Номер 5.83, страница 157 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.83. Докажите тождество $\frac{n - nm + k - km}{1 - 3m + 3m^2 - m^3} = \frac{n - k}{(1 - m)^2}$.

Для доказательства тождества необходимо преобразовать одну из его частей и показать, что она равна другой части. Преобразуем левую часть данного равенства.

Сначала разложим на множители числитель дроби, используя метод группировки:

$n - nm + k - km = (n - nm) + (k - km) = n(1 - m) + k(1 - m)$

Вынесем общий множитель $(1 - m)$ за скобки:

$(n + k)(1 - m)$

Теперь рассмотрим знаменатель: $1 - 3m + 3m^2 - m^3$. Это выражение соответствует формуле сокращенного умножения для куба разности:

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

При $a = 1$ и $b = m$ получаем:

$(1 - m)^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot m + 3 \cdot 1 \cdot m^2 - m^3 = 1 - 3m + 3m^2 - m^3$

Таким образом, знаменатель равен $(1 - m)^3$.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в левую часть исходного выражения:

$\frac{n - nm + k - km}{1 - 3m + 3m^2 - m^3} = \frac{(n + k)(1 - m)}{(1 - m)^3}$

Сократим дробь на общий множитель $(1 - m)$, при условии, что $1 - m \neq 0$, то есть $m \neq 1$:

$\frac{(n + k)(1 - m)}{(1 - m)^3} = \frac{n + k}{(1 - m)^2}$

Теперь сравним полученное выражение с правой частью исходного равенства:

Преобразованная левая часть: $\frac{n + k}{(1 - m)^2}$.

Правая часть: $\frac{n - k}{(1 - m)^2}$.

Равенство $\frac{n + k}{(1 - m)^2} = \frac{n - k}{(1 - m)^2}$ выполняется только в том случае, если числители равны: $n + k = n - k$, что влечет за собой $2k = 0$, то есть $k = 0$.

Поскольку тождество должно быть верным для любых допустимых значений переменных, а не только для частного случая $k=0$, исходное утверждение не является тождеством. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка.

Предположим, что числитель в левой части должен был иметь вид $n - nm - k + km$. Докажем исправленное тождество:

$\frac{n - nm - k + km}{1 - 3m + 3m^2 - m^3} = \frac{n - k}{(1 - m)^2}$

Преобразуем числитель левой части:

$n - nm - k + km = n(1 - m) - k(1 - m) = (n - k)(1 - m)$

Подставим в левую часть:

$\frac{(n - k)(1 - m)}{(1 - m)^3} = \frac{n - k}{(1 - m)^2}$

Теперь левая часть равна правой. Это доказывает, что исправленное равенство является тождеством.

Ответ: Исходное равенство не является тождеством, так как оно справедливо только при $k=0$ (и $m \neq 1$). Вероятнее всего, в условии имеется опечатка, и верное тождество должно иметь вид $\frac{n - nm - k + km}{1 - 3m + 3m^2 - m^3} = \frac{n - k}{(1 - m)^2}$.