Страница 157 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.77. 1) $x^4 + 2x^3 - 11x^2 + 4x + 4 = 0$;

2) $x^4 - 2x^3 - 23x^2 + 8x + 16 = 0$;

1) $x^4 + 2x^3 - 11x^2 + 4x + 4 = 0$

Это уравнение является обобщенным возвратным уравнением. Заметим, что $x=0$ не является корнем, так как свободный член $4 \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $x^2$:

$x^2 + 2x - 11 + \frac{4}{x} + \frac{4}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + \frac{4}{x^2}) + (2x + \frac{4}{x}) - 11 = 0$

$(x^2 + \frac{4}{x^2}) + 2(x + \frac{2}{x}) - 11 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{2}{x}$.

Тогда $y^2 = (x + \frac{2}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} + (\frac{2}{x})^2 = x^2 + 4 + \frac{4}{x^2}$.

Отсюда выразим $x^2 + \frac{4}{x^2} = y^2 - 4$.

Подставим в сгруппированное уравнение:

$(y^2 - 4) + 2y - 11 = 0$

$y^2 + 2y - 15 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $y$. Решим его. По теореме Виета корни $y_1 = -5$ и $y_2 = 3$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $y = 3$.

$x + \frac{2}{x} = 3$

Умножим на $x \neq 0$:

$x^2 + 2 = 3x$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Корни этого уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Случай 2: $y = -5$.

$x + \frac{2}{x} = -5$

Умножим на $x \neq 0$:

$x^2 + 2 = -5x$

$x^2 + 5x + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 25 - 8 = 17$

$x_{3,4} = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $1; 2; \frac{-5 - \sqrt{17}}{2}; \frac{-5 + \sqrt{17}}{2}$.

2) $x^4 - 2x^3 - 23x^2 + 8x + 16 = 0$

Это также обобщенное возвратное уравнение. Так как $x=0$ не является корнем (свободный член $16 \neq 0$), разделим обе части уравнения на $x^2$:

$x^2 - 2x - 23 + \frac{8}{x} + \frac{16}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + \frac{16}{x^2}) - (2x - \frac{8}{x}) - 23 = 0$

$(x^2 + \frac{16}{x^2}) - 2(x - \frac{4}{x}) - 23 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x - \frac{4}{x}$.

Тогда $y^2 = (x - \frac{4}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{4}{x} + (\frac{4}{x})^2 = x^2 - 8 + \frac{16}{x^2}$.

Отсюда выразим $x^2 + \frac{16}{x^2} = y^2 + 8$.

Подставим в сгруппированное уравнение:

$(y^2 + 8) - 2y - 23 = 0$

$y^2 - 2y - 15 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $y$. Решим его. По теореме Виета корни $y_1 = 5$ и $y_2 = -3$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $y = 5$.

$x - \frac{4}{x} = 5$

Умножим на $x \neq 0$:

$x^2 - 4 = 5x$

$x^2 - 5x - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 25 + 16 = 41$

$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2}$

Случай 2: $y = -3$.

$x - \frac{4}{x} = -3$

Умножим на $x \neq 0$:

$x^2 - 4 = -3x$

$x^2 + 3x - 4 = 0$

Корни этого уравнения (по теореме Виета) $x_3 = 1$ и $x_4 = -4$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $1; -4; \frac{5 - \sqrt{41}}{2}; \frac{5 + \sqrt{41}}{2}$.

5.78. Составьте симметричное уравнение 4-го порядка с корнями,
равными $5, 3, \frac{1}{3}$.

Симметричное уравнение 4-го порядка имеет общий вид $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$, где $a \neq 0$. Важным свойством корней такого уравнения является то, что если $x_0$ — корень, то и $1/x_0$ также является корнем.

По условию, нам даны три корня: $x_1 = 5$, $x_2 = 3$ и $x_3 = 1/3$. Уравнение должно быть 4-го порядка, следовательно, у него должно быть четыре корня.

Так как уравнение симметричное, мы можем найти недостающий четвертый корень. Корень $x_2 = 3$ и корень $x_3 = 1/3$ являются взаимно обратными числами. Для корня $x_1 = 5$ взаимно обратным будет $1/5$. Таким образом, четвертый корень уравнения — $x_4 = 1/5$.

Итак, четыре корня искомого уравнения: $5$, $1/5$, $3$ и $1/3$.

