Работа в группе, страница 161 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Докажите свойства $1^{\circ}$, $3^{\circ}$, $4^{\circ}$, опираясь на доказательство свойства $2^{\circ}$.

Доказательство свойств векторов 1°, 3°, 4° проводится с помощью координатного метода, который, как предполагается, был использован для доказательства свойства 2°. Этот метод заключается в том, что векторы представляются своими координатами в некотором базисе. Операции над векторами (сложение, умножение на число) заменяются соответствующими операциями над их координатами. Справедливость векторного равенства доказывается путем установления равенства соответствующих координат, используя известные свойства действительных чисел.

Пусть даны векторы $\vec{a} = (a_1, a_2, ..., a_n)$ и $\vec{b} = (b_1, b_2, ..., b_n)$ и скаляры (числа) $\lambda$ и $\mu$.

1°. Доказательство свойства коммутативности сложения векторов: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$Рассмотрим левую часть равенства. По определению сложения векторов в координатной форме, мы складываем их соответствующие координаты: $\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, ..., a_n + b_n)$.Теперь рассмотрим правую часть равенства: $\vec{b} + \vec{a} = (b_1 + a_1, b_2 + a_2, ..., b_n + a_n)$.Так как сложение действительных чисел коммутативно (то есть, для любых чисел $x, y$ выполняется $x + y = y + x$), то $a_i + b_i = b_i + a_i$ для любого $i$ от 1 до $n$.Следовательно, координаты вектора в левой части равны соответствующим координатам вектора в правой части. Таким образом, равенство доказано.Ответ: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$.

3°. Доказательство свойства дистрибутивности относительно сложения скаляров: $(\lambda + \mu)\vec{a} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{a}$Рассмотрим левую часть равенства. По определению умножения вектора на скаляр, мы умножаем каждую координату вектора на этот скаляр: $(\lambda + \mu)\vec{a} = ((\lambda + \mu)a_1, (\lambda + \mu)a_2, ..., (\lambda + \mu)a_n)$.Используя дистрибутивное свойство умножения относительно сложения для действительных чисел ($x(y+z) = xy + xz$), мы можем преобразовать каждую координату: $(\lambda a_1 + \mu a_1, \lambda a_2 + \mu a_2, ..., \lambda a_n + \mu a_n)$.Теперь рассмотрим правую часть. Сначала выполним умножение вектора $\vec{a}$ на скаляры $\lambda$ и $\mu$ по отдельности: $\lambda\vec{a} = (\lambda a_1, \lambda a_2, ..., \lambda a_n)$ и $\mu\vec{a} = (\mu a_1, \mu a_2, ..., \mu a_n)$.Затем сложим полученные векторы: $\lambda\vec{a} + \mu\vec{a} = (\lambda a_1 + \mu a_1, \lambda a_2 + \mu a_2, ..., \lambda a_n + \mu a_n)$.Результаты для левой и правой частей совпадают, что и доказывает равенство.Ответ: $(\lambda + \mu)\vec{a} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{a}$.

4°. Доказательство свойства ассоциативности скалярного умножения: $\lambda(\mu\vec{a}) = (\lambda\mu)\vec{a}$Рассмотрим левую часть равенства. Сначала выполним операцию в скобках — умножение вектора $\vec{a}$ на скаляр $\mu$: $\mu\vec{a} = (\mu a_1, \mu a_2, ..., \mu a_n)$.Затем умножим полученный вектор на скаляр $\lambda$: $\lambda(\mu\vec{a}) = \lambda(\mu a_1, \mu a_2, ..., \mu a_n) = (\lambda(\mu a_1), \lambda(\mu a_2), ..., \lambda(\mu a_n))$.Теперь рассмотрим правую часть. Сначала перемножим скаляры $\lambda$ и $\mu$. Затем умножим вектор $\vec{a}$ на их произведение $(\lambda\mu)$: $(\lambda\mu)\vec{a} = ((\lambda\mu)a_1, (\lambda\mu)a_2, ..., (\lambda\mu)a_n)$.Так как умножение действительных чисел ассоциативно (то есть, для любых чисел $x, y, z$ выполняется $x(yz) = (xy)z$), то $\lambda(\mu a_i) = (\lambda\mu)a_i$ для любого $i$ от 1 до $n$.Следовательно, координаты векторов в левой и правой частях равны, и равенство доказано.Ответ: $\lambda(\mu\vec{a}) = (\lambda\mu)\vec{a}$.