 - (x-4)] = 0$.
$x(x+5)(x-7)(x+4)(1 - x + 4) = 0$.
$x(x+5)(x-7)(x+4)(5 - x) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
$x=0$
$x+5=0 \implies x=-5$
$x-7=0 \implies x=7$
$x+4=0 \implies x=-4$
$5-x=0 \implies x=5$
Ответ: $x \in \{-5, -4, 0, 5, 7\}$.