Чтобы составить уравнение, можно перемножить множители вида $(x - x_i)$, где $x_i$ — корни уравнения. Для простоты вычислений сгруппируем множители с взаимно обратными корнями:

$(x - 5)(x - 1/5) = x^2 - 5x - \frac{1}{5}x + 1 = x^2 - (5 + \frac{1}{5})x + 1 = x^2 - \frac{26}{5}x + 1$

$(x - 3)(x - 1/3) = x^2 - 3x - \frac{1}{3}x + 1 = x^2 - (3 + \frac{1}{3})x + 1 = x^2 - \frac{10}{3}x + 1$

Теперь перемножим полученные квадратные трехчлены, чтобы получить искомый многочлен 4-й степени:

$(x^2 - \frac{26}{5}x + 1)(x^2 - \frac{10}{3}x + 1) = 0$

Раскрываем скобки:

$x^4 - \frac{10}{3}x^3 + x^2 - \frac{26}{5}x^3 + \frac{260}{15}x^2 - \frac{26}{5}x + x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0$

Приводим подобные слагаемые:

$x^4 + (-\frac{10}{3} - \frac{26}{5})x^3 + (1 + \frac{260}{15} + 1)x^2 + (-\frac{26}{5} - \frac{10}{3})x + 1 = 0$

$x^4 - (\frac{50+78}{15})x^3 + (2 + \frac{52}{3})x^2 - (\frac{78+50}{15})x + 1 = 0$

$x^4 - \frac{128}{15}x^3 + (\frac{6+52}{3})x^2 - \frac{128}{15}x + 1 = 0$

$x^4 - \frac{128}{15}x^3 + \frac{58}{3}x^2 - \frac{128}{15}x + 1 = 0$

Чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (15 и 3), то есть на 15:

$15(x^4 - \frac{128}{15}x^3 + \frac{58}{3}x^2 - \frac{128}{15}x + 1) = 15 \cdot 0$

$15x^4 - 128x^3 + 5 \cdot 58x^2 - 128x + 15 = 0$

$15x^4 - 128x^3 + 290x^2 - 128x + 15 = 0$

Это и есть искомое симметричное уравнение 4-го порядка.

Ответ: $15x^4 - 128x^3 + 290x^2 - 128x + 15 = 0$.

5.79. Решите уравнения:

1) $28x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0;$

2) $126x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0;$

3) $(x^2 + 4x)(x^2 + x - 6) = (x^3 - 16x)(x^2 - 2x - 35);$

4) $(x^2 + 5x)(x^2 - 3x - 28) = (x^3 - 16x)(x^2 - 2x - 35).$

1) Исходное уравнение: $28x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0$.
Представим коэффициент $28$ как $27+1$.
$(27x^3 + 1) + (x^3 + 3x^2 + 3x) = 0$. Это неверная группировка.
Попробуем по-другому: $27x^3 + (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = 0$.
Теперь мы видим сумму двух кубов: $(3x)^3 + (x+1)^3 = 0$.
Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = 3x$ и $b = x+1$.
$((3x) + (x+1))((3x)^2 - (3x)(x+1) + (x+1)^2) = 0$.
$(4x+1)(9x^2 - (3x^2+3x) + (x^2+2x+1)) = 0$.
$(4x+1)(9x^2 - 3x^2 - 3x + x^2 + 2x + 1) = 0$.
$(4x+1)(7x^2 - x + 1) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
1) $4x+1 = 0 \implies 4x = -1 \implies x = -1/4$.
2) $7x^2 - x + 1 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 1 - 28 = -27$.
Так как $D < 0$, у квадратного уравнения нет действительных корней.
Следовательно, у исходного уравнения есть только один действительный корень.
Ответ: $x = -1/4$.

2) Исходное уравнение: $126x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0$.
Представим коэффициент $126$ как $125+1$.
$125x^3 + (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = 0$.
Мы получили сумму кубов: $(5x)^3 + (x-1)^3 = 0$.
Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = 5x$ и $b = x-1$.
$((5x) + (x-1))((5x)^2 - (5x)(x-1) + (x-1)^2) = 0$.
$(6x-1)(25x^2 - (5x^2-5x) + (x^2-2x+1)) = 0$.
$(6x-1)(25x^2 - 5x^2 + 5x + x^2 - 2x + 1) = 0$.
$(6x-1)(21x^2 + 3x + 1) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
1) $6x-1 = 0 \implies 6x = 1 \implies x = 1/6$.
2) $21x^2 + 3x + 1 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 21 \cdot 1 = 9 - 84 = -75$.
Так как $D < 0$, у квадратного уравнения нет действительных корней.
Следовательно, у исходного уравнения есть только один действительный корень.
Ответ: $x = 1/6$.

3) Исходное уравнение: $(x^2 + 4x)(x^2 + x - 6) = (x^3 - 16x)(x^2 - 2x - 35)$.
Разложим многочлены в обеих частях уравнения на множители.
Левая часть:
$x^2 + 4x = x(x+4)$.
$x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2)$ (корни $-3$ и $2$).
Правая часть:
$x^3 - 16x = x(x^2 - 16) = x(x-4)(x+4)$.
$x^2 - 2x - 35 = (x-7)(x+5)$ (корни $7$ и $-5$).
Подставим разложения в исходное уравнение:
$x(x+4)(x+3)(x-2) = x(x-4)(x+4)(x-7)(x+5)$.
Перенесем все члены в левую часть:
$x(x+4)(x+3)(x-2) - x(x+4)(x-4)(x-7)(x+5) = 0$.
Вынесем общие множители $x(x+4)$ за скобки:
$x(x+4)[(x+3)(x-2) - (x-4)(x-7)(x+5)] = 0$.
Это уравнение распадается на три:
1) $x_1 = 0$.
2) $x+4 = 0 \implies x_2 = -4$.
3) $(x+3)(x-2) - (x-4)(x-7)(x+5) = 0$.
Раскроем скобки в третьем уравнении:
$(x^2 + x - 6) - (x^2 - 11x + 28)(x+5) = 0$.
$(x^2 + x - 6) - (x^3 - 11x^2 + 28x + 5x^2 - 55x + 140) = 0$.
$(x^2 + x - 6) - (x^3 - 6x^2 - 27x + 140) = 0$.
$x^2 + x - 6 - x^3 + 6x^2 + 27x - 140 = 0$.
$-x^3 + 7x^2 + 28x - 146 = 0$.
$x^3 - 7x^2 - 28x + 146 = 0$.
Данное кубическое уравнение не имеет рациональных корней (это можно проверить с помощью теоремы о рациональных корнях). Уравнение имеет три действительных иррациональных корня, которые не выражаются в простых радикалах и находятся с помощью численных методов или по формуле Кардано.
Ответ: $x=0$, $x=-4$ и три действительных корня уравнения $x^3 - 7x^2 - 28x + 146 = 0$.

4) Исходное уравнение: $(x^2 + 5x)(x^2 - 3x - 28) = (x^3 - 16x)(x^2 - 2x - 35)$.
Разложим многочлены в обеих частях уравнения на множители.
Левая часть:
$x^2 + 5x = x(x+5)$.
$x^2 - 3x - 28 = (x-7)(x+4)$ (корни $7$ и $-4$).
Правая часть (как и в предыдущем задании):
$x^3 - 16x = x(x-4)(x+4)$.
$x^2 - 2x - 35 = (x-7)(x+5)$.
Подставим разложения в исходное уравнение:
$x(x+5)(x-7)(x+4) = x(x-4)(x+4)(x-7)(x+5)$.
Перенесем все члены в левую часть:
$x(x+5)(x-7)(x+4) - x(x-4)(x+4)(x-7)(x+5) = 0$.
Вынесем общие множители $x(x+5)(x-7)(x+4)$ за скобки:
$x(x+5)(x-7)(x+4)[1 - (x-4)] = 0$.
$x(x+5)(x-7)(x+4)(1 - x + 4) = 0$.
$x(x+5)(x-7)(x+4)(5 - x) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
$x=0$
$x+5=0 \implies x=-5$
$x-7=0 \implies x=7$
$x+4=0 \implies x=-4$
$5-x=0 \implies x=5$
Ответ: $x \in \{-5, -4, 0, 5, 7\}$.

5.80. Один из корней уравнения:

1) $ax^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$ равен -2;

2) $x^3 + ax^2 - 5x + 6 = 0$ равен 3;

3) $x^3 - x^2 + ax + 12 = 0$ равен -3;

2) $2x^3 + 11x^2 + 17x + a = 0$ равен -0,5;

Найдите значение $a$ и другие корни уравнения.

1) Поскольку $x = -2$ является корнем уравнения $ax^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$, мы можем подставить это значение в уравнение, чтобы найти $a$:

$a(-2)^3 - 2(-2)^2 - 5(-2) + 6 = 0$

$a(-8) - 2(4) + 10 + 6 = 0$

$-8a - 8 + 16 = 0$

$-8a + 8 = 0$

$-8a = -8$

$a = 1$

Теперь уравнение имеет вид: $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$.

Так как $x = -2$ — корень, многочлен $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ делится на $(x + 2)$ без остатка. Выполним деление многочлена на двучлен:

$(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) : (x + 2) = x^2 - 4x + 3$

Чтобы найти остальные корни, решим квадратное уравнение:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_2 = 1$ и $x_3 = 3$.

Ответ: $a=1$, другие корни: $1$ и $3$.

2) Поскольку $x = 3$ является корнем уравнения $x^3 + ax^2 - 5x + 6 = 0$, подставим это значение в уравнение для нахождения $a$:

$(3)^3 + a(3)^2 - 5(3) + 6 = 0$

$27 + 9a - 15 + 6 = 0$

$9a + 18 = 0$

$9a = -18$

$a = -2$

Теперь уравнение имеет вид: $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$.

Так как $x = 3$ — корень, многочлен $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ делится на $(x - 3)$ без остатка. Выполним деление:

$(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) : (x - 3) = x^2 + x - 2$

Чтобы найти остальные корни, решим квадратное уравнение:

$x^2 + x - 2 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_2 = 1$ и $x_3 = -2$.

Ответ: $a=-2$, другие корни: $1$ и $-2$.

3) Поскольку $x = -3$ является корнем уравнения $x^3 - x^2 + ax + 12 = 0$, подставим это значение в уравнение, чтобы найти $a$:

$(-3)^3 - (-3)^2 + a(-3) + 12 = 0$

$-27 - 9 - 3a + 12 = 0$

$-3a - 24 = 0$

$-3a = 24$

$a = -8$

Теперь уравнение имеет вид: $x^3 - x^2 - 8x + 12 = 0$.

Так как $x = -3$ — корень, многочлен $x^3 - x^2 - 8x + 12$ делится на $(x + 3)$ без остатка. Выполним деление:

$(x^3 - x^2 - 8x + 12) : (x + 3) = x^2 - 4x + 4$

Чтобы найти остальные корни, решим квадратное уравнение:

$x^2 - 4x + 4 = 0$

Это полный квадрат: $(x - 2)^2 = 0$.

Уравнение имеет один корень кратности 2: $x_2 = 2$.

Ответ: $a=-8$, другой корень: $2$ (корень кратности 2).

2) Поскольку $x = -0.5$ является корнем уравнения $2x^3 + 11x^2 + 17x + a = 0$, подставим это значение в уравнение для нахождения $a$:

$2(-0.5)^3 + 11(-0.5)^2 + 17(-0.5) + a = 0$

$2(-\frac{1}{8}) + 11(\frac{1}{4}) - \frac{17}{2} + a = 0$

$-\frac{1}{4} + \frac{11}{4} - \frac{34}{4} + a = 0$

$\frac{-1 + 11 - 34}{4} + a = 0$

$\frac{-24}{4} + a = 0$

$-6 + a = 0$

$a = 6$

Теперь уравнение имеет вид: $2x^3 + 11x^2 + 17x + 6 = 0$.

Так как $x = -0.5$ — корень, многочлен $2x^3 + 11x^2 + 17x + 6$ делится на $(x + 0.5)$ или, что удобнее, на $(2x + 1)$ без остатка. Выполним деление:

$(2x^3 + 11x^2 + 17x + 6) : (2x + 1) = x^2 + 5x + 6$

Чтобы найти остальные корни, решим квадратное уравнение:

$x^2 + 5x + 6 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_2 = -2$ и $x_3 = -3$.

Ответ: $a=6$, другие корни: $-2$ и $-3$.

5.81. Решите уравнения:

1) $x^3 + (1 - a^2) x + a = 0;$

2) $(a - x)^3 + (b - x)^3 = (a + b - 2x)^3.$

1) Дано уравнение $x^3 + (1 - a^2)x + a = 0$.

Сгруппируем слагаемые для разложения левой части на множители:

$x^3 - a^2x + x + a = 0$

$x(x^2 - a^2) + (x + a) = 0$

Используя формулу разности квадратов, получаем:

$x(x - a)(x + a) + (x + a) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + a)$ за скобки:

$(x + a)(x(x - a) + 1) = 0$

$(x + a)(x^2 - ax + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

1. $x + a = 0 \implies x = -a$.

2. $x^2 - ax + 1 = 0$.

Второе уравнение является квадратным относительно $x$. Найдем его дискриминант $D$ для определения количества и вида корней:

$D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = a^2 - 4$.

Рассмотрим три случая в зависимости от знака дискриминанта:

Случай 1: $D < 0$, то есть $a^2 - 4 < 0 \implies a^2 < 4 \implies |a| < 2$.

В этом случае квадратное уравнение $x^2 - ax + 1 = 0$ не имеет действительных корней. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный действительный корень $x = -a$.

Случай 2: $D = 0$, то есть $a^2 - 4 = 0 \implies a^2 = 4 \implies |a| = 2$.

В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (кратности 2): $x = \frac{-(-a)}{2 \cdot 1} = \frac{a}{2}$. Таким образом, при $|a| = 2$ исходное уравнение имеет два различных действительных корня: $x_1 = -a$ и $x_2 = a/2$.

Случай 3: $D > 0$, то есть $a^2 - 4 > 0 \implies a^2 > 4 \implies |a| > 2$.

В этом случае квадратное уравнение имеет два различных действительных корня: $x = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 4}}{2}$.

Следовательно, при $|a| > 2$ исходное уравнение имеет три различных действительных корня: $x_1 = -a$, $x_2 = \frac{a + \sqrt{a^2 - 4}}{2}$ и $x_3 = \frac{a - \sqrt{a^2 - 4}}{2}$.

Ответ: если $|a| < 2$, то $x = -a$; если $|a| = 2$, то $x \in \{-a, a/2\}$; если $|a| > 2$, то $x \in \{-a, \frac{a \pm \sqrt{a^2-4}}{2}\}$.

2) Дано уравнение $(a-x)^3 + (b-x)^3 = (a+b-2x)^3$.

Заметим, что выражение в скобках в правой части является суммой выражений в скобках из левой части: $(a-x) + (b-x) = a+b-2x$.

Сделаем замену переменных. Пусть $U = a-x$ и $V = b-x$. Тогда $U+V = a+b-2x$.

Уравнение принимает вид:

$U^3 + V^3 = (U+V)^3$

Используем известное тождество $(U+V)^3 = U^3 + 3U^2V + 3UV^2 + V^3$. Подставим его в уравнение:

$U^3 + V^3 = U^3 + 3U^2V + 3UV^2 + V^3$

После приведения подобных слагаемых получаем:

$0 = 3U^2V + 3UV^2$

Вынесем общий множитель $3UV$ за скобки:

$3UV(U+V) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда следуют три возможности:

1. $U = 0$. Вернувшись к исходной переменной, получаем $a-x=0$, откуда $x=a$.

2. $V = 0$. Вернувшись к исходной переменной, получаем $b-x=0$, откуда $x=b$.

3. $U+V = 0$. Вернувшись к исходным переменным, получаем $(a-x) + (b-x) = 0$, то есть $a+b-2x=0$. Отсюда $2x = a+b$, и $x = \frac{a+b}{2}$.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $x_1=a, x_2=b, x_3=\frac{a+b}{2}$.

5.82. Определите частоту месяца рождения всех учеников 8 класса вашей школы и составьте таблицу частот вариационного ряда и постройте полигон частот. Найдите моду и медиану.

Для решения этой задачи необходимо собрать данные о месяцах рождения всех учеников 8-х классов конкретной школы. Поскольку такие данные отсутствуют, мы воспользуемся гипотетическим набором данных. Предположим, что в 8-х классах школы учится 84 человека. Мы собрали данные о месяцах их рождения и проанализируем их.

Определение частоты и составление таблицы частот

Сначала мы создадим вариационный ряд, где вариантами ($x_i$) будут месяцы года (пронумерованные от 1 до 12), и подсчитаем частоту ($n_i$) — количество учеников, родившихся в каждый месяц. Общее количество учеников (объем выборки) $N = 84$.

Ответ: Таблица частот составлена выше.

Построение полигона частот

Полигон частот — это ломаная линия, соединяющая точки, у которых абсциссы — это значения вариант (номера месяцев), а ординаты — соответствующие им частоты. Построим полигон на основе данных из таблицы.

Ответ: Полигон частот построен выше.

Нахождение моды

Мода ($M_o$) вариационного ряда — это варианта, которая встречается с наибольшей частотой. Глядя на таблицу частот, мы видим, что максимальная частота равна 10. Эта частота соответствует месяцу «Июль».

Следовательно, модой данного вариационного ряда является Июль.

Ответ: $M_o = \text{Июль}$.

Нахождение медианы

Медиана ($M_e$) — это значение, которое делит упорядоченный вариационный ряд на две равные по количеству членов части. Объем выборки $N = 84$ — четное число. Номера срединных элементов в этом случае вычисляются как $N/2$ и $N/2 + 1$, то есть 42-й и 43-й элементы.

Чтобы найти, каким месяцам соответствуют эти элементы, воспользуемся столбцом накопленных частот. Накопленная частота показывает, сколько учеников родилось до конца данного месяца включительно.
Накопленная частота для мая равна 35.
Накопленная частота для июня равна $35 + 7 = 42$.
Накопленная частота для июля равна $42 + 10 = 52$.

Из этих расчетов видно, что 42-й по счету ученик (последний в своей группе) родился в июне (6-й месяц). Следующий, 43-й по счету ученик, родился уже в июле (7-й месяц).

Поскольку данные являются порядковыми, но не числовыми, медиану можно описать как находящуюся между 6-м и 7-м месяцами. Если рассматривать номера месяцев как числовые значения, медиану можно рассчитать как среднее арифметическое значений этих двух вариант:

$M_e = \frac{x_{42} + x_{43}}{2} = \frac{6 + 7}{2} = 6.5$

Это значение указывает, что медиана находится ровно на границе между июнем и июлем.

Ответ: Медиана находится между июнем и июлем. Если представлять месяцы их порядковыми номерами, то $M_e = 6.5$.

5.83. Докажите тождество $\frac{n - nm + k - km}{1 - 3m + 3m^2 - m^3} = \frac{n - k}{(1 - m)^2}$.

Для доказательства тождества необходимо преобразовать одну из его частей и показать, что она равна другой части. Преобразуем левую часть данного равенства.

Сначала разложим на множители числитель дроби, используя метод группировки:

$n - nm + k - km = (n - nm) + (k - km) = n(1 - m) + k(1 - m)$

Вынесем общий множитель $(1 - m)$ за скобки:

$(n + k)(1 - m)$

Теперь рассмотрим знаменатель: $1 - 3m + 3m^2 - m^3$. Это выражение соответствует формуле сокращенного умножения для куба разности:

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

При $a = 1$ и $b = m$ получаем:

$(1 - m)^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot m + 3 \cdot 1 \cdot m^2 - m^3 = 1 - 3m + 3m^2 - m^3$

Таким образом, знаменатель равен $(1 - m)^3$.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в левую часть исходного выражения:

$\frac{n - nm + k - km}{1 - 3m + 3m^2 - m^3} = \frac{(n + k)(1 - m)}{(1 - m)^3}$

Сократим дробь на общий множитель $(1 - m)$, при условии, что $1 - m \neq 0$, то есть $m \neq 1$:

$\frac{(n + k)(1 - m)}{(1 - m)^3} = \frac{n + k}{(1 - m)^2}$

Теперь сравним полученное выражение с правой частью исходного равенства:

Преобразованная левая часть: $\frac{n + k}{(1 - m)^2}$.

Правая часть: $\frac{n - k}{(1 - m)^2}$.

Равенство $\frac{n + k}{(1 - m)^2} = \frac{n - k}{(1 - m)^2}$ выполняется только в том случае, если числители равны: $n + k = n - k$, что влечет за собой $2k = 0$, то есть $k = 0$.

Поскольку тождество должно быть верным для любых допустимых значений переменных, а не только для частного случая $k=0$, исходное утверждение не является тождеством. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка.

Предположим, что числитель в левой части должен был иметь вид $n - nm - k + km$. Докажем исправленное тождество:

$\frac{n - nm - k + km}{1 - 3m + 3m^2 - m^3} = \frac{n - k}{(1 - m)^2}$

Преобразуем числитель левой части:

$n - nm - k + km = n(1 - m) - k(1 - m) = (n - k)(1 - m)$

Подставим в левую часть:

$\frac{(n - k)(1 - m)}{(1 - m)^3} = \frac{n - k}{(1 - m)^2}$

Теперь левая часть равна правой. Это доказывает, что исправленное равенство является тождеством.

Ответ: Исходное равенство не является тождеством, так как оно справедливо только при $k=0$ (и $m \neq 1$). Вероятнее всего, в условии имеется опечатка, и верное тождество должно иметь вид $\frac{n - nm - k + km}{1 - 3m + 3m^2 - m^3} = \frac{n - k}{(1 - m)^2}$.

5.84. Если $xy + z^2 = 0$, то покажите, что верно равенство

$(x + z)(y + z) + (x - z)(y - z) = 0$.

Для доказательства равенства преобразуем его левую часть. Раскроем скобки в выражении $(x + z)(y + z) + (x - z)(y - z)$:

$(x + z)(y + z) = xy + xz + yz + z^2$

$(x - z)(y - z) = xy - xz - yz + z^2$

Теперь сложим полученные выражения:

$(xy + xz + yz + z^2) + (xy - xz - yz + z^2)$

Приведем подобные слагаемые:

$xy + xy + xz - xz + yz - yz + z^2 + z^2 = 2xy + 2z^2$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(xy + z^2)$

По условию задачи нам дано, что $xy + z^2 = 0$. Подставим это значение в преобразованное выражение:

$2 \cdot 0 = 0$

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства равна 0, что и требовалось доказать.

Ответ: Преобразовав левую часть равенства $(x + z)(y + z) + (x - z)(y - z)$, мы получаем выражение $2(xy + z^2)$. Поскольку по условию $xy + z^2 = 0$, значение этого выражения равно $2 \cdot 0 = 0$. Следовательно, равенство верно.

5.85. Найдите неизвестный член x пропорции:

$\frac{a^3 + b^3}{n} : \frac{a^3 - b^3}{p} = \frac{p(a+b)}{n(a-b)} : x$

Исходная пропорция: $ \frac{a^3 + b^3}{n} \div \frac{a^3 - b^3}{p} = \frac{p(a+b)}{n(a-b)} \div x $.

Согласно основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов. Запишем это свойство для данной пропорции:

$ \frac{a^3 + b^3}{n} \cdot x = \frac{a^3 - b^3}{p} \cdot \frac{p(a+b)}{n(a-b)} $

Выразим из этого уравнения неизвестный член $ x $:

$ x = \left( \frac{a^3 - b^3}{p} \cdot \frac{p(a+b)}{n(a-b)} \right) \div \frac{a^3 + b^3}{n} $

Сначала упростим произведение в скобках. Мы можем сократить $ p $:

$ \frac{a^3 - b^3}{\sout{p}} \cdot \frac{\sout{p}(a+b)}{n(a-b)} = \frac{(a^3 - b^3)(a+b)}{n(a-b)} $

Теперь подставим упрощенное выражение обратно в уравнение для $ x $ и заменим деление на дробь умножением на обратную ей дробь:

$ x = \frac{(a^3 - b^3)(a+b)}{n(a-b)} \cdot \frac{n}{a^3 + b^3} $

Сократим общий множитель $ n $:

$ x = \frac{(a^3 - b^3)(a+b)}{(a-b)(a^3 + b^3)} $

Для дальнейшего упрощения воспользуемся формулами разности и суммы кубов:

$ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) $

$ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $

Подставим эти разложения в выражение для $ x $:

$ x = \frac{(a-b)(a^2 + ab + b^2)(a+b)}{(a-b)(a+b)(a^2 - ab + b^2)} $

Теперь мы можем сократить одинаковые множители $ (a-b) $ и $ (a+b) $ в числителе и знаменателе:

$ x = \frac{\sout{(a-b)}(a^2 + ab + b^2)\sout{(a+b)}}{\sout{(a-b)}\sout{(a+b)}(a^2 - ab + b^2)} $

В результате получаем:

$ x = \frac{a^2 + ab + b^2}{a^2 - ab + b^2} $

Ответ: $ x = \frac{a^2 + ab + b^2}{a^2 - ab + b^2} $.